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2026-02-09T09:27:22Z

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In der [[Funktionentheorie]] mehrerer Veränderlicher bezeichnet ein '''Reinhardt-Gebiet''' (auch ''Reinhardt’sches Gebiet'' oder ''Reinhardt’scher Körper'' genannt, benannt nach [[Karl_Reinhardt_(Mathematiker)|Karl Reinhardt]]) ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] in <math>\mathbb{C}^n</math>, welches als Vereinigung komplexer <math>n</math>-[[Torus|Tori]] aufgefasst werden kann.

== Definition ==

Sei <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}^n</math> [[Offene Menge|offen]] und [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängend]]. <math>\Omega</math> heißt Reinhardt-Gebiet, falls für jedes <math>z = (z_1, z_2, \dots, z_n) \in \Omega</math> und für alle <math>\vartheta_1, \vartheta_2, \dots, \vartheta_n \in \mathbb{R}</math> auch <math>\left(e^{i \vartheta_1} \cdot z_1, \; e^{i \vartheta_2} \cdot z_2, \; \dots, e^{i \vartheta_n} \cdot z_n \right) \in \Omega</math> liegt.

Ein Reinhardt-Gebiet <math>\Omega</math> heißt ''vollkommen'', wenn mit <math>z = (z_1, z_2, \dots, z_n) \in \Omega \cap \mathbb{C}^n \setminus \{0\}</math> der Polyzylinder <math>\left\{w = (w_1, w_2, \dots, w_n) \in \mathbb{C}^n \,:\, \left|w_j\right| < \left|z_j\right| \right\}</math> eine Teilmenge von <math>\Omega</math> ist.<ref>{{Literatur |Autor=H. Grauert, K. Fritzsche |Titel=Einführung in die Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2013-03-12 |ISBN=978-3-642-61931-1 |Seiten=6 |Online=https://www.google.de/books/edition/Einf%C3%BChrung_in_die_Funktionentheorie_meh/jvV8BwAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=vollkommenes+Reinhardt-Gebiet+funktionentheorie&pg=PA7&printsec=frontcover |Abruf=2025-01-08}}</ref>

== Graphische Darstellung ==

Ein Reinhardt-Gebiet <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}^n</math> hat eine eindeutige Entsprechung in <math>{\mathbb{R}^{+}_{0}}^n</math>, wobei jeder Punkt in <math>z = (z_1, z_2, \dots, z_n) \in \Omega</math> auf die Absolutbeträge seiner Koordinaten <math>(\left|z_1\right|, \left|z_2\right|, \dots, \left|z_n\right|)</math> abgebildet wird. Umgekehrt entspricht dann jeder Punkt in <math>{\mathbb{R}^{+}_{0}}^n</math> einem komplexen <math>n</math>-Torus. Dadurch können auch Reinhardt-Gebiet in den höherdimensionalen Räumen <math>\mathbb{C}^2</math> bzw. <math>\mathbb{C}^3</math> noch graphisch im <math>\mathbb{R}^2</math> bzw. <math>\mathbb{R}^3</math> dargestellt werden.

== Beispiele ==

* komplex <math>n</math>-dimensionaler [[Polyzylinder]] <math>\left\{z = (z_1, z_2, \dots, z_n) \in \mathbb{C}^n \,:\, \left|z_j\right| < \rho_j \; (j = 1,2,\dots n) \right\}</math> mit Radien <math>\rho_1, \rho_2,\dots,\rho_n > 0</math>
* komplex <math>n</math>-dimensionaler Ball <math>\left\{z = (z_1, z_2, \dots, z_n) \in \mathbb{C}^n \,:\, \left|z_1 - a_1\right|^2 + \left|z_2 - a_2\right|^2 + \dots + \left|z_n - a_n\right|^2 = \rho^2\right\}</math> um <math>a = (a_1, a_2, \dots, a_n) \in \mathbb{C}^n</math> mit Radius <math>\rho > 0</math>.

== Bedeutung in der Funktionentheorie ==

Die Bedeutung der Reinhardt-Gebiete liegt darin, dass sie die richtigen Gebiete sind, um Potenz- bzw. Laurent-Reihen zu betrachten. Das [[Konvergenzbereich|Konvergenzgebiet]] einer [[Potenzreihe]] ist ein vollkommenes Reinhardt’sches Gebiet. Allerdings ist nicht jedes vollkommene Reinhardt’sche Gebiet auch Konvergenzgebiet einer Potenzreihe.

Reinhardt’sche Gebiete spielen auch eine Rolle bei der [[Analytische Fortsetzung|Fortsetzung holomorpher Funktionen]]. Grundlegend ist dabei der folgende Satz:

Sei <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}^n</math> ein Reinhardt-Gebiet, und <math>f\colon\Omega \rightarrow \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann existiert eine eindeutig bestimmte [[Laurent-Reihe]] <math>\textstyle \sum_{\alpha \in \mathbb{Z}^n} a_\alpha \cdot z^\alpha</math>, welche auf [[Kompakter Raum|kompakten]] Teilmengen von <math>\Omega</math> [[absolute Konvergenz|absolut]] und [[gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen die Funktion <math>f</math> konvergiert.

Gilt zudem, dass für jedes <math>j \in \left\{1, 2, \dots, n\right\}</math> ein Punkt <math>z \in \Omega</math> existiert, dessen <math>j</math>-te Koordinate 0 ist, dann ist die Laurent-Reihe sogar eine Potenzreihe und die holomorphe Funktion kann auf dem Konvergenzgebiet dieser Reihe eindeutig fortgesetzt werden.

== Literatur ==
*Hans Grauert, Klaus Fritzsche: ''Einführung in die Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher''. Springer-Verlag, Berlin 1974, ISBN 3-540-06672-1 u. ISBN 0-387-06672-1

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionentheorie]]

Reinhardt-Gebiet - Versionsgeschichte

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