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2026-02-06T07:19:27Z

Kleine Grammatik-Fehler behoben

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{{Dieser Artikel|erläutert die Resolvente in der [[Funktionalanalysis]], für die Resolventen in der Logik siehe [[Resolution (Logik)]] und für Resolventen in der [[Algebra]] siehe [[Lagrange-Resolvente]].}}

In der [[Mathematik]] und der [[Theoretische Physik|theoretischen Physik]] ist die '''Resolvente''' (manchmal auch '''Greenscher Operator''' genannt) die [[Umkehrabbildung|Inverse]] eines mit einer komplexen Zahl <math>z</math> verschobenen [[Linearer Operator|linearen Operators]]
oder einer [[Matrix (Mathematik)|Matrix]]. Die Menge der Werte <math>z</math>, für die diese Inverse wohldefiniert ist, ist die '''Resolventenmenge''' des Operators; das Komplement dieser Menge ist sein [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrum]]. Anwendungen betreffen alle Aspekte der [[Operator (Mathematik)|Operatortheorie]] in der [[Funktionalanalysis]], insbesondere die [[Störungsrechnung]].

== Definition ==
Für einen linearen Operator <math>A</math> (oder auch eine Matrix <math>A\in\mathbb{C}^{n\times n}</math>) definiert man die Resolventenmenge <math>\rho(A)</math> als das Komplement des [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrums]] von <math>A</math>, d. h. als die Menge aller komplexen Zahlen <math>z</math>, für die der Operator <math>zI-A</math> beschränkt invertierbar ist. Die Resolventenmenge ist als Komplement des [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrum]]s offen. Auf der Resolventenmenge definiert man die Resolvente durch

:<math>R\left(A,z\right)=(zI-A)^{-1}\ .</math>

Viele Autoren verwenden als Definition der Resolvente <math>R\left(A,z\right)=(A-zI)^{-1}</math>, was lediglich das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] invertiert.

== Eigenschaften und Anwendungen ==
Die Resolvente ist eine operatorwertige [[analytische Funktion]] und kann auf <math>\{z \in \mathbb{C}:|z| > r\}</math>, wobei <math>r</math> der [[Spektralradius]] ist, durch die [[Neumann-Reihe|Neumannsche Reihe]] dargestellt werden:

:<math>R\left(A,z\right) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{A^n}{z^{n+1}}</math>.

Die Resolvente wird u. a. verwendet, um [[Eigenwert]]entwicklungen von gestörten Operatoren zu beschreiben, zum Beispiel die Entwicklungen von [[Franz Rellich|Rellich]]-[[Tosio Kato|Kato]] und [[John William Strutt, 3. Baron Rayleigh|Strutt]]-[[Schrödinger]].

== Resolventenidentitäten ==
Hilfreich bei Berechnungen sind die erste und zweite Resolventenidentität. Aus <math>\left(z_1-z_2\right)I=z_1I-A-(z_2I-A)</math> folgt mittels Inversion die erste Resolventenidentität

:<math>R\left(A,z_2\right)-R(A,z_1)=(z_1-z_2)R(A,z_1)R(A,z_2)
=(z_1-z_2)R(A,z_2)R(A,z_1),</math>

und aus <math>A_1-A_2=zI-A_2-\left(zI-A_1\right)</math> folgt mittels Inversion die zweite Resolventenidentität

:<math>R\left(A_1,z\right)-R(A_2,z)=R(A_1,z)(A_1-A_2)R(A_2,z).</math>

== Literatur ==
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis'', Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Resolvente - Versionsgeschichte

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