imported>Stueckl: /* Mathematische Formulierung */ Notation der Integrale enger an den Artikel "Wellengleichung" angelehnt, z. B. durch Angabe von R3

2025-12-25T20:41:57Z

Mathematische Formulierung: Notation der Integrale enger an den Artikel "Wellengleichung" angelehnt, z. B. durch Angabe von R3

Neue Seite

Das '''retardierte Potential''' (deutsch: ''verzögertes Potential'', manchmal auch ''retardierendes Potential''<ref>[[Ilja Nikolajewitsch Bronschtein|I. N. Bronstein]], [[Konstantin Adolfowitsch Semendjajew|K. A. Semendjajew]]: [[Taschenbuch der Mathematik]] 20. Auflage, Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt(Main), 1981, Kap. 3.3.2.3.3, S. 545</ref> genannt) ist die Bezeichnung für die mathematische Form des [[Potential (Physik)|Potentials]] in der [[Elektromagnetismus|elektromagnetischen Feldtheorie]] oder anderen [[Feldtheorie (Physik)|Feldtheorien]], in denen sich Änderungen des [[Feld (Physik)|Feldes]] mit endlicher [[Geschwindigkeit]] ([[Lichtgeschwindigkeit]]) und ''nicht'' [[instantan]] ausbreiten. Es tritt bei der Untersuchung [[Dynamik (Physik)|zeitabhängiger Probleme]] auf, zum Beispiel bei der Abstrahlung [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetischer Wellen]].

Dagegen werden in der [[Elektrostatik]], der [[Magnetostatik]] und der klassischen [[Newtonsche Gravitationstheorie|Newtonschen Gravitationstheorie]] Zeitabhängigkeiten vernachlässigt.

== Mathematische Formulierung ==
Mathematisch ist das Potential <math>\,u (t, \mathbf x)</math> die Lösung der (aus den [[Maxwellgleichungen]] folgenden) inhomogenen [[Wellengleichung]] in drei Raumdimensionen

:<math>\frac 1 {c^2}\,\frac {\partial^2 u} {\partial t^2} - \sum_{i=1}^{3} \left( \frac {\partial^2 u} {\partial x_i^2} \right) = \frac {1} {c^2} \, \frac {\partial^2 u} {\partial t^2} - \Delta u = \Box u(t,\mathbf x) = v(t, x_1, x_2, x_3)</math>,

wobei <math>\Delta = \nabla^2</math> für den [[Laplace-Operator]], <math>\Box</math> für den [[D’Alembert-Operator]], <math>c</math> für die [[Wellengeschwindigkeit]] und auf der rechten Seite <math>\,v(t,\mathbf x)</math> für einen Quellenterm stehen.

Die Lösung

:<math>u_{\text{retardiert}}(t,\mathbf x) = \frac {1} {4 \pi} \int_{\mathbb R^3}\! \, \frac {v \left( t - \frac {|\mathbf x - \mathbf y|} {c}, \mathbf y \right)} {|\mathbf x - \mathbf y|} \, \mathrm d^3 \mathbf y</math>
heißt '''retardiertes Potential''', weil die Funktion <math>v</math> nicht zum Zeitpunkt <math>t</math> genommen wird, sondern zu einem früheren Zeitpunkt. Nimmt man für die Wellengeschwindigkeit <math>c</math> die [[Lichtgeschwindigkeit]] an, so hängt diese Lösung am Ort <math>\mathbf x</math> zur Zeit <math>t</math> nur von der Inhomogenität <math>v</math> ''auf'' dem [[Rückwärtslichtkegel]] von <math>\mathbf x</math> ab. Die Inhomogenität wirkt sich auf die Lösung verspätet mit Lichtgeschwindigkeit aus.

Die Lösung

:<math>u_{\text{avanciert}}(t,\mathbf x) = \frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb R^3}\! \, \frac{v\left(t + \frac{|\mathbf x - \mathbf y|}{c}, \mathbf y\right)}{|\mathbf x - \mathbf y|} \, \mathrm d^3 \mathbf y</math>

heißt entsprechend avanciertes Potential, weil die Funktion <math>v</math> nicht zum Zeitpunkt <math>t</math> genommen wird, sondern zu einem späteren Zeitpunkt. Dies beschreibt zum Beispiel eine Senke, die ein bestehendes Feld absorbiert.

Mit retardiertem und avanciertem Potential lassen sich somit Emission und Absorption von Feldern beschreiben.

== Anwendungsbeispiele ==
In der [[Elektrodynamik]] müssen retardierte Potentiale zum Beispiel in Form der [[Liénard-Wiechert-Potential]]e bei der Erzeugung von [[Synchrotronstrahlung]] berücksichtigt werden.<ref>{{Literatur |Autor=Giovanni Perosa, Simone Di Mitri, William A. Barletta, Fulvio Parmigiani |Titel=Doppler signature in electrodynamic retarded potentials |Sammelwerk=Physics Open |Band=14 |Datum=2023-02-01 |ISSN=2666-0326 |DOI=10.1016/j.physo.2023.100136 |Seiten=100136 |Online=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2666032623000017 |Abruf=2024-11-25}}</ref>

In der [[Gravitation]] gibt es Anwendungsbeispiele zur Berechnung von Abweichungen bei [[Umlaufbahn]]en von [[Satellitenorbit|Satelliten]]<ref>{{Literatur |Autor=C. K. Raju |Titel=Retarded gravitation theory |Sammelwerk=AIP Conference Proceedings |Verlag=AIP |Datum=2012 |DOI=10.1063/1.4756973 |Seiten=260–276 |Online=https://pubs.aip.org/aip/acp/article-abstract/1483/1/260/727544/Retarded-gravitation-theory?redirectedFrom=fulltext |Abruf=2024-11-25}}</ref>, [[Mondbahn|Monden]]<ref>{{Literatur |Autor=Yin Zhu |Titel=The speed of gravity: An observation on galaxy motions |Datum=2016 |DOI=10.13140/RG.2.2.30917.45287 |Online=http://rgdoi.net/10.13140/RG.2.2.30917.45287 |Abruf=2024-11-25}}</ref> oder [[Planetenbahn|Planeten]].<ref>{{Literatur |Autor=Roy J. Kennedy |Titel=PLANETARY MOTION IN A RETARDED NEWTONIAN POTENTIAL FIELD |Sammelwerk=Proceedings of the National Academy of Sciences |Band=15 |Nummer=9 |Datum=1929-09-15 |ISSN=0027-8424 |DOI=10.1073/pnas.15.9.744 |PMID=16577233 |Seiten=744–753 |Online=https://pnas.org/doi/full/10.1073/pnas.15.9.744 |Abruf=2024-11-25}}</ref>

Laut neueren Arbeiten<ref>{{Cite journal |last1=Glass |first1=Yuval |last2=Zimmerman |first2=Tomer |last3=[[Asher Yahalom|Yahalom]] |first3=Asher |title=Retarded Gravity in Disk Galaxies |journal=Symmetry |language=en |issue=4 |volume=16 |date=2024-03-26 |issn=2073-8994 |doi=10.3390/sym16040387 |bibcode=2024Symm...16..387G |url=https://www.mdpi.com/2073-8994/16/4/387 |access-date=2025-02-05 |doi-access=free}}</ref> liefert die Berücksichtigung der retardierten Gravitationspotenziale der sich ändernden Masseverteilungen in [[Galaxie|Galaxientypen]] aller Art eine gute Übereinstimmung mit den beobachteten [[Rotationskurve|Rotationskurven]]. Dadurch könnte das Verhalten von Galaxien erklärt werden, ohne hypothetische [[Dunkle Materie]] berücksichtigen oder eine [[modifizierte Newtonsche Dynamik]] annehmen zu müssen.

== Literatur ==
* [[Richard Courant]] und [[David Hilbert]]: ''Methoden der mathematischen Physik Band 2.'' zweite Auflage, Springer Verlag, 1968

== Weblinks ==
* Norbert Dragon, [https://www.itp.uni-hannover.de/fileadmin/arbeitsgruppen/dragon/rech.pdf ''Stichworte und Ergänzungen zu Rechenmethoden der Physik''] (PDF; 1,9 MB), Kapitel 18

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Wellenlehre]]

Retardiertes Potential - Versionsgeschichte

imported>Stueckl: /* Mathematische Formulierung */ Notation der Integrale enger an den Artikel "Wellengleichung" angelehnt, z. B. durch Angabe von R3