imported>Qcomp: /* Anwendungen in der Spinglas-Theorie */ der Vortrag ist von 1994, nicht 1997

2023-09-05T08:12:34Z

Anwendungen in der Spinglas-Theorie: der Vortrag ist von 1994, nicht 1997

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Der '''Replika-Trick''' ist ein mathematischer Trick, der insbesondere in der [[Statistische Mechanik|Statistischen Mechanik]] bzw. [[Statistische Physik|Statistischen Physik]] dazu verwendet wird, [[Zustandssumme]]n, oder genauer gesagt den Logarithmus der Zustandssumme und damit die [[Freie Energie]] zu berechnen, wenn die direkte Bestimmung deutlich schwieriger oder unmöglich ist. Er wurde in der statistischen Mechanik zuerst von [[Mark Kac]] genutzt und 1975 von [[Sam Edwards (Physiker)|Edwards]] und [[Philip Warren Anderson|Anderson]], Grinstein und Luther, sowie Emery im Zusammenhang mit dem sog. [[Spinglas]]-Problem unabhängig wiederentdeckt. Er basiert auf der mathematischen [[Identitätsgleichung|Identität]]

:<math>
\lim_{n\to 0} {\overline{Z^n}-1\over n} = \overline{\ln Z},
</math>

wobei <math>Z</math> die Zustandssumme und <math>n</math> die Anzahl der identischen Systeme (Replikas) bezeichnet. <math>Z^n</math> ist dann die Zustandssumme der <math>n</math> Replikas, und es interessiert der [[Grenzwert (Funktion)|Limes]] <math> n\to 0</math>. Der Strich bezeichnet den [[Mittelwert]] über die statistische Unordnung. Anhand der Gewichtung der Replikas unterscheidet man zwischen replika-symmetrischen Lösungen, bei denen alle Replikas eine symmetrische Rolle spielen, und Fällen, in denen Replika-Symmetrie-Brechung (RSB) auftritt.

== Anwendungen in der Spinglas-Theorie ==
Der Trick wird besonders in der [[Spinglas|Spinglas-Theorie]] verwendet, wobei sich besonders der Italiener [[Giorgio Parisi]] durch eine grundlegende, in [[Hierarchie|hierarchischer Weise]] die Replika-Symmetrie brechende mathematische Lösung hervorgetan hat.<ref>[[Giorgio Parisi]]: ''On the replica approach to spin glasses.'' {{ArXiv|cond-mat/9412004}}, Vortrag gehalten im Februar 1994.</ref>

== Mathematisches ==
Es existiert kein allgemeiner Satz über die mathematische Korrektheit der Methode, sodass man auf konkrete Vergleiche mit exakten Resultaten angewiesen ist, die auf komplizierterem Wege mit anderen Methoden gewonnen wurde. Wenn allerdings die Funktion <math>\overline{\ln Z}(z\in U)</math> von der Punktmenge <math>G \ \equiv \{n=0,1,2,...,\infty\}</math> zu einer komplex-analytischen Funktion erweitert werden kann, die in einer den Punkt <math>\infty</math> einschließenden offenen Umgebung <math>U \ (\in \mathbb C)</math> von <math>G</math> definiert ist, dann wird diese Funktion nach einem Satz der [[Funktionentheorie]] durch die Werte auf <math>G</math> vollständig bestimmt,<ref>[[Heinrich Behnke]], [[Friedrich Sommer (Mathematiker)|Friedrich Sommer]]: ''Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen.'' Springer-Verlag, Berlin 1976, ISBN 3-540-07768-5.</ref> weil die besagte Menge bei <math>n=\infty</math> einen [[Häufungspunkt]] hat. Auch alle Ableitungen bei <math>n=0</math> sind in diesem Fall vollständig bestimmt. Es geht hier sowohl das Verhalten bei 0 und indirekt auch das Verhalten bei <math>\infty</math> ein.

== Literatur ==
* M. Kac, Trondheim Theoretical Physics Seminar, Nordita Publ. No. 286, 1968 (unpublished); and T.-F. Lin, J. Math. Phys. 11, 1584 (1970).
* [[Sam Edwards (Physiker)|Samuel Edwards]], [[Philip Warren Anderson]]: ''Theory of spin glasses.'' Phys. F: Met. Phys. 5 965 (1975), [[doi:10.1088/0305-4608/5/5/017]].
* G. Grinstein, A. Luther: ''Application of the renormalization group to phase transitions in disordered systems'', Phys. Rev. B 13, 1329–1343, [[doi: 10.1103/PhysRevB.13.1329]].
* V. J. Emery, Phys.: ''Critical properties of many-component systems'', Rev. B 11, 239 (1975). [[doi:10.1103/PhysRevB.11.239]].

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Statistische Physik]]

Replika-Trick - Versionsgeschichte

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