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2026-02-13T19:46:37Z

Gebrochenrationale Funktion mit einem nichtganzzahligen Term

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Der '''Residuensatz''' ist ein wichtiger Satz der [[Funktionentheorie]], eines Teilgebietes der [[Mathematik]]. Er stellt eine Verallgemeinerung des [[Cauchyscher Integralsatz|cauchyschen Integralsatzes]] und der [[Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] dar. Seine Bedeutung liegt nicht nur in den weitreichenden Folgen innerhalb der Funktionentheorie, sondern auch in der Berechnung von Integralen über [[reelle Funktion]]en.

Er besagt, dass das [[Kurvenintegral]] längs einer [[Kurve (Mathematik)#Geschlossene Kurven|geschlossenen Kurve]] über eine bis auf [[Isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]] [[holomorphe Funktion]] lediglich vom [[Residuum (Funktionentheorie)|Residuum]] in den Singularitäten im Innern der Kurve und der [[Umlaufzahl (Mathematik)|Umlaufzahl]] der Kurve um diese Singularitäten abhängt. Anstelle eines Kurvenintegrals muss man also nur Residuen und Umlaufzahlen berechnen, was in vielen Fällen einfacher ist.

== Satz ==
Sei <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> ein [[Elementargebiet]], also ein [[Einfach zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] in der [[Komplexe Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. Sei weiterhin <math>f</math> eine bis auf eine Ausnahmemenge <math>D_f</math> isoliert liegender Singularitäten in <math>D</math> definierte [[holomorphe Funktion]], <math>I</math> ein reelles [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] und <math>\Gamma\colon I\to D\setminus D_f</math> ein geschlossener [[Weg (Mathematik)|Weg]] in <math>D\setminus D_f</math>. Dann gilt für das [[Kurvenintegral#Komplexe Wegintegrale|komplexe Wegintegral]]
: <math>\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_\Gamma f=\sum_{a\in D_f}\operatorname{ind}_{\Gamma}(a)\operatorname{Res}_a f</math>,
wobei <math>\operatorname{ind_\Gamma}(a)</math> die [[Umlaufzahl (Mathematik)|Umlaufzahl]] von <math>\Gamma</math> in Bezug auf <math>a</math> und <math>\operatorname{Res}_a f</math> das [[Residuum (Funktionentheorie)|Residuum]] von <math>f</math> in <math>a</math> ist.

== Bemerkungen ==
* Die Summe auf der rechten Seite ist stets endlich, denn das von <math>\Gamma</math> umschlossene (einfach zusammenhängende) Gebiet <math>\operatorname{Int}\,\Gamma</math> ist [[relativ kompakt]] in <math>D</math> und somit beschränkt. Weil <math>D_f</math> in <math>D</math> keine Häufungspunkte hat, ist <math>\operatorname{Int}\,\Gamma\cap D_f</math> endlich, und nur dies sind die Punkte, die zu der Summe beitragen, denn für alle anderen verschwindet die Windungszahl oder das Residuum.
* Handelt es sich bei den Punkten in <math>D_f</math> um hebbare Singularitäten, verschwindet das Residuum in diesen Punkten, dann erhält man den Integralsatz von Cauchy
*: <math>\int_\Gamma\,f=0</math>.
* Ist <math>f</math> auf <math>D</math> holomorph und <math>z\in D</math>, hat <math>\textstyle \zeta\mapsto\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}</math> einen Pol erster Ordnung in <math>z</math> mit Residuum <math>f(z)</math> dann erhält man die Integralformel von Cauchy
*: <math>\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_\Gamma \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta = \operatorname{ind}_{\Gamma}(z)f(z).</math>

== Null- und Polstellen zählendes Integral ==
Ist <math>f\not\equiv 0</math> auf <math>D</math> [[Meromorphe Funktion|meromorph]] mit der [[Nullstellenmenge]] <math>N</math>, der Polstellenmenge <math>P</math> und <math>\operatorname{Spur}\,\Gamma\cap \left( N\cup P \right)=\emptyset</math>, dann folgt mit dem Residuensatz:
: <math>\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_\Gamma\frac{f'}{f}=\sum\limits_{a\in N\cup P}\operatorname{ind}_{\Gamma}(a)\operatorname{ord}_a f</math>
Dabei bezeichnet
: <math>\operatorname{ord}_a f := \begin{cases} k, & \mbox{falls }f\mbox{ in }a\mbox{ eine Nullstelle }k\mbox{-ter Ordnung hat}\\ -k, & \mbox{falls }f\mbox{ in }a\mbox{ eine Polstelle }k\mbox{-ter Ordnung hat}\\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}</math>
die Null- bzw. Polstellenordnung von <math>f</math> in <math>a</math>. Mit der Rechenregel des Residuums für die [[logarithmische Ableitung]] gilt
: <math>\operatorname{ord}_a f = \operatorname{Res}_a\frac{f'(z)}{f(z)}</math>.

== Anwendungsbeispiele ==
Mit dem Residuensatz kann man reelle Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen berechnen. Dazu führt man in der komplexen Ebene eine geschlossene Kurve ein, die die reellen Integrationsgrenzen überdeckt; das Integral über den übrigen Teil der Kurve ist meist so konstruiert, dass es nach dem Grenzübergang verschwindet. Die komplexe Ebene wird dabei durch einen Punkt im Unendlichen ergänzt ([[Riemannsche Zahlenkugel]]). Dieses Berechnungsverfahren für [[Uneigentliches Integral|uneigentliche reelle Integrale]] wird in der theoretischen Physik oft als „Methode der Residuen“ bezeichnet.

=== Gebrochenrationale Funktionen ===
[[Datei:SkizzeResiduensatzHalbkreis.png|350px|mini|Das Integral über die Halbkreislinie verschwindet für <math>R\to\infty</math>, es bleibt das Integral über die reelle Achse.]]
Ist <math>f=\tfrac{p}{q}</math> Quotient zweier Polynome mit <math>\deg\,p+2\leq\deg\,q</math> und <math>q(z)\neq 0</math> für alle <math>z\in\mathbb{R}</math>, ist
: <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(z)\mathrm{d}z = 2\pi\mathrm{i} \sum_{a\in \mathbb{H}}\operatorname{Res}_a f(z)</math>,

wobei <math>\mathbb{H}:=\{z\in\mathbb{C}:\operatorname{Im} z>0\}</math> die [[obere Halbebene]] ist, denn man kann mit <math>\alpha\colon [0,\pi]\to\mathbb{C}</math>, <math>t\mapsto Re^{\mathrm{i}t}</math> für ein großes <math>R\in\mathbb{R}</math>, über den geschlossenen Halbkreis <math>\Gamma := [-R,R] \oplus \alpha</math> integrieren und den Grenzübergang <math>R\rightarrow\infty</math> vollziehen. Wegen <math>\left|\tfrac{p(z)}{q(z)}\right| \leq \tfrac{c_p |z|^{\deg\,p}}{c_q |z|^{\deg\,q}} \leq \tfrac{c}{|z|^2}</math> für großes <math>|z|</math> und Konstanten <math>c,c_p,c_q\in\mathbb{R}</math> folgt mit der [[Standardabschätzung für Kurvenintegrale]]
: <math>\left|\int_\alpha f\right| \leq L(\alpha) \cdot \max_{\zeta\in\operatorname{im}\alpha}\left| f(\zeta) \right| \leq \pi R \cdot \frac{c}{R^2} \rightarrow 0\,(R\rightarrow\infty)</math>,

also gilt <math>\textstyle \int_\Gamma f \rightarrow \int _{-\infty}^{\infty} f(z)\mathrm{d}z\,(R\rightarrow\infty)</math> und wegen der obigen Abschätzung existiert letzteres Integral auch. Mit dem Residuensatz folgt die Berechnungsformel.

''Beispiel:'' Sei <math>f\colon\mathbb{C}\setminus\{\pm\mathrm{i}\}\to\mathbb{C}</math>, <math>z\mapsto\tfrac{1}{z^2+1}</math> mit Polen 1. Ordnung in <math>\pm\mathrm{i}</math>. Dann ist <math>\operatorname{Res}_{\mathrm{i}} f(z)=\tfrac{1}{2\mathrm{i}}</math>, und damit <math>\textstyle \int_{-\infty}^{\infty} f(z)\mathrm{d}z = 2\pi\mathrm{i} \cdot \tfrac{1}{2\mathrm{i}} = \pi</math>.

=== Gebrochenrationale Funktionen mit Exponentialfunktion ===
[[Datei:SkizzeResiduensatzRechteck.png|350px|mini|Das Integral über die drei oberen Rechteckseiten verschwindet für <math>r\to\infty</math>, es bleibt das Integral über die reelle Achse.]]
<math>P</math> und <math>Q</math> seien Polynome mit <math>\deg(P)+1 \leq \deg(Q)</math>, das Polynom <math>Q</math> besitze keine reellen Nullstellen und die Nullstellen <math>a_1, \ldots, a_k</math> in der oberen komplexen Halbebene. Dann gilt für jedes <math>\alpha > 0</math>
: <math>\int_{-\infty}^{\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}\exp (i\alpha x)\mathrm{d}x = 2\pi\mathrm{i} \sum_{i=1}^k\operatorname{Res}_{a_i} f(z)</math>
mit <math>f(z):= \tfrac{P(z)}{Q(z)}\exp (i\alpha z)</math>.
Wie oben definiert man auch hier einen geschlossenen Weg <math>\Gamma</math>, der aus dem geradlinigen Weg von <math>-r</math> nach <math>r</math> besteht, aber statt des Halbkreises verwendet man das darüber errichtete Rechteck mit Höhe <math>\sqrt{r}</math>, das gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Die Funktion <math>z \mapsto \tfrac{P(z)}{Q(z)}</math> kann nach Voraussetzung gegen eine Konstante <math>C</math> mal <math>\tfrac{1}{|z|}</math> abgeschätzt werden. Die Integrale über den vertikalen Strecken sind dann mittels Standardabschätzung <math> \leq C\tfrac{1}{\sqrt{r}}</math>, was gegen Null geht. Für die obere horizontale Seite ist <math>\operatorname{Im}(z) = \sqrt{r}</math> und damit <math>|\exp (i \alpha z)| = \exp(-\alpha \sqrt{r})</math>. Das Integral über diese Rechtecksseite ist dann mittels Standardabschätzung <math>\leq 2C\sqrt{r}\exp(-\alpha \sqrt{r})</math>. Damit folgt, dass das Integral über den gesamten oberen Teil des Rechtecks für <math>r\to\infty</math> gegen Null konvergiert und man erhält die Behauptung.

''Beispiel:''
Betrachte die Funktion <math>\frac{x \exp{(2ix)}}{x^2+1}</math>. Sie erfüllt alle oben genannten Bedingungen: Das Polynom im Nenner hat als Nullstellen nur <math>\pm i</math> und damit keine auf der reellen Achse. Demnach gilt:
: <math>\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \exp{2ix}}{(x+i)(x-i)}\mathrm{d}x= 2\pi\mathrm{i} \operatorname{Res}_{i} f(z)=i \pi \exp{(-2)}</math>

=== Gebrochenrationale Funktion mit einem nichtganzzahligen Term ===
Sind <math> P </math> und <math> Q </math> Polynome, für die <math>\deg\,Q > \deg\, P + \lambda </math> gilt, wobei <math> \lambda \in \mathbb{R}^+ \backslash \mathbb{Z}</math> gilt, <math> Q </math> habe keine Nullstellen in <math> \mathbb{R}^+ </math> und <math> P/Q </math> keine Nullstelle in der Null. Dann gilt
: <math>\int_{0}^{\infty} x^{\lambda -1}\frac{P(x)}{Q(x)}\mathrm{d}x = \frac{\pi}{\sin{(\lambda \pi)}} \sum_{p\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R^+}}\operatorname{Res}_p (-z)^{\lambda -1} \frac{P(z)}{Q(z)}</math>

''Beispiel:'' Ist <math> f(x)= \tfrac{x^{3/2 -1}}{x^2+1} </math>, so ist <math> \lambda =3/2 </math>, die Funktion besitzt die Pole <math> \pm i </math> und alle weiteren Anforderungen sind auch erfüllt. Es ist demnach <math> \operatorname{Res}_{\pm i} f(z)= \tfrac{(\mp i)^{1/2}}{\pm 2i} </math>. Somit gilt
: <math>\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{1+x^2}\mathrm{d}x = -\pi \left(\frac{\sqrt{-i}}{2i}+\frac{\sqrt{i}}{-2i}\right)=\frac{\pi}{\sqrt{2}}</math>

=== Trigonometrische Funktionen ===
Ist <math>r =\tfrac{p}{q}</math> Quotient zweier Polynome mit <math>q(x,y)\neq 0</math> für alle <math>x,y\in\mathbb{R}</math> mit <math>x^2+y^2=1</math>. Dann gilt
: <math>\begin{align}
\int_0^{2\pi} r(\cos t,\sin t)\mathrm{d}t
&= \int_0^{2\pi} r\left( \frac{e^{\mathrm{i}t}+e^{-\mathrm{i}t}}{2}, \frac{e^{\mathrm{i}t}-e^{-\mathrm{i}t}}{2\mathrm{i}}\right)\mathrm{d}t \\
&= \int_{\partial\mathbb{E}} \frac{1}{\mathrm{i}z}\cdot r\left(\frac{z+\frac{1}{z}}{2},\frac{z-\frac{1}{z}}{2\mathrm{i}}\right) \mathrm{d}{z}\\
&= 2\pi\sum_{a\in\mathbb{E}}\operatorname{Res}_a \left(\frac{1}{z}\cdot r\left(\frac{z+\frac{1}{z}}{2},\frac{z-\frac{1}{z}}{2\mathrm{i}}\right)\right),\end{align}</math>

wobei <math>\mathbb{E} := \{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}</math> die [[Einheitskreisscheibe]] ist. Denn die Windungszahl der Einheitskreislinie ist im Innern des Einheitskreises <math>1</math>, und nach Voraussetzung liegen keine Singularitäten auf der Einheitskreislinie. Theoretisch lassen sich solche Integrale auch mittels der [[Weierstraß-Substitution]] lösen, diese ist aber meist aufwendiger. Sind die Intervallgrenzen des zu berechnenden Integrals nicht genau <math>2 \pi</math> und <math>0</math>, so lässt sich dies mittels einer [[Substitutionsregel#Lineare Substitution|linearen Substitution]] oder durch Symmetrieargumente erreichen.

''Beispiel:'' Es gilt
: <math>\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}t}{2+\sin t} = 2\int_{\partial\mathbb{E}}\frac{\mathrm{d}z}{z^2+4\mathrm{i}z-1} = 4\pi\mathrm{i} \cdot \frac{1}{2\sqrt{3}\mathrm{i}} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math>,

denn <math>f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C},\ z\mapsto \tfrac{1}{z^2+4\mathrm{i}z-1}</math> hat in <math>\left(-2\pm\sqrt{3}\right)\mathrm{i}</math> Pole 1. Ordnung, aber nur der Pol bei <math>\left(-2+\sqrt{3}\right)\mathrm{i}</math> liegt in <math>\mathbb{E}</math>, und dort hat <math>f</math> das Residuum <math>\tfrac{1}{2\sqrt{3}\mathrm{i}}</math>.

=== Fourier-Transformierte ===
Gegeben sei eine Funktion <math>f\in C^{\infty}(\mathbb{R}) \cap L^1(\mathbb{R})</math>. Ferner gebe es Punkte <math>a_1, \dotsc, a_k \in \mathbb{H} </math> mit <math>f\in \mathbb{O} (\{z,\operatorname{Im} z > -\varepsilon\} \cap \{a_1, \dotsc, a_k\} )</math>, wobei <math>\varepsilon >0</math> sei. Gibt es dann zwei Zahlen <math>C,\delta>0</math> mit
<math>\left|f(z)\right|\leq C\left|z\right|^{-1-\delta}</math> für große <math>\left|z\right|</math>, so gilt für alle <math> x > 0 </math> die Formel
: <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(y)e^{\mathrm{i}xy}\mathrm{d}y = 2\pi\mathrm{i} \sum_{a\in\mathbb{H}}\operatorname{Res}_a (f(z)e^{\mathrm{i}xz}).</math>

Die gleiche Formel gilt für <math>x < 0</math>. Mit Hilfe dieser Methode können komplizierte [[Fourier-Integral|Fourier-Integrale]] berechnet werden. Der Beweis erfolgt wie oben durch Zerlegung des Integrationswegs in den Teil auf der reellen Achse und den Teil in der oberen Halbebene. Danach wird wieder der Grenzwert betrachtet und das Integral über die Kurve in der oberen Halbebene verschwindet aufgrund des [[Lemma von Jordan|Lemmas von Jordan]].

== Der Residuensatz für Riemannsche Flächen ==
Der Residuensatz lässt sich auf [[Kompakter Raum|kompakte]] [[Riemannsche Fläche|riemannsche Flächen]] verallgemeinern. Für eine meromorphe [[Komplexe Differentialform|1-Form]] auf einer solchen Fläche gilt, dass die Summe der Residuen gleich null ist.

Als Folgerung ergibt sich damit der zweite Satz von [[Joseph Liouville|Liouville]] über [[elliptische Funktion]]en.

== Literatur ==
* Kurt Endl, [[Wolfgang Luh]]: ''Analysis.'' Band 3: ''Funktionentheorie, Differentialgleichungen.'' 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 229.
* Wolfgang Fischer, [[Ingo Lieb]]: ''Funktionentheorie.'' 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 145, Satz 4.1.
* {{EoM |Autor=A. P. Yuzhakov |Titel= Residue of an analytic function |Url=http://eom.springer.de/R/r081560.htm}}

== Weblinks ==
* [http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/int/node8.html ''Der Residuensatz.''] gsi.de
* {{MathWorld |id=ResidueTheorem |title=Residue Theorem}}
* {{PlanetMath |id=ontheresiduetheorem1 |title=On the Residue Theorem}}
* [http://www.astrophys-neunhof.de/mtlg/sd98027.pdf ''Elemente der Funktionentheorie. Die wichtigsten Sätze und Hilfsmittel für Anwendungen in der physikalischen Feldtheorie.''] (PDF; 441 kB) astrophys-neunhof.de, Residuensatz und Cauchy’scher Integralsatz.

[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]

Residuensatz - Versionsgeschichte

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