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2024-08-15T17:10:21Z

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Eine '''relativ kompakte Teilmenge''' (oder '''präkompakte Teilmenge''') ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]]. Es handelt sich um eine Abschwächung des topologischen Begriffs des [[Kompakter Raum|kompakten Raums]].

== Definition ==
Eine [[Teilmenge]] <math>A</math> eines [[topologischer Raum|topologischen Raumes]] <math>X</math> heißt relativ kompakt, wenn ihr [[Abschluss (Topologie)|topologischer Abschluss]] <math>\overline{A}</math> in <math>X</math> kompakt ist. <math>A</math> selbst muss dabei nicht kompakt sein. Ist jedoch <math>A</math> bereits eine [[abgeschlossene Teilmenge]] von <math>X</math>, ist also <math>A = \overline{A}</math>, so ist <math>A</math> eine kompakte Teilmenge von <math>X</math>.

Manche Autoren beschreiben ein relativ kompaktes <math>A \subset X </math> mittels <math>A\subset\subset X</math>.

== Andere Charakterisierungen ==

* Es sei <math>U\subseteq \R^n</math> eine (in Anwendungen häufig: offene) Teilmenge. Eine Teilmenge <math>A\subseteq U</math> ist genau dann relativ kompakt in <math>U</math>, wenn <math>A</math> beschränkt ist und der Abschluss von <math>A</math> in <math>\R^n</math> den Rand von <math>U</math> nicht trifft.
* Es seien allgemeiner <math>U</math> eine Teilmenge eines [[Hausdorffraum]]es <math>X</math> und <math>A</math> eine Teilmenge von <math>U</math>; weiter sei <math>\bar A</math> der Abschluss von <math>A</math> in <math>X</math>. Dann ist <math>A</math> genau dann relativ kompakt in <math>U</math>, wenn <math>\bar A</math> kompakt und in <math>U</math> enthalten ist.
* Eine Teilmenge <math>A</math> eines [[Metrischer Raum|metrischen Raumes]] <math>X</math> ist genau dann relativ kompakt, falls jede Folge in <math>A</math> eine in <math>X</math> konvergente Teilfolge hat.

== Ein Beispiel ==

Als Beispiel soll eine Menge [[Reelle Zahl|reeller Zahlen]] dienen (mit der üblichen euklidischen Topologie). Eine solche Menge reeller Zahlen ist kompakt, wenn jede unendliche [[Folge (Mathematik)|Folge]] von Zahlen aus dieser Menge eine unendliche [[Teilfolge ]] enthält, die einer weiteren Zahl „beliebig nahe kommt“, wobei diese weitere Zahl auch zu dieser Menge gehören muss.

Die Menge <math>A = (0,2)</math> aller reellen Zahlen zwischen <math>0</math> und <math>2</math> (aber ohne die [[Randpunkt]]e <math>0</math> und <math>2</math>) ist nicht kompakt, denn die unendliche Folge <math>1/1</math>, <math>1/2</math>, <math>1/3</math>, <math>1/4</math>, ... kommt zwar dem Häufungspunkt <math>0</math> beliebig nahe, aber die <math>0</math> gehört nicht mehr zu <math>A</math> (dasselbe gilt auch für alle Teilfolgen).

Wie steht es aber mit der relativen Kompaktheit von <math>A</math> in <math>U</math>, wenn <math>U</math> die Menge '''aller''' reellen Zahlen ist?
Um <math>A</math> zu einer kompakten Menge zu vergrößern, müssen die Häufungspunkte <math>0</math> und <math>2</math> (dem die Folge <math>1/1</math>, <math>3/2</math>, <math>5/3</math>, <math>7/4</math>, ... beliebig nahe kommt) hinzugenommen werden. Auf diese Weise erhält man den Abschluss von <math>A</math>, das ist die Menge <math>[0,2]</math> aller reellen Zahlen von <math>0</math> bis <math>2</math> (einschließlich dieser beiden Randpunkte). In der Tat ist dieser Abschluss kompakt, also ist <math>A</math> relativ kompakt in <math>U</math>.

Während es zu <math>X</math> (<math>X={\mathbb R}</math>) keine Randpunkte gibt, existiert zur Menge <math>X_+</math> aller ''positiven'' reellen Zahlen der Randpunkt <math>0</math> (der aber nicht zu <math>X_+</math> gehört). Weil der Abschluss <math>[0,2]</math> diesen Randpunkt trifft, ist der Abschluss von <math>A</math> in <math>X_+</math> gleich der Menge <math>(0,2]</math> aller reellen Zahlen zwischen <math>0</math> (ausschließlich) und <math>2</math> (einschließlich). Diese Menge ist aber nicht kompakt (weil ihr wieder der Häufungspunkt <math>0</math> fehlt), <math>A</math> ist also nicht relativ kompakt in <math>X_+</math>.

== Anwendungen ==

Der Begriff der relativen Kompaktheit wird u. a. verwendet
* in der Definition des Begriffes ''[[kompakter Operator]]''
* im [[Satz von Arzelà-Ascoli]]
* im [[Fixpunktsatz von Schauder]].

== Siehe auch ==
*[[Relative Folgenkompaktheit]]
*[[Totalbeschränktheit]]

== Literatur ==
* Karl Heinz Mayer: ''Algebraische Topologie.'' Birkhäuser, Basel u. a. 1989, ISBN 3-7643-2229-2.

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[[Kategorie:Kompaktheit]]

Relativ kompakte Teilmenge - Versionsgeschichte

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