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[[Datei:Relative Häufigkeit.PNG|miniatur|Berechnung der relativen Häufigkeit als Mengendiagramm]]
Die '''relative Häufigkeit''' ist eine [[Gliederungszahl]] und ein Maß der [[deskriptive Statistik|deskriptiven Statistik]]. Sie gibt den Anteil der [[Element (Mathematik)|Elemente]] einer [[Menge (Mathematik)|Menge]] wieder, bei denen eine bestimmte [[Statistische Variable|Merkmalsausprägung]] vorliegt. Sie wird berechnet, indem die [[absolute Häufigkeit]] eines Merkmals in einer zugrundeliegenden Menge durch die Anzahl der Objekte in dieser Menge geteilt wird. Die relative Häufigkeit ist also eine [[Bruchzahl]] und hat einen [[Zielmenge|Wert]] zwischen 0 und 1.

== Allgemeine mathematische Definition ==
Relative Häufigkeiten werden bezüglich einer zugrundeliegenden Menge berechnet. Diese Menge kann eine [[Grundgesamtheit]] oder eine [[Stichprobe]] sein. Um die relative Häufigkeit zu definieren, nehmen wir an, dass die zugrundeliegende Menge <math>n</math> Elemente aufweist. Unter diesen <math>n</math> Elementen tritt <math>H_n(A)</math>-mal das Ereignis <math>A</math> auf. Die relative Häufigkeit wird berechnet als die Anzahl der Beobachtungen mit dem Merkmal <math>A</math> dividiert durch die Gesamtzahl aller Elemente in der zugrundeliegenden Menge.

Die relative Häufigkeit ergibt sich daher als

:<math>h_n(A)=\frac{H_n(A)}{n}</math>.

<math>H_n(A)</math> wird auch als [[absolute Häufigkeit]] bezeichnet. Im Gegensatz zur relativen Häufigkeit <math>h_n(A)</math> sind sinnvolle Vergleiche zwischen Stichproben (oder Grundgesamtheiten) unterschiedlicher Größe mit der absoluten Häufigkeit <math>H_n(A)</math> in der Regel nicht möglich.

== Beispiele ==
=== Anteil der Mädchen in einer Schulklasse ===
In einer Klasse ''A'' sind 24 Schüler, davon 12 Mädchen. In Klasse ''B'' sind 18 Schüler, davon 9 Mädchen. Das heißt, in Klasse ''A'' sind mehr Mädchen (12) als in Klasse ''B'' (9), wenn man die absolute Häufigkeit betrachtet. Betrachtet man die Häufigkeit an Mädchen hingegen relativ zur jeweiligen Klassengröße, sieht man, dass in beiden Klassen der gleiche Anteil an Mädchen ist: In Klasse ''A'' ist die relative Häufigkeit an Mädchen 0,5 (= {{Bruch|12|24}}) und in Klasse ''B'' ebenfalls 0,5 (= {{Bruch|9|18}}). Die relative Häufigkeit lässt sich auch leicht in eine Prozentzahl umrechnen, indem man sie mit 100 % multipliziert. Somit bestehen beide Klassen zu 50 % (= 0,5 × 100 %) aus Mädchen.

=== Wahlumfragen ===

Bei einer Wahlumfrage werden 600 Wahlberechtigte in Bayern befragt sowie 200 Wahlberechtigte in Berlin. In Bayern geben 120 Befragte an, die Partei ''A'' zu wählen. In Berlin sagen 100 Befragte, dass sie die Partei ''A'' wählen würden. Die ''absolute Häufigkeit'' für Wähler der Partei ''A'' ist also in Bayern höher als in Berlin, nämlich 120 Befragte in Bayern gegenüber 100 Befragten in Berlin. Dies ist jedoch auf den Umstand zurückzuführen, dass in Bayern drei Mal so viele Personen befragt wurden wie in Berlin. Ein Vergleich der absoluten Häufigkeiten ist daher nicht sinnvoll.

Im Gegensatz dazu ermöglicht die ''relative Häufigkeit'' einen Vergleich bezüglich der Popularität der Partei ''A'' zwischen Bayern und Berlin. In Bayern beträgt die relative Häufigkeit 0,2 (= {{Bruch|120|600}}). Für Berlin berechnet man als relative Häufigkeit 0,5 (= {{Bruch|100|200}}). Partei ''A'' ist in Berlin also wesentlich beliebter als in Bayern.

== Eigenschaften ==
Im Gegensatz zur absoluten Häufigkeit bewegt sich die relative Häufigkeit immer zwischen 0 und 1. Dadurch kann man verschiedene relative Häufigkeiten miteinander vergleichen, obwohl sie sich auf unterschiedliche Bezugsgrößen beziehen. In der [[Deskriptive Statistik|deskriptiven Statistik]] werden relative Häufigkeiten daher verwendet, um [[Häufigkeitsverteilung]]en unabhängig von der Zahl der Elemente in der [[Grundgesamtheit]] (also unabhängig vom [[Stichprobe]]numfang) vergleichen zu können.

Im Rahmen der [[Inferenzstatistik]] und [[Stochastik]] wird die relative Häufigkeit als [[Maximum-Likelihood-Methode|Maximum-Likelihood-Schätzer]] für den Parameter ''Erfolgswahrscheinlichkeit'' einer [[Binomialverteilung]] verwendet.

Für die relative Häufigkeit gelten folgende Rechenregeln:
* <math>0\leq h_n(A)\leq 1</math> aufgrund der Normierung auf die Anzahl <math>n</math> der Wiederholungen.
* <math>h_n(\Omega)= 1\,</math> für das sichere [[Ereignis]].
* <math>h_n(A\cup B)=h_n(A)+h_n(B)-h_n(A\cap B)</math> für die Summe von Ereignissen.
* <math>h_n(\bar{A})=1-h_n(A)</math> für das komplementäre Ereignis.

== Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit ==
=== Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff ===
{{Hauptartikel|Wahrscheinlichkeit#Häufigkeitsprinzip – Statistische Wahrscheinlichkeitsauffassung |titel1=Wahrscheinlichkeitsauffassung}}

Der [[Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff|frequentistische Wahrscheinlichkeitsbegriff]] interpretiert die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als die relative Häufigkeit, mit der es in einer großen Anzahl gleicher, wiederholter, voneinander unabhängiger [[Zufallsgröße|Zufallsexperimente]] auftritt. Dies ist die sogenannte ‚Limes-Definition‘ nach [[Richard von Mises]]. Voraussetzung für diesen Wahrscheinlichkeitsbegriff ist die beliebige Wiederholbarkeit des Experiments; die einzelnen Durchgänge müssen voneinander unabhängig sein.<ref name="rueger0">Bernhard Rüger (1988), S. 8 ff.</ref>

Beispiel: Man würfelt 100 Mal und erhält folgende Verteilung: die 1 fällt 10 Mal (das entspricht einer relativen Häufigkeit von 10 %), die 2 fällt 15 Mal (15 %), die 3 ebenfalls 15 Mal (15 %), die 4 in 20 %, die 5 in 30 % und die 6 in 10 % der Fälle. Nach 10.000 Durchgängen haben die relativen Häufigkeiten sich – falls ein fairer Würfel vorliegt – in der Nähe der Wahrscheinlichkeiten stabilisiert, sodass z. B. die relative Häufigkeit für das Würfeln einer 3 ungefähr bei 16,7 % liegt.

Die heute als Grundlage der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendete [[Wahrscheinlichkeitstheorie#Axiome von Kolmogorow|axiomatische Wahrscheinlichkeitsdefinition]] kommt ohne den Rückgriff auf den Begriff der relativen Häufigkeit aus.<ref name="rueger2">Bernhard Rüger (1988), S. 11 ff.</ref> Auch bei Verwendung dieser Wahrscheinlichkeitsdefinition existiert jedoch (mittels des [[Gesetz der großen Zahlen|Gesetzes der großen Zahlen]]) eine enge Beziehung zwischen Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit.<ref name="rueger1">Bernhard Rüger (1988), S. 79 ff.</ref>

=== Gesetz der großen Zahlen ===
Als Gesetze der großen Zahlen werden bestimmte Konvergenzsätze für die [[fast sichere Konvergenz]] und die [[Konvergenz in Wahrscheinlichkeit]] von Zufallsvariablen bezeichnet.<ref name="rueger1" /> In ihrer einfachsten Form besagen diese Sätze, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses in der Regel der [[Wahrscheinlichkeit]] dieses Zufallsergebnisses annähert, wenn das zu Grunde liegende [[Zufallsexperiment]] immer wieder durchgeführt wird.<ref name="rueger1" /> Die Gesetze der großen Zahlen können von [[Kolmogorov]]s axiomatischer Wahrscheinlichkeitsdefinition ausgehend bewiesen werden. Somit existiert ein enger Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit auch dann, wenn man kein Vertreter der [[Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff|objektivistischen]] Wahrscheinlichkeitsauffassung ist.

== Literatur ==
* [[Bernhard Rüger]]: ''Induktive Statistik. Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler''. R. Oldenbourg Verlag, München Wien 1988, ISBN 3-486-20535-8.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Relative Haufigkeit}}
[[Kategorie:Deskriptive Statistik]]
[[Kategorie:Stochastik]]

Relative Häufigkeit - Versionsgeschichte

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