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2025-08-18T11:09:02Z

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{{Dieser Artikel|befasst sich mit dem Reuleaux-Tetraeder und dem Meißner-Körper aus der Geometrie. Zum Thema Anatomie siehe [[Meissner-Körperchen]].}}
[[Datei:ReuleauxTetrahedron Animation.gif|gerahmt|rechts|Animation des Reuleaux-Tetraeders, mit erzeugendem regelmäßigem Tetraeder.]]
[[Datei:Reuleaux-tetrahedron-intersection.png|mini|Vier sich schneidende Kugeln, die das Reuleaux-Tetraeder erzeugen.]]
[[Datei:Reuleaux-tetrahedron-ygy.stl|mini|Reuleaux-Tetraeder]]
Das '''Reuleaux-Tetraeder''' ist die Schnittmenge von vier Kugeln mit [[Radius]] ''s'', deren vier Mittelpunkte an den Ecken eines regelmäßigen [[Tetraeder]]s mit Seitenlänge ''s'' liegen. Die vier Ecken des erzeugenden Tetraeders bilden auch die vier Ecken des Reuleaux-Tetraeders. Das Reuleaux-Tetraeder hat dieselbe Struktur wie sein erzeugendes Tetraeder: vier Ecken, vier Flächen und sechs Kanten. Die Flächen bestehen jedoch aus [[Kugelsegment]]en und die Kanten aus [[Kreissegment]]en.

Das Reuleaux-Tetraeder ist definiert und benannt nach seinem 2-dimensionalen Analogon, dem [[Reuleaux-Dreieck]], das nach [[Franz Reuleaux]] benannt ist. Im Gegensatz zu diesem ist das Reuleaux-Tetraeder aber kein [[Gleichdick|Körper konstanter Breite]], denn die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Kanten haben eine größere Entfernung
: <math>(\sqrt3 - \sqrt2/2)s\approx 1{,}0249s.</math>
Das Volumen des Reuleaux-Tetraeder beträgt
: <math>\frac{s^3}{12}(3\sqrt2 - 49\pi + 162\tan^{-1}\sqrt2)\approx 0{,}422s^3</math>
(Weisstein).

== Invertierter Reuleaux-Tetraeder ==
Das Reuleaux-Dreieck kann invertiert werden, indem die Kreise das gleichseitige Dreieck nicht erweitern, sondern es verkleinern.
[[Datei:Inverse reuleaux triangle.png|mini|Invertiertes Reuleaux-Dreieck]]
[[Datei:Hennig-reuleaux-tetrahedron.stl|mini|Ein Hennig-Reuleaux-Tetraeder mit doppeltem Radius des zugrunde liegenden Reuleaux-Tetraeders.]]
Einen invertierten Reuleaux-Tetraeder mit Kugeln desselben Radius der Kugeln des nicht invertierten Reuleaux-Tetraeder kann es '''nicht''' geben, da die Überschneidung der vier Kugeln zu einer gänzlichen Entfernung des Tetraeders führt. Ist der Radius der Kugeln größer, so kommt eine invertiert aussehende Form des Reuleaux-Tetraeders dabei heraus.

[[Datei:Inverse-reuleaux-tetrahedron-1-intersection.stl|mini|Invertierter Reuleaux-Tetraeder mit einer schneidenden Kugel]]
[[Datei:Inverse-reuleaux-tetrahedron-2-intersection.stl|mini|Invertierter Reuleaux-Tetraeder mit zwei schneidenden Kugeln]]
[[Datei:Inverse-reuleaux-tetrahedron-3-intersection.stl|mini|Invertierter Reuleaux-Tetraeder mit drei schneidenden Kugeln]]

== Meißner-Körper ==

[[Ernst Meissner]] und [[Friedrich Schilling (Mathematiker)|Friedrich Schilling]] (1911, 1912) zeigten jedoch, wie das Reuleaux-Tetraeder abgeändert werden kann, um einen [[Gleichdick|Körper konstanter Breite]] zu bilden. Dazu müssen drei der (aus Kreissegmenten bestehenden) Kanten ersetzt werden durch Flächen, die Teil eines [[Rotationskörper]]s sind. Diese Rotationskörper haben als Achse die Kante des zugehörigen erzeugenden Tetraeders und als erzeugende Kurve ein Kreissegment, das entsteht, wenn man das Reuleaux-Tetraeder mit den fortgesetzten Seiten des erzeugenden Tetraeders schneidet. Je nachdem welche drei Kanten ersetzt werden (drei mit gemeinsamer Ecke oder drei die ein Dreieck bilden), entstehen zwei topologisch verschiedene Körper, die auch '''Meißner-Körper''' genannt werden (für Filme und interaktive Bilder siehe Weber). [[Tommy Bonnesen]] and [[Werner Fenchel]] (1934) vermuteten, dass die Meißner-Körper die Körper mit konstanter Breite mit minimalem Volumen sind, der Beweis ist jedoch immer noch offen (Kawohl und Weber, 2011). Campi et al. (1996) konnten zeigen, dass der Rotationskörper mit konstanter Breite mit minimalem Volumen ein [[Reuleaux-Dreieck]] ist, das um eine seiner [[Symmetrieachse]]n rotiert.

== Literatur ==
* {{cite journal
| author = Ernst Meissner
| title = Über Punktmengen konstanter Breite
| journal = Vierteljahrsschr. Nat.forsch. Ges. Zürich
| volume = 56
| year = 1911
| pages = 42–50}}
* {{cite journal
| author = Ernst Meissner, Friedrich Schilling
| title = Drei Gipsmodelle von Flächen konstanter Breite
| journal = Z. Math. Phys
| volume = 60
| year = 1912
| pages = 92–94}}
* {{cite book
| author = [[Tommy Bonnesen]], [[Werner Fenchel]]
| title = Theorie der konvexen Körper
| publisher = Springer-Verlag
| year = 1934
| pages = 127–139}}
* {{Literatur
|Autor=Stefano Campi, Andrea Colesanti, Paolo Gronchi
|Titel=Partial Differential Equations and Applications: Collected Papers in Honor of Carlo Pucci
|Sammelwerk=Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics
|Band=177
|Verlag=CRC Press
|Datum=1996
|Kapitel=Minimum problems for volumes of convex bodies
|Seiten=43–55}}
* {{cite journal
| author = Bernd Kawohl, Christof Weber
| doi = 10.1007/s00283-011-9239-y
| url = https://www.fhnw.ch/personen/christof-weber/dateien/Kawohl_Weber_2011.pdf
| title = Meissner’s Mysterious Bodies
| journal = Math. Intell
| volume = 33/3
| year = 2011
| pages = 94–101}}

== Weblinks ==
* {{cite web
| author = Thomas Lachand-Robert, Édouard Oudet
| title = Spheroforms
| url = https://www.lama.univ-savoie.fr/~lachand/Spheroforms.html
| accessdate=2011-02-03}}
* {{cite web
| author = Christof Weber
| url = https://www.swisseduc.ch/mathematik/geometrie/gleichdick/docs/meissner_de.pdf
| title = ''Was hat dieser Körper mit Kugeln zu tun?''
| year = 2006
| accessdate=2011-02-03 | format = PDF; 268 kB
}} Hier gibt es auch [https://www.swisseduc.ch/mathematik/geometrie/gleichdick/index-de.html Filme] und [https://www.swisseduc.ch/mathematik/geometrie/gleichdick/meissner-de.html interaktive Bilder] der beiden Meissner-Körper.
* {{MathWorld |id=ReuleauxTetrahedron |title=Reuleaux Tetrahedron}}

[[Kategorie:Raumgeometrie]]

Reuleaux-Tetraeder - Versionsgeschichte

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