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2025-07-05T10:32:59Z

Definitionen: Erklärung Kronecker-Delta

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{{Dieser Artikel|befasst sich mit dem Gitter im naturwissenschaftlichen Sinne, andere Bedeutungen unter [[Gitter (Begriffsklärung)]].}}
Das '''reziproke Gitter''' (lateinisch ''reciprocus'' ‚aufeinander bezüglich‘, ‚wechselseitig‘) ist eine Konstruktion der [[Kristallographie]] und [[Festkörperphysik]].

In der Kristallographie beschreibt das reziproke Gitter die Röntgen-, Elektronen- und Neutronen[[Beugung (Physik)|beugung]] an [[Kristall]]en, z. B. in der [[Laue-Bedingung]]. Das Röntgen-[[Beugungsbild]] eines Kristalls ist im Gegensatz zum mikroskopischen Bild nicht das direkte Bild des [[Kristallgitter]]s selbst, sondern das Bild des reziproken Gitters, das dem Kristallgitter zugeordnet ist.<ref>Kittel, Einführung in die Festkörperphysik, Oldenbourg 1980, S. 65.</ref>

In der Festkörperphysik wird das reziproke Gitter mit leicht veränderter Definition verwendet (Faktor <math>2 \pi</math>) und als '''reziproker Raum''' bezeichnet. Als zugehöriger [[Fourierreihe|Fourierraum]] des Kristallgitters kommt ihm eine herausragende Bedeutung zu. Im Gegensatz zu den [[Vektor]]en des Kristallgitters haben die Vektoren des reziproken Gitters die [[Dimension (Größensystem)|Dimension]] einer inversen Länge.

== Definitionen ==
Ein 3-dimensionales [[Kristallstruktur #Gitter|Punktgitter]] wird durch drei [[Basisvektor]]en <math> \vec a_1</math>, <math> \vec a_2</math> und <math> \vec a_3</math> beschrieben. Dieses Gitter wird auch reales oder direktes Gitter genannt. Die Basisvektoren <math> \vec b_1</math>, <math> \vec b_2</math> und <math> \vec b_3</math> des zu diesem Gitter reziproken Gitters ergeben sich aus den Gleichungen:

{| class="wikitable"
! Kristallographie !! Festkörperphysik
|-
|<math>\vec{b}_1=\frac{ \vec{a}_2 \times \vec{a}_3}{\vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \times \vec{a}_3)}</math>
|| <math>\vec{b}_1= 2\pi \,\frac{\vec{a}_2 \times \vec{a}_3}{\vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \times \vec{a}_3)}</math>
|-
|<math>\vec{b}_2=\frac{\vec{a}_3 \times \vec{a}_1}{\vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \times \vec{a}_3)}</math>
||<math>\vec{b}_2=2\pi \,\frac{\vec{a}_3 \times \vec{a}_1}{\vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \times \vec{a}_3)}</math>
|-
|<math>\vec{b}_3=\frac{ \vec{a}_1 \times \vec{a}_2}{\vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \times \vec{a}_3)}</math>
||<math>\vec{b}_3=2\pi \,\frac{ \vec{a}_1 \times \vec{a}_2}{\vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \times \vec{a}_3)}</math>
|-
|}
Hierbei ist <math>\vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \times \vec{a}_3)</math> das Volumen der [[Elementarzelle]].

Damit gilt
* <math> \vec a_i \cdot \vec b_j = \delta_{ij} </math>, für die kristallographische Definition, und
* <math> \vec a_i \cdot \vec b_j = 2 \pi \delta_{ij} </math>, für die Definition aus der Festkörperphysik,

wobei <math>\delta_{ij}</math> das [[Kronecker-Delta]] ist. Insbesondere stimmt also das reziproke Gitter im kristallographischen Sinne mit dem [[Gitter (Mathematik)|dualen Gitter]] im Sinne der Mathematik überein.

Der Unterschied zwischen beiden Definitionen hat seine Ursache in der unterschiedlichen Darstellung des Streuvorgangs:
* In der Kristallographie wird die einfallende bzw. gestreute Welle in der Regel durch [[Einheitsvektor]]en <math>\vec e_0</math> bzw. <math>\vec e_s</math> beschrieben. In einigen Fällen wird auch die Definition <math>\vec k = \frac{\vec e}{\lambda}</math> verwendet, wobei λ die [[Wellenlänge]] der verwendeten Strahlung ist.
* In der Festkörperphysik werden zur Beschreibung von Wellen generell die [[Wellenvektor]]en <math>\vec k = 2 \pi \frac{\vec e}{\lambda} </math> verwendet.
Im Folgenden wird wenn nicht anders vermerkt die kristallographische Definition benutzt.

Trägt man die Basisvektoren des realen Gitters (in [[Kartesische Koordinaten|kartesischen Koordinaten]]) in die Spalten einer [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A</math> ein, so lässt sich durch [[Transponierte Matrix|Transposition]] und [[Matrix (Mathematik) #Inverse Matrix|Inversion]] eine Matrix <math>B</math> berechnen, die als Spalten die Basisvektoren des reziproken Gitters enthält.<ref>{{Literatur|Autor=Rudolf Gross, Achim Marx| Titel=Festkörperphysik| Auflage=1.| Verlag=Oldenbourg Verlag| Ort=München| Jahr=2012| ISBN=978-3-486-71294-0| Seiten=61–62}}</ref> In kristallographischer Definition (ohne den Faktor <math>2 \pi</math>):

:<math>B = (A^T)^{-1}</math>

=== Eigenschaften der Basisvektoren ===
* Ein Basisvektor '''bi''' des ''reziproken'' Gitters steht senkrecht auf den beiden anderen Vektoren des ''realen'' Gitters. Seine Länge hängt von den Winkeln zwischen den realen Basisvektoren '''a''' ab. Stehen diese alle senkrecht aufeinander (kubische, tetragonale und orthorhombische Gitter), so beträgt seine Länge 1/ai.
* Die Koordinaten eines Punktes des reziproken Gitters werden in der Regel mit h,k,l bezeichnet.
* Das zu einem reziproken Gitter reziproke Gitter ist wieder das entsprechende reale Gitter. (Das gilt nur für die kristallographische Definition ohne den Faktor 2π.)
* Das reziproke Gitter eines [[Bravais-Gitter]]s gehört zum gleichen [[Kristallsystem]] wie das reale Gitter, kann aber eine andere Zentrierung haben:

{| class="wikitable"
|+ Reale [[Bravaisgitter]] und ihre reziproken Gitter
! colspan="2" | Reales Gitter
! colspan="2" | Reziprokes Gitter
|-
| '''Bezeichnung'''
| style="text-align:center" | '''Abk.'''
| '''Bezeichnung'''
| style="text-align:center" | '''Abk.'''
|-
| Primitiv
| style="text-align:center" | ''P''
| Primitiv
| style="text-align:center" | ''P''
|-
| Basiszentriert (Einseitig flächenzentriert)
| style="text-align:center" | ''A'', ''B'', ''C''
| Basiszentriert (Einseitig flächenzentriert)
| style="text-align:center" | ''A'', ''B'', ''C''
|-
| Flächenzentriert (Allseitig flächenzentriert)
| style="text-align:center" | ''F''
| Innenzentriert (Raumzentriert)
| style="text-align:center" | ''I''
|-
| Innenzentriert (Raumzentriert)
| style="text-align:center" | ''I''
| Flächenzentriert (Allseitig flächenzentriert)
| style="text-align:center" | ''F''
|-
|}

== Verwendung in der Kristallographie ==
=== Zusammenhang mit den Millerschen Indizes ===
Ein Vektor (h,k,l) des reziproken Raums steht senkrecht auf der [[Kurvenschar|Schar]] von [[Gitterebene|Netzebenen]] mit den [[Millersche Indizes|Millerschen Indizes]] (hkl). Die Länge des Vektors ist gleich dem [[Kehrwert|Reziproken]] des Abstandes der Netzebenen.

Daraus folgt, dass im reziproken Gitter auch die Punkte, deren Koordinaten ein gemeinsames Vielfaches besitzen, eine Bedeutung haben: die mit (100) und (200) bezeichneten Scharen von Netzebenen liegen parallel zueinander, die Netzebenen der Schar (200) haben aber nur halb so großen Abstand wie die der Schar (100).

=== Bragg-Gleichung und Laue-Bedingung ===
Die [[Bragg-Gleichung]] liefert einen Zusammenhang zwischen dem Netzebenenabstand <math>d_{hkl}</math> und dem Beugungswinkel <math>\vartheta</math>. Sie gilt nur, wenn der einfallende und der gestreute Strahl [[Symmetrie (Geometrie)|symmetrisch]] zur „reflektierenden“ Netzebenenschar <math>(h,k,l)</math> verlaufen, und lautet:

:<math> n \lambda = 2d_{hkl} \, \sin(\vartheta) </math>

In dieser Form liefert sie keine Aussagen über die Richtungen der Netzebenen und der einfallenden und gestreuten Welle zueinander.

Beschreibt man die einfallende Welle mit <math> \vec k_0 = \frac{\vec e_0}{\lambda} </math> und die gestreute Welle mit <math> \vec k_s = \frac{\vec e_s}{\lambda} </math>, so erhält man die zur Bragg-Gleichung äquivalente [[Laue-Bedingung]]:

:<math>\vec k = \vec k_s - \vec k_0 = \vec{G}_{h,k,l}</math>

Dabei ist
* <math> \vec k </math> der Beugungsvektor und
* <math>\vec {G}_{h,k,l} </math> der Vektor (h,k,l) des reziproken Gitters.

Allgemein bedeutet diese Gleichung: ein Röntgenstrahl wird genau dann gestreut, wenn der Beugungsvektor <math>\vec k </math> gleich einem reziproken Gittervektor ist. Dieser Zusammenhang wird mit der [[Ewaldkugel]] anschaulich dargestellt.

=== Historisches ===
Das ''polare Gitter'' („réseau polaire“) als Vorläufer des reziproken Gitters wurde bereits von [[Auguste Bravais]] im Rahmen seiner Arbeit über Punktgitter behandelt.<ref>Auguste Bravais: ''Mémoire sur les systèmes formés par des points distribués régulièrement sur un plan ou dans l’éspace''. In: ''Journal de l’École Polytechnique'', Bd. 19 (1850), S. 1–128, {{ISSN|0368-2013}}</ref><ref>[https://dictionary.iucr.org/Polar_lattice Definition des polaren Gitters], IUCr (englisch).</ref>

[[Josiah Willard Gibbs]] führte 1881 den Begriff des ''reziproken Systems'' („reciprocal system“) als rein mathematische Konstruktion in seinem Buch ''Vector Analysis''<ref>''[[:en:Vector Analysis|Vector Analysis]]'' in der englischsprachigen Wikipedia</ref> ein.<ref>Josiah Willard Gibbs: ''Elements of Vector Analysis arranged for the Use of Students in Physics''. Morehouse & Taylor, New Haven CT 1881.</ref> Seine Definition ist identisch mit der oben angegebenen kristallographischen. [[Paul Peter Ewald]] war der erste, der dieses Gitter zur Beschreibung von Röntgenreflexen einsetzte.<ref>Paul Peter Ewald: ''Zur Theorie der Interferenzen der Röntgenstrahlen in Kristallen''. In: ''Physikalische Zeitschrift'', Bd. 14 (1913), S. 465–472.</ref> Danach baute er die Theorie weiter aus.<ref>Paul Peter Ewald: ''Das reziproke Gitter in der Strukturtheorie''. In: ''Zeitschrift für Kristallographie. International Journal for structural, physical and chemical aspects of crystalline materials'', Bd. 56 (1921), S. 129–156 {{ISSN|0044-2968}}.</ref> Aber erst aufgrund einer Arbeit von [[John Desmond Bernal]]<ref>John Desmond Bernal: ''On the interpretation of x-ray, single crystal, rotation photographs''. In: ''Proceedings of the [[Royal Society|Royal Society of London]] / Serie A'', Bd. 113 (1926), Nr. 763, S. 117–160, {{ISSN|1471-2946}}.</ref> wurde diese Konstruktion zur Beschreibung von Braggreflexen allgemein bekannt und etablierte sich.

== Verwendung in der Festkörperphysik ==
In diesem Abschnitt werden die Wellenvektoren <math> \vec k = \frac {2\pi}{\lambda} \vec e</math> wieder grundsätzlich mit einem Faktor <math> 2 \pi</math> definiert und das Gleiche gilt für die Konventionen des reziproken Gitters.

Allgemein gilt, dass eine gitterperiodische Funktion:

: <math>n (\vec r +{\vec a}_i) = n(\vec r)</math>

mit den Gittervektoren <math>{\vec a}_i</math> eine [[Fourierreihe|Fourierzerlegung]] mit Wellenvektoren als Fourierkomponenten hat, die aus den Vektoren <math> {\vec G}_j</math> des reziproken Gitters bestehen:<ref>Sowohl das Symbol G als auch K ist für reziproke Gittervektoren gebräuchlich. Hier wird G verwendet.</ref>

:<math>n (\vec r) = \sum_{{\vec G}_j} n_{{\vec G}_j} \exp {(\mathrm{i} {\vec G}_j \vec r)}</math>

da wegen <math>\vec G_i \vec a_j = 2 \pi \delta_{i j}\,</math> gilt:

:<math> \exp {(\mathrm{i} \vec G_i \vec a_j)} =1</math>

Dieser von den Vektoren des reziproken Gitters aufgespannte Raum der Wellenvektoren wird auch reziproker Raum genannt, häufig wird aber auch synonym die Bezeichnung reziprokes Gitter verwendet.

Als Fourierraum des Gitters kommt dem reziproken Raum eine fundamentale Bedeutung in der Festkörperphysik zu. Die Dimension der Vektoren des reziproken Raums ist die einer umgekehrten Länge. Die oben beschriebene Beugung von Röntgenstrahlen mit der Laue-Bedingung <math> \vec{k} = \vec{k}' + \vec{G} </math> (mit den Wellenvektoren k, k' des Photons vor und nach der Streuung und dem reziproken Gittervektor G) liefert ein direktes Bild des reziproken Gitters.

=== Bloch-Funktion ===
Ein weiteres Beispiel für die Bedeutung des reziproken Raums bzw. Gitters ist die [[Bloch-Funktion]] und der Satz von Bloch, dass die Lösungen der [[Schrödingergleichung]] im periodischen [[Potential (Physik)|Potential]] des Gitters als Produkt einer [[Ebene Welle|ebenen Welle]] und einer gitterperiodischen Funktion <math>u_\vec k (\vec r)</math> geschrieben werden können:

:<math>\psi(\vec r) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\vec k\cdot\vec r} \cdot u_\vec k(\vec r)</math>

Da die Funktion <math> u_\vec k(\vec r)</math> gitterperiodisch ist, kann sie als Fouriersumme über Vektoren des reziproken Gitters geschrieben werden.

=== Wechselwirkung von Quasiteilchen ===
Eine weitere Anwendung ist die Wechselwirkung von [[Quasiteilchen]] wie [[Quantisierung (Physik)|quantisierten]] [[Gitterschwingung]]en ([[Phonon]]en). Diese besitzen einen Wellenvektor <math> \vec k </math> und einen [[Impuls]] <math> \hbar \vec k </math>. [[Streuung (Physik)|Streut]] zum Beispiel ein [[Elektron]] mit Wellenvektor <math> \vec k </math> mit einem Phonon mit Wellenvektor <math> \vec q </math>, so gilt folgende [[Auswahlregel]]:

:<math> \vec{k} + \vec{q} = \vec{k}' + \vec{q}' + \vec{G} </math>

wobei <math> \vec G</math> ein Vektor des reziproken Gitter ist.

Die [[Impulserhaltung]] gilt hier also bis auf Addition eines Vektors des reziproken Gitters, und die betrachteten Impulse heißen auch [[Quasiimpuls|Quasi-]] oder Kristallimpulse.

Da im Gitter der Wellenvektor eines Quasiteilchens wie eines Phonons nur bis auf Vektoren des reziproken Gitters festgelegt wird, genügt es, die Wellenvektoren in der ersten [[Brillouin-Zone]] zu betrachten. Sie ist die [[Wigner-Seitz-Zelle]] des reziproken Gitters. In einer Dimension entspricht die erste Brillouinzone Wellenvektoren <math>k < \frac{\pi}{a} </math>. Hat ein Phonon einen größeren Wellenvektor, so kann von ihm so oft ein Vektor <math> \left( \frac {2\pi}{a} \right) </math> des reziproken Gitters abgezogen werden, bis der Wellenvektor im Bereich <math> \pm \frac{\pi}{a} </math> liegt, ohne dass sich an der Physik etwas ändert.

== Literatur ==
{{Siehe auch|Festkörperphysik}}

=== Fachartikel ===

* {{Literatur |Autor=Dorothy G. Bell |Titel=Group Theory and Crystal Lattices |Sammelwerk=Reviews of Modern Physics |Band=26 |Nummer=3 |Datum=1954-07-01 |DOI=10.1103/RevModPhys.26.311 |Seiten=311–320}}

=== Fachbücher ===

* {{Literatur |Autor=[[Will Kleber]], [[Joachim Bohm]], Detlef Klimm, Manfred Mühlberg, Björn Winkler |Titel=Einführung in die Kristallographie |Verlag=De Gruyter |Datum=2020 |ISBN=978-3-11-046024-7 |DOI=10.1515/9783110460247}}

=== Klassiker oder Andere ===
* {{Literatur |Autor=[[Martin J. Buerger]] |Titel=Kristallographie: Eine Einführung in die geometrische und röntgenographische Kristallkunde |Verlag=DE GRUYTER |Datum=1977 |ISBN=978-3-11-004286-3 |DOI=10.1515/9783110842425}}

== Weblinks ==
* [https://dictionary.iucr.org/Reciprocal_lattice Das reziproke Gitter] IUCr (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=7544035-0}}

[[Kategorie:Kristallographie]]

Reziprokes Gitter - Versionsgeschichte

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