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2024-07-27T04:09:10Z

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Der '''Rentenbarwert''' ist das errechnete Geld[[kapital]], das erforderlich wäre, um Geld in Form einer [[Rentenrechnung|Rente]] in einer spezifischen Höhe bei einer gegebenen Verzinsung über einen bestimmten Zeitraum zu [[Zahlung|zahlen]]. Umgekehrt ist der Rentenbarwert die mit einem gegebenen Zins diskontierte Zahlungsreihe gleicher Höhe, die über einen bestimmten Zeitraum fließt, also der [[Barwert]] einer Zeitrente.

Der '''Rentenbarwertfaktor''' (auch '''Diskontierungssummenfaktor''' oder '''Abzinsungssummenfaktor''''')'' ist der Multiplikator, der aus regelmäßigen und gleich hohen Rentenzahlung in Abhängigkeit von Zinssatz und Zahlungsdauer ihren Barwert berechnet.<ref>Peter Dörsam: ''Grundlagen der Investitionsrechnung anschaulich dargestellt''. 6. Auflage. PD-Verlag, Heidenau 2011, ISBN 978-3-86707-406-3</ref> Der Rentenbarwertfaktor hat vor allem historische Bedeutung: Vor der universellen Verfügbarkeit von elektronischen Taschenrechnern und Personalcomputern wurden Rentenbarwertfaktoren für übliche Zinssätze und Laufzeiten in großen Tabellen angegeben. Viele finanzmathematische Berechnungen rund um die [[Rentenrechnung]] ließen sich dann relativ zügig unter Rückgriff auf die tabellierten Rentenbarwertfaktoren durchführen.

== Definition ==
Der Barwert einer konstanten Rente in Höhe von <math>Z</math>, die nachschüssig über einen Zeitraum von <math>T</math> Perioden (meist Jahre) geleistet wird, ergibt sich als Summe der auf den Zeitpunkt <math>t=0</math> abgezinsten Rentenzahlungen. Geht man von einem konstanten [[Zinssatz|Periodenzinssatz]] <math>i</math> aus, so berechnet er sich als

:<math>\text{Rentenbarwert} = Z\cdot \sum_{t=1}^T {1 \over \left( 1+i \right)^t} </math>,

also als Produkt der konstanten Rente <math>Z</math> und dem ''(nachschüssigen)'' ''Rentenbarwertfaktor''

:<math>\text{RBF}\left(i,T \right):=\sum_{t=1}^T \frac{1}{(1+i)^t}</math>.

Im Normalfall <math>i>0</math> lässt sich der (nachschüssige) Rentenbarwertfaktor mithilfe der folgenden geschlossenen Formel schreiben:<ref group="A">Im unüblichen Fall <math>i=0</math> ist <math>{\text{RBF} \left( 0 , T \right)} = T</math>.</ref>

:<math>{\text{RBF} \left( i , T \right)} = {\frac{ (1 + i)^T - 1}{(1 + i)^T \cdot i}}
</math>.
Werden die Zahlungen vorschüssig geleistet, so muss man diesen Faktor nur um eine Periode aufzinsen.

== Sonderfälle ==
Strebt der Zeitraum <math>T</math> gegen unendlich, so erhält man den nachschüssigen Rentenbarwertfaktor der [[Ewige Rente|ewigen Rente]].
:<math>{\text{RBF} \left( i , \infty\right)} = \frac{1}{i} \quad (i > 0).</math>

Ist die Rente um <math>n</math> Perioden aufgeschoben, so erhält man den entsprechenden Rentenbarwertfaktor, indem man den Rentenbarwertfaktor der sofort beginnenden Rente um <math>n</math> Perioden diskontiert:
:<math>{\text{RBF} \left( i, T , n \right)} =\frac{1}{(1+i)^n}\cdot \frac{(1+i)^{T} - 1}{(1+i)^{T}\cdot i} \quad (i > 0) </math>.

== Beispiele ==

* Für eine Rente, welche jährlich über einen Zeitraum von 10 Jahren gezahlt werden soll, ergibt sich bei einem Zinssatz von 5 % ein Rentenbarwertfaktor von 7,722. Beträgt die Rente z. B. 5.000 Euro, so hat sie einen Rentenbarwert von 38.610 Euro.

* Für eine aufgeschobene Rente, welche in 5 Jahren jährlich über einen Zeitraum von 10 Jahren gezahlt werden soll, ergibt sich bei einem Zinssatz von 5 % ein Rentenbarwertfaktor von 6,050. Der Barwert einer Rente von 5.000 Euro beträgt damit 30.250 Euro.
== Herleitung der Formel für den Rentenbarwertfaktor ==
Die Gleichung

:<math>\text{RBF} \left( i , T \right)} = \frac{ (1 + i)^T - 1}{(1 + i)^T \cdot i </math>

lässt sich wie folgt herleiten:

:<math>\text{RBF} \left( i , T \right) = \sum_{t=1}^T {1 \over \left( 1+i \right)^t} = \sum_{t=0}^{T-1} {1 \over \left( 1+i \right)^{t+1}}.</math>

{{Kasten|Text= Substitution: <math> \quad
q= {1 \over 1+i} \quad \text{mit } |q|<1
</math>}}

:<math>\begin{align}
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ &= \sum_{t=0}^{T-1} q^{t+1} \\
&= q \sum_{t=0}^{T-1} q^{t} \\
&= q \left(\frac{1-q^{T}}{1-q} \right) \\
&= \frac{q}{1-q} (1-q^T)
\end{align}</math>

{{Kasten|Text= Betrachte <math> \frac{q}{1-q} </math>:
:<math>
\frac{q}{1-q}=\frac{\frac{1}{1+i}}{1-\frac{1}{1+i}}=\frac{1}{i}
</math>}}

Resubstitution:
:<math>\begin{align}
\quad \quad \quad \quad \quad \quad &= \frac{1}{i}\left(1-\frac{1}{(1+i)^T}\right) \\
&= \frac{(1+i)^T-1}{(1+i)^T\cdot i}
\end{align}</math>

Dabei wurde die (Partialsummen-)Formel der [[geometrische Reihe]] verwendet.

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

== Siehe auch ==
* [[Rentenrechnung]]
* [[Endwertmethode|Rentenendwertfaktor]]
* [[Abzinsung und Aufzinsung]]
* [[Annuitätenfaktor]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Zinsgeschäft]]
[[Kategorie:Finanzmathematik]]
[[Kategorie:Investitionsrechnung]]

[[en:Time value of money#Present value of an annuity for n payment periods]]

Rentenbarwertfaktor - Versionsgeschichte

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