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Ein '''Rekurrenzplot''' (von {{LaS|''recurrere''}} „wiederkehren“) ist eine moderne Methode der nichtlinearen [[Zeitreihenanalyse|Datenanalyse]]. Der Rekurrenzplot visualisiert die Zeitpunkte eines dynamischen Systems, zu denen sein Zustand zu einem vorherigen wiederkehrt.

== Hintergrund ==
Die Wiederkehr-Eigenschaft ist typisch für [[Determiniertheit|deterministische]] [[Dynamisches System|dynamische Systeme]] ([[Chaos]], [[nichtlineare Dynamik]]) und spiegelt sich auch in vielen natürlichen Prozessen wider, wie z. B. [[El Niño]], [[Milanković-Zyklen]] oder [[Sonnenflecken|Sonnenflecken-Zyklen]]. Wiederkehr bedeutet dabei nicht, dass ganz genau der ursprüngliche Zustand wieder eintritt, sondern dass er nur beliebig genau wieder getroffen wird. Bereits [[Henri Poincaré|Poincaré]] hatte die unendliche Wiederkehr von Zuständen postuliert.

Die Methode der Rekurrenzplots wurde 1987 von Eckmann eingeführt. Sie dient zur Darstellung von höherdimensionalen [[Phasenraum#Beispiel einer Phasenraumanalyse|Phasenraum-Trajektorien]].<ref name="eckmann1987"></ref><ref name="marwan2008"></ref>

== Beschreibung ==
Der Rekurrenzplot ist eine quadratische Matrix mit zwei Zeitachsen<ref name="eckmann1987">{{cite journal
| author=J. P. Eckmann, S. O. Kamphorst, [[David Ruelle|D. Ruelle]]
| title=Recurrence Plots of Dynamical Systems
| journal=Europhysics Letters
| volume=5
| issue=9
| pages=973–977
| year=1987
| doi=10.1209/0295-5075/4/9/004
| bibcode=1987EL......4..973E
| s2cid=250847435
| language=en
}}</ref>. In dieser Matrix sind durch Punkte diejenigen Zeitpaarungen dargestellt, deren Zustände nahezu gleich sind, d. h. wann der entsprechende Zustand wiedergekehrt ist. Die Wiederkehr wird in der Regel aus der [[Distanzfunktion|Distanz]] zwischen allen Paarungen der Daten bestimmt<ref name="marwan2007">{{cite journal
|author1=N. Marwan |author2=M. C. Romano |author3=M. Thiel |author4=J. Kurths | title=Recurrence Plots for the Analysis of Complex Systems
| journal=Physics Reports
| volume=438
| issue=5–6
| year=2007
| doi=10.1016/j.physrep.2006.11.001
| pages=237
| language=en
|bibcode = 2007PhR...438..237M }}</ref>:

:<math>R(i,j)=\Theta(\varepsilon - \| \vec{x}(i)- \vec{x}(j) \|).</math>

Hierbei ist <math>\Theta</math> die [[Heaviside-Funktion]], <math>\varepsilon</math> der Maximalabstand und <math>\| \cdot \|</math> eine [[Norm (Mathematik)|Norm]], beispielsweise die [[Euklidische Norm]]. Als alternative Abstandsmaße zur Definition von Wiederkehr wurden
Winkelabstand, [[Fuzzy-Menge|Fuzzy-basierter Abstand]] oder [[Levenshtein-Distanz]] vorgeschlagen, welche je nach Anwendungsfall besser geeignet sind als einfache Vektornormen<ref name="marwan2023">{{cite journal
| author1=N. Marwan | author2=K. H. Kraemer
| title=Trends in recurrence analysis of dynamical systems
| journal=European Physical Journal ST
| volume=232
| year=2023
| pages=5–27
| doi=10.1140/epjs/s11734-022-00739-8
| doi-access=free
| url=https://arxiv.org/pdf/2409.04110
| bibcode = 2023EPJST.232....5M
| s2cid=255630484
| language=en
}}</ref>.

Das Aussehen des Rekurrenzplots wird durch das Verhalten der Phasenraum-Trajektorie bestimmt. Dabei unterscheidet man zwischen den kleinen Strukturen, wie Einzelpunkte, Diagonallinien oder Vertikallinien, und dem Gesamteindruck des Plots (Textur)<ref name="marwan2007"/>.

[[Bild:Rp examples740.gif|mini|center|740px|Typische Beispiele von Rekurrenzplots (obere Reihe: Zeitreihen; untere Reihe: zugehörige Rekurrenzplots). Von links nach rechts: unkorreliertes stochastisches Rauschen (Weißes Rauschen), harmonische Oszillation mit zwei Frequenzen, Chaos mit einem linearen Trend (logistische Abbildung) und auto-regressiver Prozess.]]

Die kleinskaligen Strukturen in Rekurrenzplots enthalten Informationen über bestimmte Merkmale der Dynamik des zugrundeliegenden Systems. Zum Beispiel entsprechen die Längen der diagonalen Linien, die im Rekurrenzplot sichtbar sind, der Divergenz der Trajektorien im Phasenraum und können somit Informationen über das chaotische Verhalten des Systems liefern<ref name="marwan2007"/>.
Die quantitative Auswertung von Rekurrenzplots (''recurrence quantification analysis, RQA'') quantifiziert die Verteilungen dieser kleinskaligen Strukturen<ref>{{cite journal
| author1=J. P. Zbilut | author2=C. L. Webber
| title=Embeddings and delays as derived from quantification of recurrence plots
| journal=Physics Letters A
| volume=171
| issue=3–4
| year=1992
| pages=199–203
| doi=10.1016/0375-9601(92)90426-M
| bibcode = 1992PhLA..171..199Z
| s2cid=122890777
| language=en
}}</ref><ref>{{cite journal
| author1=C. L. Webber | author2=J. P. Zbilut
| title=Dynamical assessment of physiological systems and states using recurrence plot strategies
| journal=Journal of Applied Physiology
| volume=76
| issue=2
| year=1994
| pages=965–973
| doi=10.1152/jappl.1994.76.2.965
| s2cid=23854540
| language=en
}}</ref><ref name="marwan2008">{{cite journal
| author=N. Marwan
| title=A historical review of recurrence plots
| journal=European Physical Journal ST
| volume=164
| issue=1
| year=2008
| pages=3–12
| url= https://zenodo.org/record/996840
| doi=10.1140/epjst/e2008-00829-1
| language=en
|bibcode = 2008EPJST.164....3M
| arxiv=1709.09971
| s2cid=119494395
}}</ref>. Anwendungsgebiete von Rekurrenzplots und deren Quantifizierung umfassen Klassifizierung, Vorhersagen, nichtlineare Parameterschätzung und das Auffinden von kritischen Übergängen. Neuere Anwendungen nutzen Rekurrenzplots als Werkzeug zur Umwandlung von Zeitreihen in Bilder (''time series imaging'') in Kombination mit maschinellem Lernen und zur Untersuchung raum-zeitlicher Wiederkehrmuster<ref name="marwan2023"/>.

Ein '''Close Returns Plot''' ist ein Rekurrenzplot mit einer etwas anderen Art der Auftragung von Wiederkehr-Zeiten. Hier entspricht die <math>y</math>-Achse nicht der absoluten Zeit, sondern der Zeitdifferenz (also, nach welcher Zeit der Zustand wiederkehrt)<ref name="marwan2007"/>.

[[Bild:Rp soi.gif|mini|center|377px|Rekurrenzplot des El-Niño-Index.]]

== Literatur ==
<references />

== Weblinks ==
* [http://www.recurrence-plot.tk Recurrence Plot Webseite]

[[Kategorie:Diagramm (Statistik)]]
[[Kategorie:Zeitreihenanalyse]]

Rekurrenzplot - Versionsgeschichte

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