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2019-12-07T08:43:33Z

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Die '''reidsche Ungleichung''' ist eine mathematische Ungleichung aus dem Bereich der Operatorentheorie auf [[Hilbertraum|Hilberträumen]]. Sie wurde 1951 von [[William Thomas Reid]] bewiesen.

== Formulierung ==
Seien <math>H</math> ein Hilbertraum und <math>A,B</math> [[Beschränkter Operator|stetige]] [[linearer Operator|lineare Operatoren]] auf <math>H</math>, so dass gilt:
* <math>A</math> ist ein [[positiver Operator]], das heißt <math>\langle Ax,x\rangle \ge 0</math> für alle <math>x\in H</math>
* <math>AB</math> ist [[Selbstadjungierter Operator|selbstadjungiert]], das heißt <math>\langle ABx,y\rangle = \langle x,ABy\rangle</math> für alle <math>x,y\in H</math>.
Dann gilt <math>|\langle ABx,x\rangle| \le \|B\|\langle Ax,x\rangle</math> für alle <math>x\in H</math>.

Der Beweis kann mit elementaren Mitteln geführt werden, das heißt ohne [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektraltheorie]] oder [[Funktionalkalkül]]. Im Wesentlichen handelt es sich um eine geschickte Anwendung der [[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] für die [[Definitheit|positiv semidefinite Sesquilinearform]] <math>(x,y)\to \langle Ax,y\rangle</math> auf <math>H</math>.

== Anwendung ==
* Sind die positiven Operatoren <math>A</math> und <math>B</math> vertauschbar, das heißt <math>AB=BA</math>, so ist auch <math>AB</math> positiv.

Zum Beweis sei <math>I</math> der identische Operator auf dem zu Grunde liegenden Hilbertraum. Ohne Einschränkung ist <math>\|B\| \le 1</math>. Dann ist auch <math>0 \le I-B \le 1</math> und daher <math>\|I-B\|\le 1</math>. Da <math>A</math> auch mit <math>I-B</math> vertauscht, ist <math>A(I-B)</math> selbstadjungiert, und die reidsche Ungleichung liefert
<math>\langle A(I-B)x,x\rangle \le \|I-B\| \langle Ax,x\rangle \le \langle Ax,x\rangle</math>. Also ist <math>A-AB = A(I-B)\le A</math>, das heißt <math>AB \ge 0</math>.

Die Beweisführung dieses wichtigen Resultats mit Hilfe der reidschen Ungleichung erfordert nur elementare Hilfsmittel. Mit fortgeschrittener Theorie kann man dieses Ergebnis ebenso schnell erhalten. Dann betrachtet man die von <math>A</math> und <math>B</math> erzeugte [[C*-Algebra]], die, da kommutativ, nach dem [[Satz von Gelfand-Neumark]] isomorph zu einer Algebra stetiger Funktionen auf einem [[lokalkompakt|lokalkompakten]] [[Hausdorffraum]] <math>X</math> ist, und obige Anwendung reduziert sich auf die Tatsache, dass das Produkt zweier stetiger Funktionen <math>X\mapsto \R_0^+</math> wieder eine solche Funktion ist.

== Quellen ==
* W. T. Reid: ''Symmetrizable completely continuous linear transformations in Hilbert space'', Duke Mathematical Journal, Band 18, Seiten 41–56, (1951)
* Harro Heuser: ''Funktionalanalysis'', Teubner-Verlag, 1975

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Ungleichung]]

Reidsche Ungleichung - Versionsgeschichte

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