imported>Rigormath: Anzahl |m| statt m. -- Linkziel Division mit Rest statt Division (Mathematik). -- Kürzere Mengenschreibweise.

2026-03-13T09:08:35Z

Anzahl |m| statt m. -- Linkziel Division mit Rest statt Division (Mathematik). -- Kürzere Mengenschreibweise.

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Im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Zahlentheorie]] ist die '''Restklasse''' einer Zahl <math>a</math> ''[[modulo]]'' einer Zahl <math>m</math> die Menge aller Zahlen, die bei [[Division mit Rest|Division]] durch <math>m</math> denselben Rest lassen wie <math>a</math>.<ref name="Fischer">{{Literatur |Autor=Fischer, Gerd. |Hrsg= |Titel=Lineare Algebra – Eine Einführung für Studienanfänger |Auflage=18., aktualisierte Aufl. 2014 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2014 |ISBN=978-3-658-03945-5 |Seiten=50}}</ref>

== Definition ==

Es sei <math>m</math> eine von 0 verschiedene [[ganze Zahl]] und <math>a</math> eine beliebige ganze Zahl. Die Restklasse von <math>a</math> modulo <math>m</math>, geschrieben
: <math>a + m \mathbb{Z}</math>
oder kurz <math>\overline{a}\,</math><ref name="Fischer"/> oder <math>[a],</math> ist die [[Äquivalenzklasse]] von <math>a</math> bezüglich der [[Kongruenz (Zahlentheorie)|Kongruenz]] modulo <math>m</math>, also die Menge der Ganzzahlen, die bei Division durch <math>m</math> den gleichen [[Division mit Rest|Rest]] wie <math>a</math> ergeben. Sie besteht somit aus allen ganzen Zahlen <math>b</math>, die sich aus <math>a</math> durch die [[Addition]] ganzzahliger Vielfacher von <math>m</math> ergeben:
: <math>a + m \mathbb{Z} = \{ a+km \mid k\in\mathbb Z\} = \{ b \mid b \equiv a \; ({\rm mod} \; m) \}</math>.
Ein Element einer Restklasse bezeichnet man auch als ''Repräsentant'' der Restklasse. Häufig verwendet man die Standardrepräsentanten <math>0,1,2,\dots,|m|-1</math>.

Die Menge aller Restklassen modulo <math>m</math> schreibt man häufig als <math>\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}</math> oder <math>\mathbb{Z}_m</math>. Sie hat <math>|m|</math> Elemente und die Struktur eines [[Ringtheorie|Ringes]] und wird deshalb [[Restklassenring]] genannt. Genau dann, wenn <math>|m|</math> eine [[Primzahl]] ist, ergibt sich sogar die Struktur eines endlichen [[Körper (Algebra)|Körpers]].

Eine Restklasse modulo <math>m</math> heißt ''[[Restklassenring#Invertierbarkeit und Inversenberechnung|prime Restklasse]]'', wenn ihre Elemente [[teilerfremd]] zu <math>m</math> sind. (Wenn dies für ein Element gilt, dann auch für alle anderen.) Die Menge der primen Restklassen ist die [[Einheitengruppe|Gruppe der Einheiten]] <math>(\mathbb Z/m\mathbb Z)^\times</math> (oder <math>\mathbb{Z}_m^*</math>) im [[Restklassenring]] <math>\mathbb Z/m\mathbb Z</math>; sie wird ''[[prime Restklassengruppe]]'' genannt und umfasst die multiplikativ invertierbaren Restklassen.

== Beispiele ==

* Die Restklasse von 0 modulo 2 ist die Menge der geraden Zahlen.
* Die Restklasse von 1 modulo 2 ist die Menge der ungeraden Zahlen.
* Die Restklasse von 0 modulo <math>m</math> ist die Menge der Vielfachen von <math>m</math>.
* Die Restklasse von 1 modulo 3 ist die Menge <math>\{\ldots,-8,-5,-2,1,4,7,10,\ldots\}.</math>

== Verallgemeinerung ==

Ist <math>A</math> ein [[Ringtheorie|Ring]] und <math>I\subseteq A</math> ein [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]], so heißen Mengen der Form
: <math>a+I=\{a+i\mid i\in I\}</math>
Restklassen modulo <math>I</math>. Ist <math>A</math> [[kommutativ]], oder ist <math>I</math> ein zweiseitiges Ideal, so hat die Menge <math>A/I</math> der Restklassen modulo <math>I</math> eine natürliche Ringstruktur und heißt ''[[Restklassenring]]'', ''Quotientenring'' oder ''[[Faktorring]]'' modulo <math>I</math>. <math>A/I</math> wird durch Elemente in <math>A</math> repräsentiert, wobei die Restklassen <math>a+I</math> und <math>b+I</math> in <math>A/I</math> übereinstimmen, falls <math>a-b \in I</math> gilt.

== Literatur ==
* [[Peter Bundschuh]]: ''Einführung in die Zahlentheorie.'' 5. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2002, ISBN 3-540-64630-2.

== Weblinks ==
* [[Christian Spannagel]]: [https://av.tib.eu/series/236 Restklassen und algebraische Strukturen]. Vorlesungsreihe, 2012.
* Christian Spannagel: [https://av.tib.eu/series/239 Kongruenzen und Restklassen]. Vorlesungsreihe, 2012.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]

Restklasse - Versionsgeschichte

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