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2024-09-27T06:33:39Z

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In der [[Kategorientheorie]], einem Zweig der [[Mathematik]], versteht man unter einer '''Retraktion''' einen [[Morphismus]] <math>f</math>, der ein Rechtsinverses besitzt, das heißt, zu dem es einen Morphismus <math>g</math> gibt mit <math>f \circ g = \operatorname{id}</math>. Der [[Kategorientheorie#Duale Kategorie|duale]] Begriff einer Retraktion ist der der '''Koretraktion''' (oder '''Schnitt'''), das heißt ein Morphismus, der ein Linksinverses besitzt. Das Rechtsinverse einer Retraktion ist eine Koretraktion und umgekehrt.

Ein Objekt <math>X</math> einer [[Kategorientheorie|Kategorie]] <math>\mathcal{C}</math> heißt ''Retrakt'' eines Objekts <math>Y\in \mathcal{C}</math>,
wenn es in <math>\mathcal{C}</math> einen Morphismus <math>f\colon X\to Y</math> und eine Retraktion <math>r\colon Y\to X</math> zu <math>f</math>, also einen Morphismus <math>r</math> mit <math>r\circ f=\operatorname{id}_X</math>, gibt.

Jede Retraktion ist ein [[Extremer Epimorphismus|extremer]] und sogar [[Regulärer Monomorphismus und Epimorphismus|regulärer]] [[Epimorphismus]]. Ebenso ist jede Koretraktion extremer und sogar regulärer [[Monomorphismus]] und sogar [[Differenzkern]].<ref name="pumplün">{{Literatur |Autor= [[Dieter Pumplün]] |Titel=Elemente der Kategorientheorie |Auflage=1. |Verlag= [[Spektrum Akademischer Verlag]] |Ort=Heidelberg |Datum=1999 |ISBN=3-86025-676-9 |Seiten=64}}</ref>

== Spezielle Kategorien ==
=== Topologische Räume ===
Der Begriff der Retraktion findet Anwendung in der [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]]. In der Kategorie <math>\mathbf{Top}</math> der topologischen Räume sind alle [[Extremer Monomorphismus|extremen Monomorphismen]] und damit auch alle Koretraktionen [[topologische Einbettung]]en.<ref>{{nLab|extremal+monomorphism|2=extremal monomorphism}}</ref> Dies ermöglicht im Falle topologischer Räume eine andere Sichtweise und Definition: Eine Retraktion ist ein stetiges Linksinverses einer topologischen Einbettung. Oder konkret formuliert: Eine Retraktion ist eine stetige Abbildung von einem topologischen Raum in sich selbst, sodass jedes Element der [[Bildmenge]] [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkt]] ist.<ref name="fulton">{{Literatur |Autor=[[William Fulton (Mathematiker)|William Fulton]] |Titel=Algebraic Topology |Auflage=1. |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |Ort=New York |Datum=1995}} Abschnitt 4b, ISBN 0-387-94327-7</ref>

Dies erlaubt auch eine konkrete Definition des Retrakts: Ein Teilraum <math>A</math> eines [[Topologischer Raum|topologischen Raums]] <math>X</math> heißt Retrakt von <math>X</math>, wenn es eine Retraktion <math>r</math> zur Einbettung <math>i\colon A\to X</math> gibt.

<math>A</math> ist genau dann Retrakt von <math>X</math>, wenn jede stetige Abbildung <math>f\colon A\to Y</math> stetig zu einer Abbildung <math>g\colon X\to Y</math> fortgesetzt werden kann:
* Gibt es eine Retraktion <math>r\colon X\to A</math>, so ist <math>g := f \circ r</math> [[stetige Fortsetzung]].
* Eine Fortsetzung von <math>\operatorname{id}_A</math> zu einer stetigen Abbildung <math>r\colon X\to A</math> ist eine Retraktion.

In einem [[Hausdorffraum]] ist jedes Retrakt abgeschlossen: Sei <math>A\subset X</math> Retrakt mit Retraktion <math>r\colon X\to A</math>. Betrachte nun ein konvergentes [[Netz (Topologie)|Netz]] <math>N_i\to a</math> auf <math>A</math>. Das Bildnetz <math>r(N_i)</math> konvergiert gegen <math>r(a)</math> (da <math>r</math> stetig) und ist gleich dem ursprünglichen Netz. Da der Grenzwert eines Netzes in Hausdorffräumen eindeutig ist, gilt somit <math>r(a)=a\in A</math> und <math>A</math> ist abgeschlossen. In Nicht-Hausdorffräumen gilt dies nicht: In Nicht-[[T1-Raum|T₁-Räumen]] existieren nicht-abgeschlossene einelementige Mengen, die aber offensichtlich Retrakte sind. Als Beispiel für einen T₁-Raum mit nicht-abgeschlossenem Retrakt betrachte die [[kofinite Topologie]] auf <math>\N</math>: <math>r\colon \N\to\N\setminus\{0\}</math> mit <math>r(0)=1</math> und <math>r(n)=n</math> für <math>n\neq 0</math> ist eine Retraktion, das Bild ist jedoch nicht abgeschlossen.

==== Deformationsretrakt ====
<math>A</math> heißt ''Deformationsretrakt'' von <math>X</math>, wenn <math>i\circ r</math> homotop zu <math>\operatorname{id}_X</math> relativ <math>A</math> ist.

Deformationsretraktionen sind spezielle [[Homotopie#Homotopieäquivalenz|Homotopieäquivalenzen]], die diese [[Äquivalenzrelation]] erzeugen.

==== Beispiele ====
===== Elementares Beispiel =====
Die folgende Abbildung ist ein anschauliches Beispiel für eine Retraktion in den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]]:
::<math>f\colon \R \to [0,1], x \mapsto \begin{cases}
0 & \mbox{für } x<0 \\
x & \mbox{für } 0\leq x \leq 1 \\
1 & \mbox{für } x>1
\end{cases}</math>

===== Fixpunktsatz von Brouwer im eindimensionalen Fall =====
Der [[Fixpunktsatz von Brouwer]] besagt, dass jede stetige Abbildung einer [[Vollkugel]] in sich selbst einen Fixpunkt besitzt. Eine eindimensionale Vollkugel entspricht topologisch gesehen gerade einem abgeschlossenen Intervall, etwa <math>\left[-1,1\right]</math>. Gäbe es nun eine stetige, fixpunktfreie Abbildung <math>f\colon \left[-1, 1\right] \to \left[-1,1\right]</math>, so ergäbe sich dadurch eine Retraktion <math>g\colon \left[-1, 1\right] \to \{-1, 1\}</math> mittels <math>g(x)=\sgn(x-f(x))=\textstyle \frac{x-f(x)}{\left|x-f(x)\right|}</math> (da der Nenner nie verschwinden würde), d. h. <math>\left\{-1,1\right\}</math> müsste Retrakt von <math>\left[-1, 1\right]</math> sein. Eine solche Retraktion kann aber nicht existieren, da [[Zusammenhängender Raum|Zusammenhang]] unter stetigen Abbildungen erhalten ist.<ref name="fulton" />

===== Abgeschlossene Teilräume des Baire-Raums =====
{{Hauptartikel|Baire-Raum (speziell)}}
Im Baire-Raum <math>\mathcal{N}</math> gilt: Für alle abgeschlossenen Teilräume (dies sind stets [[Polnischer Raum|polnische]] Teilräume) <math>X\subset Y\subset \mathcal{N}</math> ist <math>X</math> Retrakt von <math>Y</math>. Man beachte, dass der Baire-Raum [[total unzusammenhängend]] ist, und daher der Zusammenhangsbegriff keinerlei Einschränkungen für Retrakte liefert.

=== Pfeilkategorie ===
Sei <math>\mathcal{C}</math> eine Kategorie, die zugehörige [[Pfeilkategorie]] ist dann die Kategorie der [[Funktor (Mathematik)|Funktoren]] von der Kategorie mit zwei Objekten und drei Morphismen in die Kategorie <math>\mathcal{C}</math>. Diese werden Pfeile genannt und können mit den Morphismen in <math>\mathcal{C}</math> identifiziert werden. Ein Pfeil <math>f</math> ist Retrakt eines Pfeils <math>g</math>, wenn es eine [[natürliche Transformation]] (d. h. ein kommutierendes Quadrat) <math>\eta\colon f\to g</math> und eine Retraktion <math>r\colon g\to f</math> gibt, also das folgende Diagramm kommutiert:

:[[Datei:Retrakt.svg|170px]]

=== Mengenlehre ===
In der Kategorie <math>\mathbf{Set}</math> aller [[Menge (Mathematik)|Mengen]] und den [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] zwischen ihnen ist ein Morphismus (das heißt eine Funktion zwischen zwei Mengen) genau dann eine Retraktion, wenn er [[surjektiv]] ist. Diese Aussage ist äquivalent zum [[Auswahlaxiom]] der [[Mengenlehre]]. Entsprechend ist ein Morphismus genau dann eine Koretraktion, wenn er [[Injektivität|injektiv]] ist und es einen Morphismus in der Gegenrichtung gibt. Diese Aussage benötigt jedoch nicht das Auswahlaxiom. Aus diesen Aussagen folgt, dass in jeder [[Konkrete Kategorie|konkreten Kategorie]] die Retraktionen surjektiv und die Koretraktionen injektiv sein müssen, was für allgemeine Epi- bzw. Monomorphismen, welche in der Kategorie der Mengen mit den Retraktionen bzw. Koretraktionen übereinstimmen, im Allgemeinen nicht gilt.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Kategorientheorie}}

[[Kategorie:Kategorientheorie]]
[[Kategorie:Algebraische Topologie]]



[[pl:Retrakcja (topologia)]]

Retraktion und Koretraktion - Versionsgeschichte

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