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2022-02-13T22:35:39Z

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Die '''Relativklassenzahl''' ist ein mathematischer Begriff aus dem Bereich der [[algebraische Zahlentheorie|algebraischen Zahlentheorie]].

Sei <math>K</math> ein abelscher [[Zahlkörper]], d. h. <math>K/\mathbb Q</math> eine endliche, galoissche [[Körpererweiterung]] mit [[Abelsche Gruppe|abelscher]] [[Galoisgruppe]]. (Nach dem [[Satz von Kronecker-Weber]] ist <math>K</math> Teilkörper eines [[Kreisteilungskörper]]s.)
Sei nun <math>K</math> in die [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] eingebettet und <math>K^+ := K\cap\R</math> der reelle Teilkörper. Sei <math>h</math> die [[Klassenzahl]] von <math>K</math> und <math>h^+</math> die von <math>K^+</math>. Dann ist <math>h^- := \frac{h}{h^+}</math> ganzzahlig und heißt die Relativklassenzahl von <math>K</math>.

Allgemeiner ist diese Konstruktion möglich für [[CM-Körper]], d. h. imaginärquadratische Erweiterungen total reeller [[Zahlkörper]]. Ein Zahlkörper <math>K</math> heißt total reell, wenn das Bild jeder Einbettung <math>K\to\Complex</math> in <math>\R</math> enthalten ist. "CM" steht für ''complex multiplication'' und weist auf den Zusammenhang mit [[abelsche Varietät|abelschen Varietäten]] mit komplexer Multiplikation hin.

Die Klassenzahlen der [[Kreisteilungskörper]] sind für die historischen Beweisansätze des [[großer fermatscher Satz|großen fermatschen Satzes]] von Bedeutung (vgl. [[Großer fermatscher Satz#Alle regulären Primzahlen]] sowie [[reguläre Primzahl]]). Die Relativklassenzahl taucht in dem Zwischenschritt
: <math>p\mid h_p\iff p\mid h_p^-\iff p\mid B_j\ \text{für ein}\ j=2,4,\ldots,p-3</math>
auf (vgl. [[Bernoulli-Zahl]]en).

== Literatur ==

* [[Lawrence C. Washington]]: ''Introduction to cyclotomic fields'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 83). Springer, New York NY u. a. 1982, ISBN 0-387-90622-3.

[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]

Relativklassenzahl - Versionsgeschichte

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