~2026-11997-82: Grammatikfehler. Bezieht sich ja aufs Fluid = Neutrum

2026-02-23T08:42:48Z

Grammatikfehler. Bezieht sich ja aufs Fluid = Neutrum

Neue Seite

{{Infobox Physikalische Kennzahl
| Name = Reynolds-Zahl
| Formelzeichen = <math>\mathit{Re}</math>
| Dimension = <math>\mathsf1</math>
| Definition = <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\eta}</math>
| Größentabelle = <math>\rho</math>= Dichte, <math>v</math>=Strömungsgeschwindigkeit, <math>L</math>= [[charakteristische Länge]], <math>\eta</math>=[[dynamische Viskosität]]
| BenanntNach = [[Osborne Reynolds]]
| Anwendungsbereich = viskose Strömungen
}}
Die '''Reynolds-Zahl''' ([[Formelzeichen]]: <math>Re</math>) ist eine nach dem Physiker [[Osborne Reynolds]] benannte [[dimensionslose Kennzahl]]. Sie wird in der [[Strömungslehre]] verwendet und kann als das Verhältnis von Trägheits- zu Zähigkeitskräften verstanden werden (bzw. das Verhältnis von spezifischer Impuls[[konvektion]] zu Impuls[[diffusion]] im System). Das [[Strömungsmechanik|Strömung]]sverhalten geometrisch ähnlicher Körper ist bei gleicher Reynolds-Zahl ähnlich. Diese Eigenschaft ermöglicht es, realitätsnahe Versuche mit einem verkleinerten Modell im [[Windkanal |Wind-]] oder [[Wasserkanal]] durchzuführen.

== Definition ==
Die Reynolds-Zahl ist definiert als
: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho_0 \, v \, L}{\eta} = \frac{v \, L}{\nu}</math>
Dabei ist <math>\rho_0</math> die [[Dichte]] des [[Fluid]]s, <math>v</math> die [[Strömungsgeschwindigkeit]] des Fluids gegenüber dem Körper und <math>L</math> eine [[charakteristische Länge]] des Körpers. Die [[kinematische Viskosität]] <math>\nu</math> des Fluids ist dessen durch die Dichte <math>\rho_0</math> dividierte dynamische Viskosität <math>\eta</math>: <math>\nu=\eta/\rho_0</math>.

Die charakteristische Länge, auch Bezugslänge genannt, wird für die jeweilige Problemstellung definiert. Bei [[Strömungswiderstand|Strömungskörpern]] wird üblicherweise die Länge des Körpers in Strömungsrichtung gewählt. Bei [[Strömungswiderstand|Widerstandskörpern]] wird meist die Breite oder Höhe quer zur Strömungsrichtung, bei Rohrströmungen der Radius oder Durchmesser des Rohres und bei Gerinnen die Tiefe oder die Breite an der Gerinne-Oberfläche als charakteristische Länge genommen.

=== Herleitung ===
In der [[Navier-Stokes-Gleichungen|Navier-Stokes-Gleichung]] für inkompressible Fluide wird die Geschwindigkeit <math>\mathbf u</math> durch Division durch <math>v</math> dimensionslos gemacht, die räumlichen Ableitungen <math>\nabla</math> durch Multiplikation mit <math>L</math> und folglich die zeitliche Ableitung durch Multiplikation mit <math>L/v</math> und der Druck durch Division durch <math>\rho_0 \cdot v^2</math>. Damit wird aus der dimensionsbehafteten Gleichung
:<math>\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = \nu \,\nabla^2 \mathbf{u} - \nabla\frac{p}{\rho_0}</math>
die dimensionslose Form:
:<math>\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}
= \frac 1{\mathit{Re}}\,\nabla^2 \mathbf{u} - \nabla p.</math>

Alternativ – im allgemeinen Fall – können dimensionslose Kennzahlen über das [[Buckinghamsches Π-Theorem|Buckinghamsche Π-Theorem]] gebildet werden.

== Anwendungen ==
=== Rohrströmung ===
Überschreitet die Reynolds-Zahl einen problemabhängigen kritischen Wert <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math>, wird eine bis dahin [[laminare Strömung]] anfällig gegen kleine Störungen. Entsprechend ist für <math>\mathit{Re}>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> mit einem Umschlag von laminarer in [[turbulente Strömung]] zu rechnen. Für die Rohrströmung wurde dies erstmals von Osborne Reynolds beschrieben.<ref>Osborne Reynolds: ''XXIX. An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, and of the law of resistance in parallel channels.'' In: ''Philosophical transactions of the Royal Society of London.'' 1883, Band 174, S. 935–982 {{DOI|10.1098/rstl.1883.0029}}.</ref>

Bei [[Rohrströmung]]en werden als charakteristische Größen üblicherweise der Innendurchmesser <math>L = d</math>, der Betrag der über den Querschnitt gemittelten Geschwindigkeit <math>v = v_\mathrm{m}</math> und die Viskosität des Fluids <math>\nu</math> verwendet.

: <math>\mathit{Re} = \frac{v_\mathrm{m} \, d}{\nu}</math>.

In der Literatur wird häufig ein Wert von <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2300</math> zitiert. Er geht auf Messungen von Julius Rotta zurück<ref>Julius Rotta: ''Experimenteller Beitrag zur Entstehung turbulenter Strömung im Rohr'', In: ''Ingenieur-Archiv'', Band 24, 1956, S. 258–281, Springer-Verlag, [https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2FBF00536526.pdf ''Link''] (PDF; 2086 kB)</ref>.

Die kritische Reynolds-Zahl <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> charakterisiert nicht exakt den Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung. Vielmehr zerfallen Turbulenzen unterhalb der kritischen Reynolds-Zahl, und zwar umso schneller, je kleiner die Reynolds-Zahl ist. Es ist in Experimenten gelungen, laminare Rohrströmungen mit Reynolds-Zahlen um {{FormatNum|50000|de}} zu erzeugen, ohne dass die Strömung turbulent geworden ist.<ref>Heinz Schade, Ewald Kunz: ''Strömungslehre.'' 2. Aufl., Berlin; New York: de Gruyter, 1989, ISBN 3-11-011873-4, S. 100.</ref> Der Rekord liegt derzeit bei <math>\mathit{Re} = 100\,000</math>.<ref>Bergmann-Schaefer, Bd. 1 ''Mechanik, Akustik, Wärme'', De Gruyter, Berlin, New York, 2008 </ref> Wenn Störungen den Umschlag in eine turbulente Strömung erzeugen, bleibt die Strömung bei überkritischer Reynolds-Zahl turbulent.

Die kritische Reynolds-Zahl <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math>, die den Übergang zwischen turbulenter und laminarer Strömung markiert, ist nicht nur abhängig von der Geometrie des Anwendungsfalles, sondern auch von der Wahl der charakteristischen Länge. Wird zum Beispiel der Rohrradius statt des Durchmessers der Strömung als charakteristisches Längenmaß einer Rohrströmung gewählt, halbiert sich der Zahlenwert <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit} = \frac{2300}{2} = 1150</math>. Die Aussage bleibt jedoch gleich. Da die kritische Reynolds-Zahl kein exakter Wert ist, sondern einen breiten Übergangsbereich der Strömungsverhältnisse vereinfacht darstellt, werden die üblicherweiser verwendeten Zahlenwerte oft gerundet (z. B. 1200 mit dem Rohrradius als charakteristische Größe).

=== Flugobjekte ===
Die Reynolds-Zahl ist eine wichtige Größe innerhalb der [[Ähnlichkeitstheorie]]. Will man zum Beispiel ein verkleinertes Modell eines Flugzeuges in einem [[Windkanal]] untersuchen, so muss der Wert der Reynolds-Zahl von Original und Modell gleich sein, um ein ähnliches [[Strömungsfeld]] zu erhalten. Entsprechend muss bei einem um einen Faktor <math>f</math> verkleinerten Modell das Verhältnis <math>\tfrac{v}{\nu}</math> um den Faktor <math>f</math> erhöht werden.

[[Datei:Reynoldsflugrpd.png|mini|Geschwindigkeiten und Reynolds-Zahlen einiger Flugobjekte]]
Das Diagramm rechts vergleicht [[Geschwindigkeit]]en und zugehörige Reynolds-Zahlen der Strömungen um einige Flugobjekte. Beispielsweise sind die Reynolds-Zahlen von [[Luftschiff]]en höher als die von [[Flugzeug]]en. Sie bewegen sich zwar mit geringerer Geschwindigkeit, sind aber deutlich größer.

Damit in einem skalierten Modellversuch die gleichen Ergebnisse erhalten werden, müssen ggf. auch weitere dimensionslose Kennzahlen, die in den entdimensionalisierten Strömungsgleichungen auftreten, gleich bleiben. Wenn beispielsweise bei hohen Fluggeschwindigkeiten Änderungen in der Dichte relevant werden, ändert sich auch die [[Machzahl]]. Wenn im Versuch diese Änderung nicht berücksichtigt wird, kann es zu abweichenden Ergebnissen kommen.


Bei der Auslegung von [[Windkraftanlage]]n spielt die Reynolds-Zahl ebenfalls eine Rolle. Durch sie lässt sich der [[Strömungsabriss]] an deren Flügeln bestimmen und somit die Anlage für gewünschte Windgeschwindigkeiten auslegen.

=== Gerinneströmung ===
Bei [[Gerinneströmung]]en werden als charakteristische Größen der [[Hydraulischer Durchmesser|hydraulische Durchmesser]] <math>d_\mathrm h</math>, der Betrag der mittleren Fließgeschwindigkeit über den durchflossenen Querschnitt <math>v_\mathrm m</math> und die kinematische Viskosität des Fluids <math>\nu</math> verwendet.<ref>Robert Freimann: ''Hydraulik für Bauingenieure. Grundlagen und Anwendungen.'' Carl-Hanser-Verlag, München 2009, ISBN 978-3-446-41054-1, S. 41.</ref>

: <math>Re = \frac{v_\mathrm m \, d_\mathrm h}{\nu}</math>

=== Rührerströmung ===
Bei einem [[Rührer]] wird die Reynolds-Zahl durch den Durchmesser <math>D</math> des Rührers, dessen [[Drehzahl]] <math>N</math> in 1/s, sowie die [[Dichte]] <math>\rho</math> und die [[Viskosität|dynamische Viskosität]] <math>\eta</math> der Flüssigkeit bestimmt:<ref>{{Literatur|Autor=Marko Zlokarnik|Titel=Scale-up: Modellübertragung in der Verfahrenstechnik|Hrsg=|Sammelwerk=|Band=|Nummer=|Auflage=2|Verlag=WILEY-VCH|Ort=Weinheim|Datum=2005|Seiten=20|ISBN=3-527-31422-9}}</ref>

: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, N \, D^2}{\eta}</math>

Bei <math>\mathit{Re} > 10\,000</math> gilt die Strömung am Rührer als turbulent.


== Hinweise ==
In [[Ideale Flüssigkeit|idealen Flüssigkeiten]] gibt es keine Viskosität und die Reynolds-Zahl ist unendlich.

In der [[Magnetohydrodynamik]] wird die [[magnetische Reynolds-Zahl]] definiert.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Reynolds number|audio=0|video=1}}
* [https://simulations-plattform.de/dimensionslose-kennzahlen/reynoldszahl Rechner zur näherungsweisen Berechnung der Reynolds-Zahl]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kennzahl (Strömungsmechanik)]]
[[Kategorie:Kennzahl (Thermodynamik)]]
[[Kategorie:Windenergietechnik]]

Reynolds-Zahl - Versionsgeschichte

~2026-11997-82: Grammatikfehler. Bezieht sich ja aufs Fluid = Neutrum