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2025-08-28T05:42:40Z

Beispiele

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Eine '''reguläre''', '''invertierbare''' oder '''nichtsinguläre Matrix''' ist in der [[Mathematik]] eine [[quadratische Matrix]], die eine [[Inverse Matrix|Inverse]] besitzt. Reguläre Matrizen können auf mehrere äquivalente Weisen charakterisiert werden. Zum Beispiel zeichnen sich reguläre Matrizen dadurch aus, dass die durch sie beschriebene [[lineare Abbildung]] [[bijektiv]] ist. Daher ist ein [[lineares Gleichungssystem]] mit einer regulären [[Koeffizientenmatrix]] stets eindeutig lösbar. Die Menge der regulären Matrizen fester Größe mit Einträgen aus einem [[Ring (Mathematik)|Ring]] oder [[Körper (Algebra)|Körper]] bildet mit der [[Matrizenmultiplikation]] als [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] die [[allgemeine lineare Gruppe]].

Nicht zu jeder quadratischen Matrix existiert eine Inverse. Eine quadratische Matrix, die keine Inverse besitzt, wird '''singuläre Matrix''' genannt.

== Definition ==

Eine [[quadratische Matrix]] <math>A \in R^{n \times n}</math> mit Einträgen aus einem [[Unitärer Ring|unitären Ring]] <math>R</math> (in der Praxis meist dem [[Körper (Algebra)|Körper]] der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]]) heißt ''regulär'', wenn eine weitere Matrix <math>B \in R^{n \times n}</math> existiert, sodass

: <math>A \cdot B = B \cdot A = I</math>

gilt, wobei <math>I</math> die [[Einheitsmatrix]] bezeichnet. Die Matrix <math>B</math> ist hierbei eindeutig bestimmt und heißt [[inverse Matrix]] zu <math>A</math>. Die Inverse einer Matrix <math>A</math> wird üblicherweise mit <math>A^{-1}</math> bezeichnet. Bei einer singulären Matrix existiert keine solche Matrix <math>B</math>.

Ist <math>R</math> ein [[kommutativer Ring]], Körper oder [[Schiefkörper]], so sind die beiden Bedingungen <math>A \cdot B= I</math> und <math>B \cdot A = I</math> äquivalent, das heißt, eine linksinverse Matrix ist dann auch rechtsinvers und umgekehrt, sprich, die obige Bedingung lässt sich durch <math>B \cdot A = I</math> beziehungsweise <math>A \cdot B = I</math> abschwächen.

== Beispiele ==

Die reelle Matrix

: <math>A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}</math>

ist regulär, denn sie besitzt die Inverse

: <math>B = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}</math>,

mit

: <math>A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I</math>.

Die reelle Matrix

: <math>A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

ist singulär, denn für jede Matrix

: <math>B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math>

gilt

: <math>A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a+3c & 2b+3d \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq I</math>.

== Äquivalente Charakterisierungen ==
=== Reguläre Matrizen über einem Körper ===
Eine <math>(n\times n)</math>-Matrix <math>A</math> mit Einträgen aus einem Körper <math>K</math>, zum Beispiel die [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], ist genau dann invertierbar, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

* Es gibt eine Matrix <math>B</math> mit <math>AB=I=BA </math>.
* Die [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] von <math>A</math> ist ungleich null: <math>\det(A)\neq 0</math>.
* Die Null ist kein [[Eigenwert]] von <math>A</math>.
* Das lineare Gleichungssystem <math>Ax=0</math> besitzt nur die triviale Lösung <math>x=0</math>.
* Für jedes <math>b\in K^n</math> existiert mindestens eine Lösung <math>x\in K^n</math> des linearen Gleichungssystems <math>Ax=b</math>.
* Für jedes <math>b\in K^n</math> existiert höchstens eine Lösung <math>x\in K^n</math> des linearen Gleichungssystems <math>Ax=b</math>.
* Die Zeilenvektoren sind [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängig]].
* Die Zeilenvektoren [[Erzeugendensystem|erzeugen]] <math>K^n</math>.
* Die Spaltenvektoren sind linear unabhängig.
* Die Spaltenvektoren erzeugen <math>K^n</math>.
* Die durch <math>A</math> beschriebene lineare Abbildung <math>K^n\to K^n</math>, <math>x\mapsto Ax</math>, ist [[Bijektive Funktion|bijektiv]].
* Die [[transponierte Matrix]] <math>A^T</math> ist invertierbar.
* Der [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] der Matrix <math>A</math> ist gleich <math>n</math>.

Bei einer singulären <math>(n\times n)</math>-Matrix <math>A</math> mit Einträgen aus einem Körper <math>K</math> ist keine der obigen Bedingungen erfüllt.

=== Reguläre Matrizen über einem unitären kommutativen Ring ===
Allgemeiner ist eine <math>(n\times n)</math>-Matrix <math>A</math> mit Einträgen aus einem [[Kommutativer Ring|kommutativen Ring]] mit Eins <math>R</math> genau dann invertierbar, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

* Es gibt eine Matrix <math>B</math> mit <math>AB=I=BA </math>.
* Die [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] von <math>A</math> ist eine [[Einheit (Mathematik)|Einheit]] in <math>R</math> (man spricht auch von einer [[Spezielle lineare Gruppe|unimodularen Matrix]]).
* Für alle <math>b\in R^n</math> existiert genau eine Lösung <math>x\in R^n</math> des [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]] <math>Ax=b</math>.
* Für alle <math>b\in R^n</math> existiert mindestens eine Lösung <math>x\in R^n</math> des linearen Gleichungssystems <math>Ax=b</math>.
* Die Zeilenvektoren bilden eine [[Basis (Modul)|Basis]] von <math>R^n</math>.
* Die Zeilenvektoren erzeugen <math>R^n</math>.
* Die Spaltenvektoren bilden eine Basis von <math>R^n</math>.
* Die Spaltenvektoren erzeugen <math>R^n</math>.
* Die durch <math>A</math> beschriebene lineare Abbildung <math>R^n\to R^n</math>, <math>x\mapsto Ax</math>, ist [[surjektiv]] (oder gar [[bijektiv]]).
* Die [[transponierte Matrix]] <math>A^T</math> ist invertierbar.

Bei einer singulären <math>(n\times n)</math>-Matrix <math>A</math> mit Einträgen aus einem kommutativen Ring mit Eins <math>R</math> ist keine der obigen Bedingungen erfüllt.

Der wesentliche Unterschied zum Fall eines Körpers ist hier also, dass im Allgemeinen aus der Injektivität einer linearen Abbildung nicht mehr ihre Surjektivität (und damit ihre Bijektivität) folgt, wie bereits das einfache Beispiel <math>\Z \to \Z</math>, <math>x \mapsto 2x</math> zeigt.

== Weitere Beispiele ==

Die Matrix

: <math>A =
\begin{pmatrix}
3x^3 & x^2 - 1 \\
3x^2 + 3 & x
\end{pmatrix}</math>

mit Einträgen aus dem [[Polynomring]] <math>R = \R[x]</math> hat die [[Determinante]] <math>\det A = 3x^3 \cdot x - (x^2 - 1) \cdot (3x^2 + 3) = 3</math> und <math>3</math> ist invertierbar in <math>R</math>. Somit ist <math>A</math> regulär in <math>R^{2 \times 2}</math>. Die [[inverse Matrix]] ist

: <math>B = \frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
x & 1 - x^2 \\
-3x^2 - 3 & 3x^3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\tfrac{1}{3} \cdot x & \tfrac{1}{3} \cdot (1 - x^2) \\
-x^2 - 1 & x^3
\end{pmatrix}</math>.

Die Matrix

: <math>A =
\begin{pmatrix}
[2]_{17} & [1]_{17} \\{}
[6]_{17} & [4]_{17}
\end{pmatrix}</math>

mit Einträgen aus dem [[Restklassenkörper]] <math>R = \Z/17\Z</math> hat die [[Determinante]] <math>\det A = [2]_{17} \cdot [4]_{17} - [1]_{17} \cdot [6]_{17} = [2]_{17}</math> und <math>[2]_{17}</math> ist invertierbar in <math>R</math>. Somit ist <math>A</math> regulär in <math>R^{2 \times 2}</math>. Die [[inverse Matrix]] ist

: <math>B = \frac{1}{[2]_{17}}
\begin{pmatrix}
[4]_{17} & [-1]_{17} \\{}
[-6]_{17} & [2]_{17}
\end{pmatrix}
= \frac{1}{[2]_{17}}
\begin{pmatrix}
[4]_{17} & [16]_{17} \\{}
[11]_{17} & [2]_{17}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
[2]_{17} & [8]_{17} \\{}
[14]_{17} & [1]_{17}
\end{pmatrix}</math>.

Die Matrix

: <math>A =
\begin{pmatrix}
[3]_{12} & [7]_{12} \\{}
[1]_{12} & [9]_{12}
\end{pmatrix}</math>

mit Einträgen aus dem [[Restklassenring]] <math>\Z/12\Z</math> hat die [[Determinante]] <math>\det A = [3]_{12} \cdot [9]_{12} - [7]_{12} \cdot [1]_{12} = [20]_{12} = [8]_{12}</math>. Da <math>8</math> und <math>12</math> nicht [[teilerfremd]] sind, ist <math>\det A = [8]_{12}</math> in <math>\Z/12\Z</math> nicht invertierbar. Daher ist <math>A</math> nicht regulär.

== Eigenschaften ==

Ist die Matrix <math>A</math> regulär, so ist auch <math>A^{-1}</math> regulär mit der Inversen

: <math>\left( A^{-1} \right)^{-1} = A</math>.

Sind die beiden Matrizen <math>A</math> und <math>B</math> regulär, so ist auch ihr Produkt <math>A \cdot B</math> regulär mit der Inversen

: <math>\left( A \cdot B \right)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}</math>.

Die Menge der regulären Matrizen fester Größe bildet demnach mit der [[Matrizenmultiplikation]] als Verknüpfung eine (im Allgemeinen [[Kommutativgesetz|nichtkommutative]]) [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], die [[allgemeine lineare Gruppe]] <math>\operatorname{GL}(n,R)</math>. In dieser Gruppe ist die Einheitsmatrix das [[Neutrales Element|neutrale Element]] und die inverse Matrix das [[Inverses Element|inverse Element]]. Für eine reguläre Matrix <math>A</math> gelten damit auch die Kürzungsregeln

: <math>A \cdot B = A \cdot C \Rightarrow B = C</math>

und

: <math>B \cdot A = C \cdot A \Rightarrow B = C</math>,

wobei <math>B</math> und <math>C</math> beliebige Matrizen passender Größe sind.

Eine singuläre Matrix besitzt den [[Eigenwert]] null, d. h., es gibt einen vom [[Nullvektor]] verschiedenen Vektor, der von der Matrix auf ersteren abgebildet wird. Alle Vektoren, die von der Matrix auf den Nullvektor abgebildet werden, erzeugen den [[Eigenraum]] zum Eigenwert null. Die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] dieses Eigenraumes ist die [[geometrische Vielfachheit]] des Eigenwerts null, siehe Jänich (2008), S. 197 ff.

== Blockmatrizen ==
Ist eine [[Quadratische Matrix|quadratische]] [[Blockmatrix]] <math>M = \left(\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\right)</math> gegeben, wobei <math>A</math> und das [[Schur-Komplement]] <math>M/A := D - CA^{-1}B</math> von <math>A</math> in <math>M</math> eine reguläre Matrix ist, dann ist auch <math>M</math> eine reguläre Matrix und es gilt

: <math>M = \left(\begin{matrix} I & 0 \\ CA^{-1} & I \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & M/A \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} I & A^{-1}B \\ 0 & I \end{matrix}\right)</math>

Daraus folgt für die inverse Matrix

: <math>\begin{align}
M^{-1} &= \left(\begin{matrix} I & A^{-1}B \\ 0 & I \end{matrix}\right)^{-1} \left(\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & M/A \end{matrix}\right)^{-1} \left(\begin{matrix} I & 0 \\ CA^{-1} & I \end{matrix}\right)^{-1}
\\ &= \left(\begin{matrix} I & -A^{-1}B \\ 0 & I \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & (M/A)^{-1} \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} I & 0 \\ -CA^{-1} & I \end{matrix}\right)
\\ &= \left(\begin{matrix} A^{-1} + A^{-1}B(M/A)^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}B(M/A)^{-1} \\ -(M/A)^{-1}CA^{-1} & (M/A)^{-1} \end{matrix}\right)
\end{align}</math>

Wenn <math>D</math> und das [[Schur-Komplement]] <math>M/D := A - BD^{-1}C</math> von <math>D</math> in <math>M</math> eine reguläre Matrix ist, gilt entsprechend

: <math>M = \left(\begin{matrix} I & BD^{-1} \\ 0 & I \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} M/D & 0 \\ 0 & D \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} I & 0 \\ D^{-1}C & I \end{matrix}\right)</math>

und für die inverse Matrix<ref>Stephen M. Watt, University of Western Ontario: [https://www.csd.uwo.ca/~watt/pub/reprints/2006-synasc-bminv.pdf Pivot-Free Block Matrix Inversion]</ref>

: <math>\begin{align}
M^{-1} &= \left(\begin{matrix} I & 0 \\ D^{-1}C & I \end{matrix}\right)^{-1} \left(\begin{matrix} M/D & 0 \\ 0 & D \end{matrix}\right)^{-1} \left(\begin{matrix} I & BD^{-1} \\ 0 & I \end{matrix}\right)^{-1}
\\ &= \left(\begin{matrix} I & 0 \\ -D^{-1}C & I \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} (M/D)^{-1} & 0 \\ 0 & D^{-1} \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} I & -BD^{-1} \\ 0 & I \end{matrix}\right)
\\ &= \left(\begin{matrix} (M/D)^{-1} & -(M/D)^{-1}BD^{-1} \\ -D^{-1}C(M/D)^{-1} & D^{-1} + D^{-1}C(M/D)^{-1}BD^{-1} \end{matrix}\right)
\end{align}</math>

Mithilfe dieser Formel kann die inverse Matrix einer [[Quadratische Matrix|quadratischen]] (<math>k \times k</math>)-[[Blockmatrix]] <math>A \in R^{n \times n}</math>mit Blöcken der Dimension <math>b \times b</math> effizient berechnet werden. Es ist also <math>n = k \cdot b</math>. Die [[Laufzeit (Informatik)|Laufzeit]] für die Inversion beträgt <math>O(k^2 \cdot b^3 \cdot 4^k)</math>. Im Vergleich dazu beträgt die [[Laufzeit (Informatik)|Laufzeit]] für den [[Gauß-Jordan-Algorithmus]] <math>O(n^3) = O(k^3 \cdot b^3)</math>.<ref>Iria C. S. Cosme, Isaac F. Fernandes, Joao L. de Carvalho, Samuel Xavier-de-Souza: [https://arxiv.org/pdf/1612.00001.pdf Memory-Usage Advantageous Block Recursive Matrix Inverse]</ref>

== Reguläre Matrizen über einem Restklassenkörper ==
Eine Matrix mit Einträgen aus einem [[Restklassenkörper]] <math>\mathbb F_p</math> mit einer [[Primzahl]] <math>p</math> ist genau dann regulär, wenn die Zeilenvektoren [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängig]] sind.

Für den [[Restklassenkörper]] <math>\mathbb F_2</math> kann die Anzahl der regulären <math>n \times n</math>-Matrixen wie folgt berechnet werden:

* Jedes der <math>n</math> Elemente der 1. Zeile kann unabhängig voneinander 2 Werte annehmen. Der [[Nullvektor]] ist ausgeschlossen. Für die 1. Zeile gibt es also <math>2^n - 1</math> Möglichkeiten.
* Für die 2. Zeile sind alle [[Vektor|Vektoren]] ausgeschlossen, die eine [[Linearkombination]] der 1. Zeile sind, also <math>2</math> Vektoren. Für die 2. Zeile gibt es also <math>2^n - 2</math> Möglichkeiten.
* Für die 3. Zeile sind alle Vektoren ausgeschlossen, die eine Linearkombination der 1. Zeile und 2. Zeile sind, also <math>2^2</math> Vektoren. Für die 3. Zeile gibt es also <math>2^n - 2^2</math> Möglichkeiten.
*Allgemein gibt es für die Zeile mit dem Index <math>k</math> also <math>2^n - 2^{k - 1}</math> mögliche Werte. Für alle Zeilen der Matrix ergeben sich daher insgesamt <math>(2^n - 2^0) \cdot (2^n - 2^1) \cdot (2^n - 2^2) \cdot \ldots \cdot (2^n - 2^{n - 1})</math> Möglichkeiten.
Daraus lässt sich der Anteil der regulären <math>n \times n</math>-Matrixen an allen <math>n \times n</math>-Matrixen bestimmen. Es gibt <math>2^{n \cdot n} = 2^{n^2}</math> verschiedene <math>n \times n</math>-Matrixen, weil jedes der <math>n \cdot n = n^2</math> Elemente unabhängig voneinander 2 Werte annehmen kann. Der Anteil der regulären <math>n \times n</math>-Matrixen beträgt daher

: <math>\begin{align}
& (2^n - 2^0) \cdot (2^n - 2^1) \cdot (2^n - 2^2) \cdot \ldots \cdot (2^n - 2^{n - 1}) / 2^{n \cdot n}
\\ &= \frac{2^n - 2^0}{2^n} \cdot \frac{2^n - 2^1}{2^n} \cdot \frac{2^n - 2^2}{2^n} \cdot \ldots \cdot \frac{2^n - 2^{n - 1}}{2^n}
\\ &= \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{2^{n - 1}}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{2^{n - 2}}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 - \frac{1}{2^1}\right)
\\ &= \prod_{k = 1}^n \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^k\right)
\end{align}
</math>

Für <math>n</math> gegen [[Unendlichkeit|unendlich]] [[Konvergenz (Mathematik)|konvergiert]] dieses [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] nach dem [[Pentagonalzahlensatz]] wegen <math>|\tfrac{1}{2}| < 1</math> gegen einen endlichen [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]]. Dieser beträgt etwa 0,289.

Dieses Ergebnis lässt sich für beliebige [[Primzahl|Primzahlen]] <math>p</math> auf den [[Restklassenkörper]] <math>\mathbb F_p</math> verallgemeinern. Es gibt <math>p^{n \cdot n} = p^{n^2}</math> verschiedene <math>n \times n</math>-Matrixen, von denen <math>(p^n - p^0) \cdot (p^n - p^1) \cdot (p^n - p^2) \cdot \ldots \cdot (p^n - p^{n - 1})</math> reguläre <math>n \times n</math>-Matrixen sind. Der Anteil der regulären <math>n \times n</math>-Matrixen beträgt <math>\prod_{k = 1}^n \left(1 - \left(\frac{1}{p}\right)^k\right)</math>.<ref>StackExchange: [https://math.stackexchange.com/questions/2155710/number-of-non-singular-matrices-over-a-finite-field-of-order-2 Number of non singular matrices over a finite field of order 2]</ref>

== Literatur ==
* [[Peter Knabner]], [[Wolf Barth (Mathematiker)|Wolf Barth]]: ''Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen.'' Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-32185-6.
* {{Literatur |Autor=[[Klaus Jänich]] |Titel=Lineare Algebra |Verlag=Springer-Lehrbuch |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2008 |Auflage=11. Aufl. |ISBN=978-3-540-75502-9 |DOI=10.1007/978-3-540-75502-9}}

== Weblinks ==
* {{EoM|Autor=|Titel=Non-singular matrix|Url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Non-singular_matrix}}
* {{MathWorld|id=NonsingularMatrix|title=Nonsingular Matrix}}
* {{PlanetMath|id=invertiblematrix|author=CWoo|title=Invertible matrix}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Regulare Matrix}}
[[Kategorie:Matrix]]

Reguläre Matrix - Versionsgeschichte

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