imported>Aka: /* Literatur */ Halbgeviertstrich | Weblinks im Text

2018-08-30T16:00:25Z

Literatur: Halbgeviertstrich | Weblinks im Text

Neue Seite

Die '''reverse Mathematik''', ein Teilgebiet der [[Mathematische Logik|mathematischen Logik]], versucht zu bestimmen, welche [[Axiom]]e notwendig sind, um bestimmte [[Theorem]]e zu beweisen. Reverse Mathematik ist damit gewissermaßen die Umkehrung der gewöhnlichen Mathematik, die versucht, Theoreme aus Axiomen herzuleiten.

Die reverse Mathematik wurde 1974 von [[Harvey Friedman (Mathematiker)|Harvey Friedman]] als mathematisches Projekt aufgebracht.<ref>H. Friedman: ''Some Systems of Second Order Arithmetic and Their Use.'' In: ''Proceedings of the International Congress of Mathematicians.'' Vancouver, USA, 1974, Vol. 1, S. 235–242. Oder: ''Canadian Mathematics Congress, Montreal, Québec'', 1975.</ref> Die Idee dazu entstand aus Ergebnissen der [[Mengenlehre]], unter anderem dem klassischen Theorem, dass das [[Auswahlaxiom]] und das [[Lemma von Zorn]] über der [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF]] äquivalent sind.

== Prinzip ==

Die Grundidee der reversen Mathematik ist die folgende: Man beginnt mit einem Kernsystem von Axiomen, das zu schwach ist, um ein bestimmtes Theorem zu beweisen, aber trotzdem stark genug, die darin vorkommenden Grundbegriffe herzuleiten. Ziel ist es nun, das Kernsystem um genau die Axiome zu erweitern, die notwendig sind, um das Theorem zu beweisen.

Dazu ergänzt man das Kernsystem um Axiome und legt dann zwei Beweise dar. Der erste Beweis muss zeigen, dass das Theorem überhaupt aus dem erweiterten Axiomsystem [[Ableitung (Logik)|logisch ableitbar]] ist. Der zweite Beweis muss zeigen, dass kein schwächeres System von Axiomen in der Lage ist, das Theorem zu beweisen. Dieser Beweis wird ausgeführt, indem man zeigt, dass jedes andere Axiomsystem, das das Theorem beweisen kann, das vorliegende Axiomsystem enthält.

Der Ansatz ist eng verwandt mit der Betrachtung der [[Teilmenge]]nbeziehung von [[Erzeuger (Algebra)|erzeugenden Systemen]] und [[Basis (Vektorraum)|minimalen erzeugenden Systemen]] von [[Vektorraum|Vektorräumen]] in der [[Algebra]]. Was dort jedoch gemäß der [[Mengenlehre]] innerhalb des axiomatischen Rahmens geschieht, passiert hier auf einer logischen Metaebene mit den Axiomen selbst.

== Quellen ==

<references/>

== Literatur ==
* Harvey Friedman / [[Stephen G. Simpson]]: ''Issues and Problems in Reverse Mathematics'', in: Computability Theory and its Applications, Contemporary Mathematics 257, 2000, 127–144.
* S. G. Simpson: ''Reverse Mathematics'', Lecture Notes in Logic 21, ASL 2005.
* S. G. Simpson: ''Subsystems of second order arithmetic. Perspectives in Mathematical Logic''. Springer-Verlag, Berlin, 1999 (Kap. 1–4)

== Weblinks ==
* [http://www.math.ohio-state.edu/~friedman/ Friedman] Homepage (mit herunterladbaren Schriften)
* [http://www.math.psu.edu/simpson/ Simpson] Homepage (mit herunterladbaren Schriften)

[[Kategorie:Mathematische Logik]]

Reverse Mathematik - Versionsgeschichte

imported>Aka: /* Literatur */ Halbgeviertstrich | Weblinks im Text