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2024-05-09T12:55:40Z

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[[Datei:Prinzip der Reluktanzkraft.png|mini|Prinzip: Ein verschiebbares Stück eines [[Magnetkern]]s wird von der Reluktanzkraft in die Lücke hinein gezogen]]
Die '''Reluktanzkraft''' <math>F_\mathrm{R}</math> oder auch '''Maxwellsche Kraft''' entsteht aufgrund der Änderung des [[Magnetischer Widerstand|magnetischen Widerstands]], der auch als [[Reluktanz]] bezeichnet wird. Die Reluktanzkraft wirkt immer so, dass sich der magnetische Widerstand verringert und die [[Induktivität]] steigt und ist der [[Magnetostatik]] zuzurechnen.

Entdecker der Reluktanzkraft war 1981 K. Hanns Meyer mit seinem Artikel ''Reluktanzkraft in einem Lautsprecherantrieb''.<ref>''Elektrotechnische Zeitschrift''; 3/81; S. 284</ref>

Diese Eigenschaft wird bei einigen Typen von [[Elektrische Maschine|elektrischen Maschinen]] benutzt, zum Beispiel bei [[geschaltete Reluktanzmaschine|geschalteten Reluktanzmaschinen]], [[Transversalflussmaschine]]n, dem [[Synchron-Reluktanzmotor]] oder elektromagnetischen [[Lager (Maschinenelement)|Lagern]].

Eine verwandte Kraft ist die [[Lorentzkraft]], welche die Kraftwirkung auf eine bewegte [[elektrische Ladung]] in einem äußeren elektromagnetischen Feld beschreibt.

== Beweglicher Kern ==
Die Reluktanzkraft kann hergeleitet werden aus der Änderung der Energie <math>W</math>, die sich bei einer [[Infinitesimalrechnung|infinitesimalen]] Verschiebung <math>dx</math> des beweglichen Stücks zur Seite ergibt:

:<math>F_\mathrm{R} = \frac{\mathrm dW}{\mathrm dx}</math>,
:<math>W = \frac 1 2 \cdot I^2 \cdot L</math>
:<math>\Rightarrow F_\mathrm{R} = \frac 1 2 \cdot I^2 \cdot \frac{\mathrm d L(x)}{\mathrm dx}</math>.

Darin ist
* <math>I</math> der [[elektrischer Strom|elektrische Strom]] und
* <math>L</math> die Induktivität.

Die Induktivität <math>L</math> eines [[magnetischer Kreis|magnetischen Kreises]] mit [[Luftspalt (Magnetismus)|Luftspalt]] ist gegeben durch

:<math>L = \frac{N^2}{R_{m, \text{Kern}} + R_{m, \text{Luft}}} \approx \frac{N^2}{R_{m, \text{Luft}}} = N^2 \cdot \frac {\mu_0 \cdot A}{l_\text{Luft}}</math>

mit
* der Anzahl <math>N</math> der [[Spule (Elektrotechnik)|Spulen]]windungen
* dem [[Magnetischer Widerstand|magnetischen Widerstand]] <math>R_{m}</math>, wobei für die Näherung der magnetische Widerstand des Kerns gegenüber demjenigen des Luftspalts vernachlässigt wird
* der [[magnetische Feldkonstante|magnetischen Feldkonstante]] <math>\mu_0</math>
* der Stirnfläche <math>A</math> des magnetischen Kreises am Luftspalt, durch welche die [[Feldlinien]] des magnetischen Feldes hindurchtreten
* der Summe <math>l_\text{Luft}</math> der Größe beider Luftspalte.

Die (idealisierte) Fläche, die für den magnetischen Kreis zur Verfügung steht, ergibt sich zu

:<math>A = (x_0 - |x|) \cdot y_0\ = x_0 \cdot y_0 - |x| \cdot y_0</math>
:<math>\Rightarrow \frac{\mathrm dA}{\mathrm d|x|} = \left\{ \begin{matrix}- y_0, \quad \text{wenn } |x|>0\\ 0, \quad \text{wenn } x=0 \end{matrix} \right.</math>

Dabei ist die Richtung der [[Auslenkung]] <math>x</math> unerheblich, daher die [[Vektor #Länge/Betrag eines Vektors|Betragsstriche]]. Die Größe <math>y_0</math> bezeichnet die Tiefe.

Einsetzen liefert

:<math>\frac{\mathrm dL}{\mathrm d|x|} = N^2 \cdot \frac {\mu_0}{l_\text{Luft}} \cdot \frac{\mathrm dA}{\mathrm d|x|} = - N^2 \cdot \mu_0 \cdot \frac{y_0}{l_\text{Luft}}</math>

so dass auf den beweglichen Teil des ausgelenkten Kerns eine Kraft

:<math>\Rightarrow F_\mathrm{R} = - \frac 1 2 \cdot (I \cdot N)^2 \cdot \mu_0 \cdot \frac{y_0}{ l_\text{Luft}}</math>

wirkt, die ihn zur Mitte hin zieht. Diese ist ''unabhängig'' von der Größe der Auslenkung, außer wenn die obige Ableitung <math>\frac{\mathrm dA}{\mathrm d|x|} = - y_0</math> ihre Gültigkeit verliert. Dies ist der Fall, wenn <math>|x|</math> zu groß wird.

== Veränderlicher Luftspalt ==
[[Datei:EisenkernMitLuftspalt.svg|mini|Zugkraft im Luftspalt]]
Analog zu oben gilt
:<math>F_\mathrm{R} = \frac{\mathrm dW}{\mathrm dl_\text{Luft}}=\frac{1}{2} \cdot I^2 \cdot \frac{\mathrm dL(l_\text{Luft})}{\mathrm dl_\text{Luft}}</math>.
Für die Induktivität gilt auch hier näherungsweise
:<math>L\approx \frac{N^2}{R_{m,\text{Luft}}} = N^2\cdot A \cdot \mu_0 \cdot \frac {1}{l_\text{Luft}}</math>.
Mit der [[Potenzregel]] erhält man
:<math>\frac{\mathrm dL}{\mathrm dl_\text{Luft}} = N^2 \cdot A \cdot \mu_0 \cdot \frac{-1}{{l_\text{Luft}}^2}</math>.

Einsetzen in die Formel für <math>F_\mathrm{R}</math> liefert das Ergebnis:
:<math>F_\mathrm{R} = -\frac{1}{2} \cdot I^2 \cdot N^2 \cdot A \cdot \mu_0 \cdot \frac{1}{{l_\text{Luft}}^2}</math>.

Da bei einer Verkleinerung des Luftspalts die Induktivität steigt, wirkt die Reluktanzkraft in diese Richtung. Die Kraft nimmt mit der Breite des Luftspalts ab. Das Maximum der Reluktanzkraft ist erreicht, wenn der Luftspalt gegen null geht. Allerdings gilt bei sehr kleinem Luftspalt die Näherungsformel für die Induktivität nicht mehr, da dann der magnetische Widerstand des Kerns nicht mehr vernachlässigt werden kann.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Herausgeber = Hans-Dieter Stölting, Eberhard Kallenbach
|Titel = Handbuch Elektrische Kleinantriebe
|Auflage = 3.
|Verlag = Hanser
|Seiten = 460
|ISBN = 3-446-40019-2
}}

== Weblinks ==
* [https://energie.ch/maxwellkraft/ Maxwellkraft] auf www.energie.ch

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Theoretische Elektrotechnik]]
[[Kategorie:Magnetismus]]

Reluktanzkraft - Versionsgeschichte

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