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2025-07-11T11:58:40Z

Kleinere Verbesserung in der Einleitung. Ergänzung „ Siehe auch“.

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In der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] und in verwandten [[Teilgebiete der Mathematik|Gebieten der Mathematik]] sind '''reguläre Räume''' spezielle [[topologischer Raum|topologische Räume]], in denen ein [[abgeschlossene Menge|abgeschlossener]] [[Teilraum]] sich stets von jedem außerhalb liegenden Punkt durch [[Umgebung (Mathematik)|Umgebungen]] trennen lässt.

Ein '''T3-Raum''' ist ein regulärer Raum, der außerdem ein [[Hausdorff-Raum]] ist.

== Definition ==

Sei <math>X</math> ein topologischer Raum. Zwei Teilmengen <math>Y</math> und <math>Z</math> von <math>X</math> heißen ''durch Umgebungen getrennt'', falls disjunkte [[offene Menge|offene]] Mengen <math>U</math> und <math>V</math> mit <math>Y\subset U</math> und <math>Z\subset V</math> existieren.

<math>X</math> heißt ''regulärer Raum'', falls jede abgeschlossene Menge <math>A \subset X</math> und jeder Punkt <math>x \in {X \setminus A}</math> durch Umgebungen <math>U \in\mathfrak{U}(A)</math> von <math>A</math> sowie <math>V \in \mathfrak{U}(x)</math> von <math>x</math> getrennt sind, also mit <math>U \cap V=\emptyset</math>.

Hinweis: In der Literatur ist die Bezeichnung regulärer Raum und T3-Raum nicht eindeutig. Gelegentlich sind die Definitionen gegenüber der hier präsentierten Variante vertauscht.

== Beispiele ==

* Jeder [[Indiskrete Topologie|indiskrete Raum]] mit mehr als einem Element ist regulär.
* Jeder [[Metrischer Raum|metrische Raum]] ist regulär.<ref name="boto">Boto von Querenburg: ''Mengentheoretische Topologie.'' 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9, S. 84 ({{Google Buch |BuchID=MDAlBgAAQBAJ |Seite=84}}).</ref>
* Der [[Niemytzki-Raum]] ist ein regulärer Raum, der nicht [[Normaler Raum|normal]] ist.<ref name="books-DkEuGkOtSrUC-100">Lynn Arthur Steen: ''Counterexamples in Topology.'' Courier Corporation, 1995, ISBN 978-0-486-68735-3, S. 100 ({{Google Buch |BuchID=DkEuGkOtSrUC |Seite=100}}).</ref>

== Permanenz-Eigenschaften ==

* [[Unterraum#Topologischer Raum|Unterräume]] regulärer Räume sind wieder regulär.
* Beliebige [[Produkttopologie|Produkte]] regulärer Räume sind wieder regulär.

== Beziehungen zu anderen Trennungsaxiomen ==

* Jeder reguläre Raum ist [[R0-Raum|symmetrisch]].<ref name="bartsch">René Bartsch: ''Allgemeine Topologie.'' Walter de Gruyter GmbH & Co KG, 2015, ISBN 978-3-11-040618-4, S. 118.</ref>
* Jeder reguläre Raum, der [[Kolmogoroff-Raum|T0]] erfüllt, erfüllt auch [[Hausdorff-Raum|T2]] und somit [[T1-Raum|T1]]: Betrachte zwei Punkte <math>x</math> und <math>y</math>. [[Ohne Beschränkung der Allgemeinheit]] existiere eine offene Umgebung von <math>y</math>, die <math>x</math> nicht enthält (andernfalls vertausche die beiden Punkte). Ihr [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] ist abgeschlossen und enthält <math>x</math>, aber nicht <math>y</math> und kann daher von <math>y</math> durch disjunkte Umgebungen getrennt werden, die somit auch <math>x</math> und <math>y</math> trennen.
* Jeder reguläre Raum ist [[präregulärer Raum|präregulär]].
* Jeder reguläre Raum ist außerdem [[Halbregulärer Raum|halbregulär]]. Die [[Regulär offene Menge|regulär offenen Mengen]] bilden eine [[Basis (Topologie)|Basis]] eines regulären Raums. Diese Eigenschaft ist allerdings schwächer als die der Regularität. Das heißt, es gibt topologische Räume, deren regulär offene Mengen eine Basis bilden, aber die nicht regulär sind.
* Ein topologischer Raum ist genau dann ein regulärer Raum, wenn der [[Kolmogoroff-Raum|Kolmogoroff-Quotient]] KQ('X') das [[Trennungsaxiom]] T3 erfüllt.
* Jeder [[vollständig regulärer Raum|vollständig reguläre Raum]] ist auch regulär, die Umkehrung gilt nicht, wie das Beispiel der [[Mysior-Ebene]] zeigt.
* Erfüllt ein regulärer Raum das [[zweites Abzählbarkeitsaxiom|zweite Abzählbarkeitsaxiom]], so ist er bereits [[normaler Raum|normal]] und nach dem [[Metrisierbarkeitssatz von Urysohn]] [[Pseudometrik|pseudometrisierbar]].
* Jeder symmetrische normale Raum ist regulär.<ref name="bartsch2">René Bartsch: ''Allgemeine Topologie.'' Walter de Gruyter GmbH & Co KG, 2015, ISBN 978-3-11-040618-4, S. 122.</ref>

== Äquivalente Charakterisierung ==

Ein topologischer Raum ist genau dann regulär, wenn jeder seiner Punkte eine [[Umgebungsbasis]] aus abgeschlossenen Mengen besitzt. Umgebungsbasis <math>\mathfrak{B}</math> eines Punktes <math>x\in X</math> zu sein, bedeutet, dass man zu jeder Umgebung <math>U\in\mathfrak{U}(x)</math> eine Umgebung <math>B\in\mathfrak{U}(x)</math> mit <math>B\in\mathfrak{B}</math> und <math>B\subseteq U</math> findet.

Der [[Sachverhalt]] lässt sich auch recht leicht allein mit den topologischen Grundbegriffen ([[Offene Menge|Offenheit]] und [[Abgeschlossene Hülle|Abschluss]]) ausdrücken, ohne dabei Umgebungen und Umgebungsbasen einführen zu müssen: Für jedes <math>x\in O</math>, <math>O</math> offen, findet man ein offenes <math>V</math> mit <math>x\in V\subseteq\overline{V}\subseteq O</math>.

== Literatur ==

* [[Boto von Querenburg]]: ''Mengentheoretische Topologie'' (= ''Springer-Lehrbuch''). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.

== Siehe auch ==
* [[Vollständig regulärer Raum]]

== Einzelnachweise ==

<references />

{{Navigationsleiste Topologie}}

[[Kategorie:Trennbarkeit]]
[[Kategorie:Topologischer Raum]]

Regulärer Raum - Versionsgeschichte

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