imported>Cherno More am 10. Januar 2022 um 17:28 Uhr

2022-01-10T17:28:22Z

Neue Seite

Eine '''Reihenentwicklung''' ist eine Technik aus der [[Mathematik]], die insbesondere in den Teilgebieten [[Analysis]] und [[Funktionentheorie]] von Bedeutung ist, aber auch in anderen mathematischen Disziplinen sowie in der [[Physik]] und in anderen [[naturwissenschaft]]lichen und [[Ingenieurwissenschaften|ingenieurwissenschaftlichen]] Bereichen angewendet wird.

Bei einer Reihenentwicklung wird eine [[Funktion (Mathematik)|mathematische Funktion]], die nicht direkt mit elementaren Operationen ([[Addition]], [[Subtraktion]], [[Multiplikation]] und [[Division (Mathematik)|Division]]) dargestellt werden kann, in eine [[unendliche Summe]] von [[Potenz (Mathematik)|Potenzen]] in einer ihrer Variablen oder von Potenzen in einer anderen (gewöhnlicherweise [[Elementare Funktion|elementaren]]) Funktion überführt.

Diese [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] kann in der Praxis oft auf endlich viele Glieder reduziert werden. Dadurch entsteht eine [[Approximation#Funktionen|Näherung]] der exakten Funktion, die umso einfacher ist, je weniger Glieder genommen wurden, aber umso besser, je mehr genommen wurden. Häufig lässt sich die dadurch entstandene Ungenauigkeit (also die Größe des Restgliedes) formelhaft beschreiben.

Bei einer [[Erzeugende Funktion|erzeugenden Funktion]] erscheinen die Glieder einer unendlichen [[Folge (Mathematik)|Folge]] (z. B. die der [[Bernoullische Zahlen|bernoullischen Zahlen]]) als [[Koeffizient]]en der Reihenentwicklung.

== Beispiele ==
In der Mathematik treten zum Beispiel folgende Reihenentwicklungen auf:

* [[Taylorreihe]] ([[Potenzreihe]]) und als Spezialfall davon [[Maclaurin-Reihe]]
* [[Laurentreihe]]: Verallgemeinerung der Taylorreihe, bei der auch negative Werte der [[Potenz (Mathematik)|Exponenten]] erlaubt sind.
* [[Puiseuxreihe]]: Verallgemeinerung der Taylorreihe, bei der auch gebrochene Exponenten erlaubt sind.
* [[Dirichletreihe]]
* [[Fourierreihe]]: beschreibt eine [[Periodizität|periodisch]]e Funktion als Überlagerung von [[Sinus und Kosinus|Sinus- und Kosinus]]-Funktionen. So können z. B. [[Ton (Musik)|Musiktöne]] als Überlagerung eines [[Grundfrequenz|Grundtons]] und mehrerer [[Oberton|Obertöne]] beschrieben werden.
* [[Legendre-Polynom]]: beschreibt in der Physik ein beliebiges Feld als eine Überlagerung von [[Dipol (Physik)|Dipol]]-, [[Quadrupol]]-, [[Oktupol]]-Feldern usw. ([[Multipolentwicklung]])
* [[Zernike-Polynom]]e: werden in der [[Optik]] verwendet, um [[Abbildungsfehler]] optischer Systeme zu errechnen.

Andere Entwicklungen solcher Funktionen sind die [[Kettenbruchentwicklung]]en.

== Weblinks ==
* {{MathWorld|SeriesExpansion|Series Expansion}}

[[Kategorie:Folgen und Reihen]]

Reihenentwicklung - Versionsgeschichte

imported>Cherno More am 10. Januar 2022 um 17:28 Uhr