imported>Mathze: /* Definition */

2023-07-10T19:47:00Z

Definition

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'''Restklassenkörper''' spielen in verschiedenen Bereichen der [[Algebra]] und [[Zahlentheorie]] eine wichtige Rolle. In ihrer einfachsten Form sind sie die mathematische Abstraktion des [[Division mit Rest|Restes bei der Division]] durch eine [[Primzahl]], in der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] treten sie auf, wenn die lokale Struktur eines geometrischen Objektes in einem Punkt beschrieben wird.

== Definition ==
Sei <math>A</math> ein [[Ring (Algebra)|Ring]] mit einem [[maximales Ideal|maximalen]] [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] <math>\mathfrak m</math>. Dann heißt der [[Faktorring]] <math>A/\mathfrak m</math>, der als Faktorring eines maximalen Ideals ein Körper ist, der ''Restklassenkörper'' von <math>A</math> bezüglich <math>\mathfrak m</math>.

== Beispiele ==
=== Restklassenkörper modulo einer Primzahl ===
Sei <math>A=\Z</math> der Ring der [[ganze Zahl|ganzen Zahlen]]. Da <math>\Z</math> ein [[Hauptidealring]] ist, sind maximale Ideale von <math>\Z</math> gerade die von [[Primelement|Primelementen]] erzeugten Ideale. Ist also <math>p</math> eine [[Primzahl]], so ist der [[Restklassenring]] <math>\mathbb Z/p\mathbb Z</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]], genauer ein [[endlicher Körper]] mit <math>p</math> Elementen. Er wird Restklassenkörper modulo <math>p</math> genannt und üblicherweise mit <math>\mathbb F_p</math> bezeichnet. Man beachte jedoch, dass es auch endliche Körper <math>\mathbb F_{p^2}</math>,<math>\mathbb F_{p^3},\ldots</math> gibt, die mit den jeweiligen Restklassenringen nichts zu tun haben.

Restklassenkörper sind spezielle Beispiele [[Prime Restklassengruppe|primer Restklassengruppen]].

Für weitere Details zu endlichen Körpern ''siehe'' [[endlicher Körper]].

=== Restklassenkörper lokaler Ringe ===
Sei <math>A</math> ein [[lokaler Ring]], also ein Ring, in dem es nur ein maximales Ideal <math>\mathfrak m</math> gibt. Dann gibt es zu <math>A</math> nur einen Restklassenkörper, nämlich <math>A/\mathfrak m</math>, und wir sprechen von ''dem'' Restklassenkörper von <math>A</math>.

==== Restklassenkörper diskreter Bewertungsringe ====
Sei <math>\mathcal O</math> der [[diskreter Bewertungsring|Bewertungsring]] eines [[Bewertungstheorie|diskret bewerteten Körpers]] <math>K</math>. Dann ist <math>\mathcal O</math> ein lokaler Hauptidealring, sodass das maximale Ideal von <math>\mathcal O</math> von einem Element <math>\pi</math> erzeugt wird. Ein solches Element nennt man ein uniformisierendes Element und man bezeichnet <math>\mathcal O/(\pi)</math> in diesem Fall auch als Restklassenkörper von <math>K</math>.

==== Restklassenkörper von Punkten auf Schemata ====
Sei <math>X</math> ein [[Schema (algebraische Geometrie)|Schema]] mit einem Punkt <math>x\in X</math>. Dann wird der Restklassenkörper des lokalen Ringes <math>\mathcal O_{X,x}</math> der Restklassenkörper von <math>X</math> in <math>x</math> genannt und wird üblicherweise mit <math>\kappa(x)</math> bezeichnet.

Ist <math>X</math> ein Schema über einem Körper <math>k</math>, so sind alle Restklassenkörper von <math>X</math> Körpererweiterungen von <math>k</math>. Ist <math>X/k</math> [[Endlichkeitsbedingungen der algebraischen Geometrie|lokal endlichen Typs]] und <math>x\in X</math> ein abgeschlossener Punkt, so ist <math>\kappa(x)</math> eine endliche Erweiterung von <math>k</math>. Dies ist im Wesentlichen die Aussage des [[hilbertscher Nullstellensatz|hilbertschen Nullstellensatzes]].

{{SORTIERUNG:Restklassenkorper}}
[[Kategorie:Körper (Algebra)]]
[[Kategorie:Körpertheorie]]
[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]
[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]

Restklassenkörper - Versionsgeschichte

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