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2023-06-24T19:37:33Z

Quader

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Der Begriff '''Relativ Innerer Punkt''' ist ein [[Topologie (Mathematik)| topologischer]] Begriff, der in der [[Optimierung (Mathematik)|Mathematischen Optimierung]] gebraucht wird.

== Definition ==
Es sei <math> M </math> eine Teilmenge eines <math> n </math> -dimensionalen [[Reelle Zahl|reellen]] [[Vektorraum]]s <math> V </math>, <math> \operatorname{aff}(M) </math> die [[affine Hülle]] von <math> M </math> in <math> V </math>. Dann heißt ein Punkt <math> x </math> aus <math> M </math> ein relativ innerer Punkt von <math> M </math>, wenn es eine [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] <math> U_\epsilon(x) </math> von <math> x </math> gibt, so dass <math> U_\epsilon(x) \cap \operatorname{aff}(M) \subset M </math> gilt.
Die relativ inneren Punkte von <math> M </math> sind also genau die inneren Punkte bezüglich der [[Unterraumtopologie]] von <math> \operatorname{aff}(M) </math>.
Die Menge aller relativ inneren Punkte heißt das relativ Innere der Menge <math> M </math> und wird mit <math> \operatorname{relint}(M) </math> bezeichnet.

[[Datei:InnererPunkt.png|miniatur|Unterschied zwischen innerem Punkt und relativ innerem Punkt einer Menge]]

== Beispiele ==
=== Quader ===
Wir betrachten einen Quader im dreidimensionalen (reellen) Raum. Dann gilt:
* Ein Punkt im Inneren des Quaders ist relativ innerer Punkt des Vollquaders.
* Ein Punkt auf einer Seitenfläche des Quaders (nicht auf einer Kante) ist relativ innerer Punkt der betreffenden Seitenfläche, aber nicht des Vollquaders.
* Ein Punkt auf einer Kante des Quaders, der kein Eckpunkt des Quaders ist, ist relativ innerer Punkt der betreffenden Kante, aber weder einer Seitenfläche noch des Vollquaders.
* Ein Eckpunkt des Quaders ist relativ innerer Punkt der aus dem Eckpunkt bestehenden Einermenge, aber sonst in keiner anderen Teilmenge des Quaders ein relativ innerer Punkt.

=== Kreisscheibe ===
Wir betrachten eine abgeschlossene Kreisscheibe im dreidimensionalen (reellen) Raum. Dann gilt:
* Die affine Hülle der Kreisscheibe ist die Ebene im Raum, in der der Kreis liegt.
* Die Punkte der Kreislinie sind für die Kreisscheibe keine relativ inneren Punkte.
* Alle anderen Punkte der Kreisscheibe sind relativ innere Punkte.

=== Kurve in der Ebene ===
Sei <math>C</math> eine Kurve in der Ebene. Formal: <math>C</math> sei das Bild einer
[[stetige Funktion|stetigen Funktion]] <math> f\colon I\rightarrow\mathbb{R}^2</math> auf einem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>I\subseteq\mathbb R</math>.

Ein Punkt <math>f(t)</math> auf der Kurve, der weder ihr Anfangs- noch ihr Endpunkt ist (das heißt, <math>t</math> liegt im Inneren von <math>I</math>), ist genau dann ein relativ innerer Punkt der Kurve, wenn die Kurve in einer Umgebung von <math>t</math> geradeaus geht. Falls die Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>t</math> zweimal differenzierbar ist, bedeutet dies, dass die Kurve dort die [[Krümmung]] 0 hat.

[[Kategorie:Mengentheoretische Topologie]]

Relativ innerer Punkt - Versionsgeschichte

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