imported>Leonry: Leonry verschob die Seite Detailed Balance nach Reversible Markow-Kette und überschrieb dabei eine Weiterleitung: korrekte Bezeichnung: die Eigenschaft ist Reversibilität, während die Gleichung bzw. Bedingung auch detaillierte Balance genannt wird

2026-04-21T18:21:53Z

Leonry verschob die Seite Detailed Balance nach Reversible Markow-Kette und überschrieb dabei eine Weiterleitung: korrekte Bezeichnung: die Eigenschaft ist Reversibilität, während die Gleichung bzw. Bedingung auch detaillierte Balance genannt wird

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Die '''Reversibilität<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Dieter Baum |Titel=Grundlagen der Warteschlangentheorie |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2013 |Reihe=Masterclass |ISBN=978-3-642-39631-1 |Fundstelle=7.1 Reversibilität und Balance}}</ref>''' ist eine Eigenschaft homogener [[Markow-Kette]]n, einem speziellen [[Stochastischer Prozess|stochastischen Prozess]]. Anschaulich ist eine '''reversible Markow-Kette''' ein stochastischer Prozess, wofür nicht erkennbar ist, ob er sich zeitlich vorwärts oder rückwärts bewegt.

== Definition ==
Eine Markow-Kette mit möglichen Zuständen <math>(X_z)_{z \in \mathbb Z}</math> und einer [[Übergangsmatrix]] <math>(w_{ij})</math>, wobei <math>w_{ij}</math> die Wahrscheinlichkeit für einen Übergang von Zustand <math>X_i</math> zum Zustand <math>X_j</math> bezeichnet (also die [[Übergangswahrscheinlichkeit]]), heißt ''reversibel'' ''bezüglich der Verteilung'' <math> P </math>, wenn
:<math> P(X_i)w_{ij} = P(X_j)w_{ji}</math>
für alle <math>i,j</math> gilt. Eine Markow-Kette heißt ''reversibel'', wenn sie eine Verteilung besitzt, bezüglich derer sie reversibel ist.

Die obige Gleichung ist die '''Bedingung der detaillierten Balance'''. Ist sie erfüllt, so ist das System, das durch den Markow-Prozess beschrieben wird, in der detaillierten Balance.

== Anmerkungen ==
Die Bedingung der detaillierten Balance wird gelegentlich auch ''(stationsspezifische) detaillierte Balancegleichung''<ref name=":0" /> genannt. Anstatt des Begriffs der detaillierten Balance werden auch die Begriffe ''detaillierte [[Bilanzgleichung|Bilanz]]''<ref>{{Literatur |Autor=Michael Bestehorn |Titel=Computational physics: mit Beispielen in Fortran und Matlab |Verlag=Walter de Gruyter GmbH & Co. KG |Ort=Berlin ; Boston |Datum=2016 |Reihe=De Gruyter Studium |ISBN=978-3-11-037288-5 |Seiten=256}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Bernard Diu, Claudine Guthmann, Danielle Lederer |Titel=Grundlagen der Statistischen Physik: Ein Lehrbuch mit Übungen |Verlag=De Gruyter |Ort=Tubingen |Datum=2011 |ISBN=978-3-11-013593-0 |Seiten=754}}</ref> oder ''detailliertes Gleichgewicht''<ref>{{Literatur |Autor=Bernhard Reuter |Titel=Generalisierte Markov-Modellierung: Modellierung Irreversibler -Amyloid-Peptid-Dynamik Unter Mikrowelleneinfluss |Verlag=Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH |Ort=Wiesbaden |Datum=2020 |ISBN=978-3-658-29711-4 |Seiten=11}}</ref> gebraucht.

== Eigenschaften ==
* Für [[Stationärer stochastischer Prozess|stationäre]] [[Markow-Ketten]] <math>(X_z)_{z \in \mathbb Z}</math> mit Übergangsmatrix <math>(w_{ij})</math> (also insbesondere für diejenigen Ketten, die in einer [[Stationäre Verteilung|stationären Verteilung]] starten) ist diese Eigenschaft äquivalent zur ''zeitlichen Reversibilität'', das heißt, für den [[Zeitumkehr (Physik)|zeitumgekehrten]] Prozess <math>\tilde X_z := X_{-z} </math> gilt für alle <math>t_1, \dots, t_n \in \mathbb Z</math>, dass <math> (X_{t_1}, \dots, X_{t_n}) \sim (X_{-t_1}, \dots, X_{-t_n})</math>.<ref>Das heißt, <math>X_{t_1},\ldots</math> sind verteilt wie <math>X_{-t_1},\ldots</math></ref> Für jede [[Stochastischer Prozess#Pfade|Realisierung]] ist also gleichgültig, in welcher Richtung sie durchlaufen wird.
* Jede Verteilung, welche die Bedingung der detaillierten Balance erfüllt, ist eine stationäre Verteilung. Das folgt direkt aus der [[Mastergleichung]] <math display="inline"> \frac{\mathrm{d}P_k}{\mathrm{d}t}=\sum_{\ell \ne k}(w_{k\ell}P_\ell - w_{\ell k}P_k)=0 </math>. Die Konvergenz einer beliebigen Verteilung gegen die stationäre Verteilung ist daraus aber nicht gegeben. Ein hinreichendes Kriterium dafür liefert zum Beispiel der [[Individueller Ergodensatz|Ergodensatz]].

== Beispiele ==

*Der [[Metropolisalgorithmus]] ist ein Beispiel für einen stochastischen Prozess, der die Bedingung der detaillierten Balance erfüllt. Er wird in [[Monte-Carlo-Simulation]]en dazu genutzt, Zustände eines Systems aus vorhergehenden Zuständen gemäß einer Übergangswahrscheinlichkeit zu erzeugen.<ref>{{Literatur |Autor=Peter Deuflhard, Andreas Hohmann |Titel=Numerische mathematik 1: eine algorithmisch orientierte einführung |Auflage=4., überarbeitete und erweiterte Auflage |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin, Germany |Datum=2008 |Reihe=de Gruyter Lehrbuch |ISBN=978-3-11-020354-7 |Seiten=352f. |Abruf=2026-04-21}}</ref>

== Siehe auch ==

* [[Gibbs-Sampling]]

== Literatur ==
* G. Bhanot, ''The Metropolis algorithm'', Rep. Prog. Phys. 51 (1988) 429
* Achim Klenke: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, 19.2 Reversible Markovketten
* Hans-Otto Georgii: ''Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik'', 5. Auflage, de Gruyter 2015

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Markow-Prozesse]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]

Reversible Markow-Kette - Versionsgeschichte

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