2003:D0:4F45:8C00:549:A3F2:7BD2:AE10: /* Definition */ Tippfehler korrigiert

2023-04-25T03:21:33Z

Definition: Tippfehler korrigiert

Neue Seite

'''Repunit''' ist ein [[Kofferwort]] aus den englischen Wörtern ''repeated'' (wiederholt) und ''unit'' (Einheit) und bezeichnet eine [[Zahl]], die nur die [[Ziffer]] 1 enthält. Eine Repunit ist eine besondere [[Schnapszahl|Repdigit]] („Schnapszahl“); die Bezeichnung Repunit wurde 1966 von [[Albert H. Beiler]] geprägt.<ref>Albert H. Beiler: ''Recreations in the Theory of Numbers. The queen of mathematics entertains.'' 2. Auflage. Dover, New York 1966, Kap. XI, S. 83 ff.</ref> Im Deutschen wird auch die Bezeichnung '''Einserkolonne''' oder '''Einserschlange''' verwendet.

Eine ''prime Repunit'' oder ''Repunit-Primzahl'' ist eine Repunit, die zugleich eine [[Primzahl]] ist.

== Definition ==

Mathematisch sind Repunits (im [[Dezimalsystem]]) [[Definition|definiert]] als
: <math>R_n = \frac{10^n-1}{9} = \sum_{k=0}^{n-1} 10^k = \overbrace{11 \dotso 1}^{n \text{ Ziffern}}</math>, mit <math>n \in \N^+</math>.

Zudem lässt sich auch eine [[Rekursion|rekursive]] Definition angeben:
: <math>R_n =
\begin{cases}
1, & \text{wenn } n = 1 \text{,}\\
10^{n - 1} + R_{n - 1}, & \text{wenn } n \geq 2 \text{.}
\end{cases}</math>

Die Zahl <math>R_n</math> besteht also aus genau <math>n</math> Einsen (<math>n \geq 1</math>). Die [[Folge (Mathematik)|Folge]] der Repunits beginnt wie folgt: 1, 11, 111, 1111, … ({{OEIS|A002275}}).

== Repunit-Primzahlen ==

Die Definition der Repunits entstand historisch auf der Suche nach einer Zerlegung solcher Zahlen in ihre [[Primfaktorzerlegung|Primfaktoren]]. Die Frage, ob eine Repunit-Zahl eine Primzahl ist, beschäftigte Mathematiker schon im 19. Jahrhundert. So verfasste [[Carl Gustav Jacob Jacobi]] eine Arbeit mit dem Titel „''Untersuchung, ob die Zahl 11111111111 eine Primzahl ist oder nicht. Ein Kuriosum, veranlasst durch [[Johann Martin Dase|Dase]].''“

Es ist einfach zu zeigen, dass <math>R_n</math> durch <math>R_a</math> teilbar ist, falls <math>n</math> durch <math>a</math> teilbar ist. Zum Beispiel ist <math>R_9</math> teilbar durch <math>R_3</math>: 111111111 = 111 · 1001001.
Deshalb muss notwendig <math>n</math> eine Primzahl sein, damit <math>R_n</math> eine Primzahl sein kann. Diese Bedingung ist jedoch nicht hinreichend, zum Beispiel ist <math>R_3</math> keine Primzahl, da <math>R_3=111=3\cdot37</math>.

Außer für dieses Beispiel von <math>R_3</math> kann <math>p</math> nur Teiler von <math>R_n</math> sein (für eine Primzahl <math>n</math>), wenn <math>p = 2kn + 1</math> für ein bestimmtes <math>k</math>.

Repunit-Primzahlen sind selten. <math>R_n</math> ist eine Primzahl für <math>n=2,19,23, 317, 1031,\ldots</math> ({{OEIS|A004023}}). Die im September 1999 von Harvey Dubner bzw. im Oktober 2000 von Lew Baxter gefundenen <math>R_{49081}</math> und <math>R_{86453}</math> sind wahrscheinlich Primzahlen (sogenannte [[PRP-Zahl]]en).
Ende März 2007 ermittelten Paul Bourdelais und Harvey Dubner <math>R_{109297}</math> als primzahlverdächtig, vier Monate später fanden Maksym Voznyy und Anton Budnyy <math>R_{270343}</math>. Serge Batalov und Ryan Propper fanden binnen kürzester Zeit am 20. April 2021 <math>R_{5794777}</math> und am 8. Mai 2021 <math>R_{8177207}</math> als gegenwärtig (27. Mai 2021) größte bekannte wahrscheinliche Repunit-Primzahlen.<ref>Giovanni Di Maria: [http://www.elektrosoft.it/matematica/repunit/repunit.htm ''The Repunit Primes Project''.]</ref>
Es wird vermutet, dass es unendlich viele Repunit-Primzahlen gibt.<ref>Chris K. Caldwell: [http://primes.utm.edu/glossary/xpage/Repunit.html ''The Prime Glossery: Repunit''.]</ref>

== Verallgemeinerte Repunits ==

Da die obige Definition von Repunits auf dem Dezimalsystem beruht, mag diese Definition zunächst willkürlich erscheinen. Man kann die zugrunde liegende Idee jedoch verallgemeinern, indem man Repunits bezüglich einer beliebigen [[Stellenwertsystem|Basis]] <math>b</math> definiert:
: <math> R_n^{(b)} = \frac{b^n - 1}{b - 1} = \sum_{k=0}^{n-1} b^k = \underbrace{\overbrace{11 \dotso 1}^{n \text{ Ziffern}}{}_b}_{\text{Zahl zur Basis } b}</math>, mit <math>b, n \in \N</math>, <math>b \geq 2</math>, <math>n \geq 1</math>

Die verallgemeinerte rekursive Definition lautet:
: <math>R_n^{(b)} =
\begin{cases}
1, & \text{wenn } n = 1 \text{,}\\
b^{n - 1} + R_{n - 1}^{(b)}, & \text{wenn } n \geq 2 \text{.}
\end{cases}</math>

Die Zahl <math>R_n^{(b)}</math> besteht also aus genau <math>n</math> Einsen (<math>n \geq 1</math>), wenn sie als Zahl zur Basis <math>b</math> notiert wird (wobei <math>R_1^{(b)}</math> unabhängig von der Basis immer gleich 1 ist).

[[Wertetabelle]] einiger Repunits als Beispiel:

{| class="wikitable mw-collapsible" style="text-align:right"
|+ Gegenüberstellung einiger Repunit-Werte <math>R_n^{(b)}</math> für gebräuchliche [[Zahlensystem]]e
|-
!<math>R_n^{(b)}</math>
!colspan="2"|[[Dualsystem|Binärsystem]] <math>b = 2</math>
!colspan="2"|[[Oktalsystem]] <math>b = 8</math>
![[Dezimalsystem]] <math>b = 10</math>
!colspan="2"|[[Hexadezimalsystem]] <math>b = 16</math>
|-
!<math>n</math>
!binär
!dezimal
!oktal
!dezimal
!dezimal
!hexadezimal
!dezimal
|-
|1
|12
|110
|18
|110
|110
|116
|110
|-
|2
|112
|310
|118
|910
|1110
|1116
|1710
|-
|3
|1112
|710
|1118
|7310
|11110
|11116
|27310
|-
|4
|11112
|1510
|11118
|58510
|111110
|111116
|436910
|-
|5
|111112
|3110
|111118
|468110
|1111110
|1111116
|6990510
|-
|6
|1111112
|6310
|1111118
|3744910
|11111110
|11111116
|111848110
|-
|7
|11111112
|12710
|11111118
|29959310
|111111110
|111111116
|1789569710
|-
|8
|111111112
|25510
|111111118
|239674510
|1111111110
|1111111116
|28633115310
|-
|9
|1111111112
|51110
|1111111118
|1917396110
|11111111110
|11111111116
|458129844910
|-
|10
|11111111112
|102310
|11111111118
|15339168910
|111111111110
|111111111116
|7330077518510
|}

Es ist einfach zu beweisen, dass für jedes <math>n</math>, das nicht ohne Rest durch 2 oder <math>p</math> teilbar ist, eine Repunit zur Basis <math>2p</math> existiert, die ein Vielfaches von <math>n</math> ist.

Die Basis-2-Repunits sind bekannt als die [[Mersenne-Primzahl|Mersenne-Zahlen]]: <math>M_n = 2^n - 1</math>

Die Repunit-Primzahlen sind eine Teilmenge der [[Permutierbare Primzahl|permutierbaren Primzahlen]], also der Primzahlen, die Primzahlen bleiben, wenn man ihre Ziffern beliebig vertauscht.

Eine besonders große verallgemeinerte Repunit-Primzahl mit 37.090 Stellen berechnete Andy Steward 2006 mit <math>\textstyle \frac{28839^{8317} - 1}{28838}</math>. Im Jahr 2010 fand Tom Wu mit <math>\textstyle \frac{1549^{12973} - 1}{1548}</math> eine noch größere mit 41.382 Stellen.<ref>Andy Steward: {{Webarchiv |url=http://www.primes.viner-steward.org/andy/titans.html |wayback=20131019185910 |text=''Titanic Prime Generalized Repunits.''}}</ref> Die derzeit (31. Mai 2021) größte bekannte verallgemeinerte Repunit-Primzahl ist <math>\frac{7176^{24691}-1}{7175}</math> mit 95.202 Stellen und wurde von Tom Wu im Juni 2017 entdeckt.<ref>{{Internetquelle |autor=Chris K. Caldwell |url=https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=16 |titel=The Top Twenty: Generalized Repunit |werk= |hrsg= |datum= |abruf=2021-05-31 |sprache=en}}</ref>

=== Repunit-Primzahl zu unterschiedlichen Basen ===
'''Beispiele:'''
* Die Repunit <math>R_{7}^{(5)}=1111111_5</math> ist zur Basis <math>b=5</math> eine Primzahl, weil <math>1111111_5=\underline{1} \cdot 5^6+\underline{1} \cdot 5^5+\underline{1} \cdot 5^4+\underline{1} \cdot 5^3+\underline{1} \cdot 5^2+\underline{1} \cdot 5^1+\underline{1} \cdot 5^0=15625+3125+625+125+25+5+1=19531 \in \mathbb P</math> eine Primzahl ist.
* Es folgt eine Tabelle der kleinsten Repunit-Primzahlen <math>R_n^{(b)}</math> zu Basen <math>b \leq 12</math>, im Dezimalsystem geschrieben
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
!rowspan="2"| Basis <math>b</math>
! die kleinsten Repunit-Primzahlen <math>R_n^{(b)}={\overbrace{11\ldots1}^{n \text{ Einser}}}_b</math> zu Basen <math>b \leq 12</math>, im Dezimalsystem geschrieben
! [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]]-Folge
|- class="hintergrundfarbe6"
! die dazugehörigen <math>n</math>, für die obige Repunits Primzahlen sind
! OEIS-Folge
|-
!rowspan="2"| [[Dualsystem|2]]
| 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, 162259276829213363391578010288127, 170141183460469231731687303715884105727, … (alle [[Mersenne-Primzahl#Liste aller bekannten Mersenne-Primzahlen|Mersenne-Primzahlen]])
| {{OEIS|A000668}}
|-
| 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917, 82589933, ...
| {{OEIS|A000043}}
|-
!rowspan="2"| [[Ternärsystem|3]]
| 13, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013, ...
| {{OEIS|A076481}}
|-
| 3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, 2215303, 2704981, 3598867, ...
| {{OEIS|A028491}}
|-
!rowspan="2"| [[Quaternär|4]]
| 5 ''(die einzige, weil <math>4^n-1=\left(2^n+1\right)\left(2^n-1\right)</math> ist und die Zahl <math>3</math> für ungerade <math>n</math> ein Teiler von <math>2^n+1</math> und für gerade <math>n</math> ein Teiler von <math>2^n-1</math> ist)''
|
|-
| 2
|
|-
!rowspan="2"| [[Quinär|5]]
| 31, 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, 14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531, 35032461608120426773093239582247903282006548546912894293926707097244777067146515037165954709053039550781, ...
| {{OEIS|A086122}}
|-
| 3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, 3300593, ...
| {{OEIS|A004061}}
|-
!rowspan="2"| [[Senär|6]]
| 7, 43, 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371, ...
| {{OEIS|A165210}}
|-
| 2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, 1365019, ...
| {{OEIS|A004062}}
|-
!rowspan="2"| 7
| 2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457,
138502212710103408700774381033135503926663324993317631729227790657325163310341833227775945426052637092067324133850503035623601, ...
| {{OEIS|A102170}}
|-
| 5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ...
| {{OEIS|A004063}}
|-
!rowspan="2"| [[Oktalsystem|8]]
| 73 ''(die einzige, weil <math>8^n-1=\left(4^n+2^n+1\right)\left(2^n-1\right)</math> und der erste Faktor <math>4^n+2^n+1</math> durch 7 teilbar ist, wenn <math>n</math> nicht durch 3 teilbar ist bzw. der zweite Faktor <math>2^n-1</math> durch 7 teilbar ist, wenn <math>n</math> ein Vielfaches von 3 ist)''
|
|-
| 3
|
|-
!rowspan="2"| 9
| ''es gibt keine einzige prime Repunit mit dieser Basis, weil <math>9^n-1=\left(3^n+1\right)\left(3^n-1\right)</math> und sowohl <math>3^n+1</math> als auch <math>3^n-1</math> gerade sind''
|
|-
| -
|
|-
!rowspan="2"| [[Dezimalsystem|10]]
| 11, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, ...
| {{OEIS|A004022}}
|-
| 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, 5794777, 8177207, ...
| {{OEIS|A004023}}
|-
!rowspan="2"| 11
| 50544702849929377, 6115909044841454629, 1051153199500053598403188407217590190707671147285551702341089650185945215953, 567000232521795739625828281267171344486805385881217575081149660163046217465544573355710592079769932651989153833612198334843467861091902034340949, ...
|
|-
| 17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, 1868983, ...
| {{OEIS|A005808}}
|-
!rowspan="2"| [[Duodezimalsystem|12]]
| 13, 157, 22621, 29043636306420266077, 43570062353753446053455610056679740005056966111842089407838902783209959981593077811330507328327968191581, 388475052482842970801320278964160171426121951256610654799120070705613530182445862582590623785872890159937874339918941, ...
|
|-
| 2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ...
| {{OEIS|A004064}}
|}

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=Repunit |title=Repunit}}
* Giovanni Di Maria: [http://www.elektrosoft.it/matematica/repunit/repunit.htm ''The Repunit Primes Project''.]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ganzzahlmenge]]
[[Kategorie:Kofferwort]]
[[Kategorie:Primzahl]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]

Repunit - Versionsgeschichte

2003:D0:4F45:8C00:549:A3F2:7BD2:AE10: /* Definition */ Tippfehler korrigiert