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2025-07-15T11:01:31Z

Die letzte Textänderung von ~2025-19505-0 wurde verworfen und die Version 220698090 von Till.niermann wiederhergestellt.

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Die '''Rendergleichung''', auch '''Rendering-Gleichung''' genannt, wird in der [[Bildsynthese|3D-Computergrafik]] verwendet. Sie wurde 1986 von [[Jim Kajiya]] und zur gleichen Zeit von David Immel et al. veröffentlicht.<ref>David S. Immel, Michael F. Cohen, Donald P. Greenberg: ''A radiosity method for non-diffuse environments.'' In: ''Proceedings of the 13th annual conference on Computer graphics and interactive techniques'' ([[SIGGRAPH]]) 1986, ACM Press, {{DOI|10.1145/15922.15901}}, ISBN 0-89791-196-2, ([http://www0.cs.ucl.ac.uk/research/vr/Projects/VLF/vlfpapers/multi-pass_hybrid/Immel_D_S__A_Radiosity_Method_for_Non-Diffuse_Environments.pdf PDF])</ref><ref>James T. Kajiya: ''The rendering equation.'' In: ''Proceedings of the 13th annual conference on Computer graphics and interactive techniques'' ([[SIGGRAPH]]) 1986, ACM Press, S. 143–150 ([http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2011/course/TDA361/2007/rend_eq.pdf PDF])</ref>
Es handelt sich um eine [[Integralgleichung]], die die [[Energieerhaltungssatz|Energieerhaltung]] bei der Ausbreitung von Lichtstrahlen beschreibt und somit die mathematische Basis für alle Algorithmen zur [[Globale Beleuchtung|globalen Beleuchtung]] bildet.

== Geschichte und Einordnung ==
Im Prinzip war alles, was zur Berechnung dreidimensionaler Bilder nötig war, schon lange vor der Rendergleichung vorhanden: Die [[Maxwellsche Gleichungen|Maxwellschen Gleichungen]] (1861–1864), die [[spezielle Relativitätstheorie]] (1905) und die [[Quantenmechanik]] (1920er) erklären die Interaktion von Licht und Materie so genau, dass mit ihnen theoretisch die Berechnung beliebig realistischer Bilder möglich wäre.

Für die 3D-Computergrafik erwies sich jedoch bereits sehr früh, dass es völlig unpraktikabel ist, mit diesen grundlegenden Modellen zu arbeiten; sie erfordern in den meisten Fällen einen selbst mit heutigen Computern nicht zu bewältigenden Rechenaufwand. Es zeigte sich jedoch auch, dass es nicht nötig war, mit derart exakten Modellen zu arbeiten: Die Quantenmechanik erklärt Effekte im Kleinen, die im menschlichen Alltag nicht wahrnehmbar sind (vgl. etwa [[Doppelspaltexperiment]]), die Relativitätstheorie erklärt Sachverhalte im Großen, die hauptsächlich bei astronomischen Größenordnungen ihre Wirkung entfalten (vgl. etwa [[Raumzeit]]) und selbst einige Auswirkungen der Maxwellschen Gleichungen (vgl. etwa [[Interferenz (Physik)|Interferenz]]) sind für die Praxis der Computergrafik oft bedeutungslos.

Die Forscher arbeiteten daher mit der [[geometrische Optik|geometrischen Optik]], die noch auf das antike Griechenland zurückgeht und das Verhalten des Lichts im Großen – also unter Vernachlässigung seiner Welleneigenschaften – beschreibt. So entstanden Ansätze und Techniken, die statt komplexen Wellen einfache Lichtstrahlen durch die Szene verfolgen und in bewältigbarem Zeitaufwand zu passablen Ergebnissen führten, nämlich [[Raytracing]] und [[Radiosity (Computergrafik)|Radiosity]].

In diese Entwicklung hinein veröffentlichte [[Jim Kajiya]] 1986 die Rendergleichung. Kajiya zeigte, dass alle bis dato verbreiteten Rendertechniken direkt aus der Rendergleichung hergeleitet werden können. Damit gab es erstmals einen gemeinsamen mathematischen Unterbau, auf dem die Techniken verglichen werden konnten.

Die Rendergleichung führte in der Folge nicht nur zu einer Systematisierung des Wissensgebietes, sondern inspirierte auch zahlreiche Weiterentwicklungen. Sie gilt heute als dermaßen fundamental, dass viele fälschlicherweise annehmen, Raytracing sei aus der Rendergleichung entstanden oder die vorher entstandene Radiosity-Gleichung sei als Umformung aus ihr hervorgegangen.

== Formel ==
=== Ursprüngliche Formel ===
Die Rendergleichung lautet:

:<math>L(x,x') = g(x,x') \cdot \left( L_e(x,x') + \int_{S} b(x,x',x'') L(x',x'') \mathrm{d}x'' \right)</math>

Sie beschreibt, wie viel Licht einen Oberflächenpunkt <math>x</math> von einem anderen Oberflächenpunkt <math>x'</math> aus erreicht. Dabei wird ein dritter Oberflächenpunkt <math>x''</math> berücksichtigt, dessen Licht zunächst auf <math>x'</math> trifft und von dort aus nach <math>x</math> reflektiert wird. Die einzelnen Teile haben die folgende Bedeutung:
* Der ''Energiefluss'' <math>L(x,x')</math> gibt an, wie viel Licht <math>x</math> von <math>x'</math> aus erreicht. Es handelt sich um eine [[Strahldichte]] mit der Einheit W·m−2·sr−1. Analoges gilt für den Term <math>L(x',x'')</math>.
* Der ''geometrische Term'' <math>g(x,x')</math> beschreibt die gegenseitige Lage der Punkte in der Szene. Normalerweise hat der Term den Wert <math>{1}/{r^2}</math>, wobei <math>r</math> die Entfernung von <math>x</math> und <math>x'</math> ist. Er gibt dann an, wie viel des von <math>x'</math> ausgehenden Lichtes <math>x</math> tatsächlich exakt trifft. Dies gilt auch, falls eine dazwischen liegende Oberfläche völlig durchsichtig ist; in diesem Fall nimmt die Oberfläche das Licht auf der einen Seite auf und strahlt es auf der anderen Seite neu aus. Liegt jedoch zwischen <math>x</math> und <math>x'</math> eine undurchsichtige Oberfläche, so ist der Term 0, das heißt bei <math>x</math> kommt kein Licht von <math>x'</math> auf direktem Weg an.
* Der ''Emissionsterm'' <math>L_e(x,x')</math> gibt an, wie viel Licht von <math>x'</math> aus nach <math>x</math> abgestrahlt wird (falls <math>x'</math> eine Lichtquelle der Szene darstellt). Dies ist wiederum eine Strahldichte mit der Einheit W·m−2·sr−1.
* Der ''Streuungsterm'' <math>b(x,x',x'')</math> gibt an, welcher Anteil des Lichts, das <math>x'</math> von <math>x''</math> aus erreicht, in Richtung <math>x</math> reflektiert wird. Es handelt sich hierbei um eine [[bidirektionale Reflexionsverteilungsfunktion]] (BRDF).
* <math>S</math> ist die Gesamtheit aller Flächen in der Szene.

Kajiya stellte die Rendergleichung in leicht abgewandelter Form vor, diese Darstellung hat sich inzwischen jedoch als zweckmäßiger erwiesen. In der ursprünglichen Form war der Emissionsterm keine Strahldichte und der Streuungsterm war ein dimensionsloses Konstrukt statt einer BRDF.

=== Äquivalente Darstellung ===
[[Datei:James Kajiya - Katakaustik.jpg|mini|hochkant=1.3|Bilder aus Kajiyas Veröffentlichung von 1986. Das Bild links wurde mit normalem Raytracing berechnet, das rechte mit Path Tracing. Durch das Aussenden von Strahlen auf allen Oberflächen werden Lichteffekte wie diese [[Kaustik (Optik)|Kaustik]] möglich.]]
Äquivalente Darstellungsformen der Rendergleichung werden gewählt, um andere Anwendungsfälle anschaulicher zu beschreiben. Verbreitet ist die folgende Darstellung, die beschreibt, wie viel Licht vom Oberflächenpunkt <math>x</math> aus in Richtung des Vektors <math>\vec \omega</math> abgestrahlt wird:

:<math>L(x, \vec\omega) = L_e(x, \vec\omega) + \int_{\Omega}{f_r(x, \vec\omega', \vec\omega) L(x, \vec\omega') (\vec\omega' \cdot \vec n) \mathrm{d}\vec\omega'}</math>

Die einzelnen Teile haben im Wesentlichen dieselbe Bedeutung wie in der anderen Darstellung, sind jedoch in Abhängigkeit von der Richtung statt eines zweiten oder dritten Punktes gegeben:
* Der Energiefluss <math>L(x, \vec\omega)</math> gibt an, wie viel Licht von <math>x</math> aus in Richtung <math>\vec \omega</math> abgestrahlt wird; es handelt sich auch hier um die Strahldichte.
* Der Emissionsterm <math>L_e(x, \vec\omega)</math> gibt an, wie viel Licht von <math>x</math> aus in Richtung <math>\vec \omega</math> ausgestrahlt wird (falls der Punkt selbst eine Lichtquelle darstellt).
* Der Streuungsterm <math>f_r(x, \vec\omega', \vec\omega)</math> ist eine BRDF mit Einfallswinkel <math>\vec \omega'</math> und Reflexionswinkel <math>\vec \omega</math>.
* Der Term <math>L(x, \vec\omega')</math> beschreibt, wie viel Licht aus Richtung <math>\vec \omega'</math> den Punkt <math>x</math> erreicht.
* <math>\vec n</math> ist die [[Normalenvektor|Normale]] der Oberfläche im Punkt <math>x</math>.
* <math>\Omega</math> ist die Gesamtheit aller Winkel der [[Kugel#Kugelschnitte|Hemisphäre]] über der Oberfläche.

Die Werte innerhalb des Integrals lassen sich z. B. durch [[Raytracing]], also durch das Aussenden eines Lichtstrahls in Richtung <math>\vec \omega'</math>, berechnen. Die Annäherung des Integrals durch eine [[Monte-Carlo-Simulation]] und das [[Rekursion|rekursive]] Aussenden von Lichtstrahlen führt zum [[Path Tracing]], das Kajiya zusammen mit der Rendergleichung beschrieb.

== Literatur ==
<references />

[[Kategorie:Bildsynthese]]

Rendergleichung - Versionsgeschichte

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