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Die '''Reziprokenregel'''<ref>[[Harro Heuser]]: ''Lehrbuch der Analysis.'' Teil 1. 17. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, S. 271.</ref> oder '''Kehrwertregel'''<ref>{{Literatur |Autor=Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn |Titel=Elementare Analysis |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Heidelberg |Datum=2010 |Reihe=Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II |ISBN=978-3-8274-2091-6 |Seiten=209 |Abruf=}}</ref> dient zur [[Differentialrechnung|Ableitung]] von [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] der Form <math display="inline">f(x)=\frac{1}{v(x)}</math>, wobei <math>v</math> eine differenzierbare Funktion ist. In Kurzschreibweise lautet sie
:<math>\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}\,.</math>
Die Reziprokenregel kann als Spezialfall der [[Quotientenregel]] mit der konstanten Funktion <math>u(x)=1</math> im Zähler aufgefasst werden.

== Aussage ==
Ist die Funktion <math>v(x)</math> von einem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>D</math> in die [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] an der Stelle <math>x_0</math> mit <math>v(x_0)\neq 0</math> differenzierbar, so ist auch die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x) = 1/v(x)</math> an der Stelle <math>x_0</math>differenzierbar und es gilt

:<math>f'(x_0) = -\frac{v'(x_0)}{(v(x_0))^2}.</math>

== Beispiel ==
Die Ableitung der Funktion
:<math>f(x)=\frac{1}{\sin(x)}</math>
berechnet sich an allen Stellen <math>x</math> mit <math>\sin(x) \neq 0</math> nach der Reziprokenregel zu
:<math>f'(x)=-\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}</math>.
Dabei wurde benutzt, dass die [[Kosinusfunktion]] die Ableitung der [[Sinusfunktion]] ist.

== Beweis ==
Ist <math>v</math> an <math>x_0</math> differenzierbar, so ist <math>v</math> dort insbesondere stetig. Unter der Voraussetzung <math>v(x_0)\neq 0</math> gibt es deshalb eine [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>x_0</math>, in der überall <math>v(x) \neq 0</math> ist. In dieser Umgebung ist der [[Differenzenquotient]]

:<math>\frac{1/v(x)-1/v(x_0)}{x-x_0}</math>

von <math display="inline">f(x)=1/v(x)</math> [[Wohldefiniertheit|wohldefiniert]]. Bildet man den [[Hauptnenner]] der Brüche im Zähler und wendet grundlegende Bruchrechengesetze an, so erhält man für den Differenzenquotienten die Darstellung

:<math>-\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}\cdot \frac{1}{v(x)v(x_0)}
</math>.

Beim Grenzübergang <math>x \to x_0</math> strebt der erste Faktor gegen <math>v'(x_0)</math> und der zweite Faktor gegen <math display="inline">1/v(x_0)^2</math>. Also ist

:<math>\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = - \frac{v'(x_0)}{v(x_0)^2}. </math>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]

Reziprokenregel - Versionsgeschichte

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