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2026-03-25T17:15:01Z

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Unter einer '''Regelfunktion''' oder '''sprungstetigen Funktion''' versteht man in der Mathematik eine Funktion, deren einzige [[Unstetigkeitsstelle]]n Sprungstellen sind. Sie spielen eine wichtige Rolle in der [[Integralrechnung|Integrationstheorie]]. Die Bezeichnung „Regelfunktion“ (''fonction réglée'') wurde von der französischen Mathematiker-Schule eingeführt.

== Definition ==
Es sei <math>I</math> ein offenes, halboffenes oder abgeschlossenes [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] mit Anfangspunkt <math>a</math> und Endpunkt <math>b</math>. Eine reell- oder komplexwertige Funktion <math>f \colon I \to \R</math> bzw. <math>f \colon I \to \Complex</math> heißt ''Regelfunktion'', falls sie

* in jedem Punkt <math>x \in {]a,b[}</math> sowohl einen [[Linksseitiger Grenzwert|linksseitigen]] als auch einen [[Rechtsseitiger Grenzwert|rechtsseitigen Grenzwert]] besitzt und
* im Fall <math>a \in I</math> in <math>a</math> einen rechtsseitigen Grenzwert und im Fall <math>b \in I</math> in <math>b</math> einen linksseitigen Grenzwert hat.

Da links- und rechtsseitige Grenzwerte nicht übereinstimmen müssen, kann eine Regelfunktion Sprungstellen aufweisen, das heißt Stellen, bei denen es eine Folge <math>a_n</math> gibt, für die <math>\lim f(a_n)\ne f(\lim a_n)</math> gilt. Regelfunktionen werden daher auch als ''sprungstetige Funktionen'' bezeichnet. Eine Regelfunktion heißt dabei ''stückweise stetig'', falls sie nur endlich viele Stellen besitzt, an denen sie [[Unstetigkeitsstelle|nicht stetig]] ist, und damit nur endlich viele Sprünge aufweist.<ref>Herbert Amann, Joachim Escher: ''Analysis II''. 2. Auflage, Birkhäuser Verlag, Basel, 2006, ISBN 978-3-7643-7756-4, S. 4–5.</ref>

Die Definition kann verallgemeinert werden, indem man anstatt reell- oder komplexwertiger Funktionen [[Banachraum]]-wertige Funktionen betrachtet.<ref>{{Literatur |Titel=Regelfunktion |Autor= |Herausgeber=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Jahr=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref>

== Beispiele ==
[[Datei:Signum function.svg|miniatur|Die [[Vorzeichenfunktion]] ist ein Beispiel für eine Regelfunktion mit einer Sprungstelle.]]
;Regelfunktionen
* Jede [[stetige Funktion]] auf einem Intervall ist eine Regelfunktion ohne Sprungstellen.
* Die [[Heaviside-Funktion]] und die [[Vorzeichenfunktion]] sind auf einem Intervall um den Nullpunkt Regelfunktionen mit einer Sprungstelle an der Stelle <math>0</math>.
* Jede reellwertige [[monotone Funktion]] auf einem Intervall ist eine Regelfunktion.
* Die [[Thomaesche Funktion]] ist eine Regelfunktion mit [[Abzählbare Menge|abzählbar unendlich]] vielen Sprungstellen. Sie ist daher nicht stückweise stetig.
;Keine Regelfunktionen
* Eine Funktion mit einer [[Polstelle]] innerhalb des betrachteten Intervalls ist keine Regelfunktion, denn an dieser Stelle existiert zumindest einer der Grenzwerte nur als [[uneigentlicher Grenzwert]].
* Die Funktion <math>\sin(\tfrac1x)</math> ist in keinem Intervall, das den Nullpunkt enthält, eine Regelfunktion, denn sie besitzt an der Stelle <math>0</math> keinen Grenzwert.
* Die [[Dirichlet-Funktion]] ist keine Regelfunktion, denn bei ihr existiert an keiner Stelle ein links- oder rechtsseitiger Grenzwert.

== Eigenschaften ==

=== Charakterisierung ===

Eine Funktion ist genau dann sprungstetig, wenn sie keine [[Unstetigkeitsstelle|Unstetigkeitsstellen zweiter Art]] hat. Jede Regelfunktion auf einem [[Kompaktes Intervall|kompakten Intervall]] ist [[Beschränkte Funktion|beschränkt]]. Die umgekehrte Richtung muss jedoch nicht wahr sein, wie das Beispiel der Dirichlet-Funktion zeigt.

=== Räume von Regelfunktionen ===

Die Menge der Regelfunktionen auf einem Intervall <math>I</math> bilden einen [[Vektorraum]], der mit <math>\mathcal{R}(I)</math> bezeichnet wird.<ref>[[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 1''. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 193.</ref> Mit der [[Supremumsnorm]]

:<math>\| f \|_\infty = \sup_{x \in I} | f(x) |</math>

ist <math>\mathcal{R}(I)</math> ein Banachraum.<ref>Martin Barner, Friedrich Flohr: ''Analysis I.'' 4. Auflage. de Gruyter, Berlin 1991, Seite 342–343.</ref> Mit dem [[Punktweises Produkt|punktweisen Produkt]] zweier Regelfunktionen handelt es sich dabei sogar um eine [[Banachalgebra]].

=== Approximierbarkeit ===

Jede Regelfunktion auf einem kompakten Intervall kann durch eine Folge von [[Treppenfunktion (reelle Funktion)|Treppenfunktion]]en gleichmäßig approximiert werden. Das heißt, zu jeder Regelfunktion <math>f \colon [a,b] \to \R</math> bzw. <math>f \colon [a,b] \to \Complex</math> existiert eine Folge <math>(h_n)</math> von Treppenfunktionen, so dass
:<math>
\lim_{n \to \infty} \|f - h_n\|_\infty = 0
</math>
gilt, wobei <math>\|{\cdot}\|_\infty</math> die Supremumsnorm ist.
Umgekehrt ist jede Funktion auf einem kompakten Intervall, die gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximiert werden kann, eine Regelfunktion. Deswegen kann diese Eigenschaft alternativ zur Sprungstetigkeit benutzt werden, um Regelfunktionen zu definieren.<ref>Martin Barner, Friedrich Flohr: ''Analysis I.'' 4. Auflage. de Gruyter, Berlin 1991, Seite 340.</ref>

=== Integral von Regelfunktionen ===
Sei <math>f \colon [a,b] \to \R</math> eine Regelfunktion und <math>(h_n)</math> eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] von Treppenfunktionen mit <math>\|f - h_n\|_\infty \to 0</math>, wobei <math>\|{\cdot}\|_{\infty}</math> die Supremumsnorm ist. Dann kann ein [[Integralrechnung|Integral]] durch
:<math>
\int_a^b f(x)\, \mathrm{d} x := \lim_{n \to \infty} \int_a^b h_n(x)\, \mathrm{d} x
</math>
definiert werden. Dieses Integral wird durch das [[Riemann-Integral]] verallgemeinert.

== Literatur ==
* Herbert Amann, Joachim Escher: ''Analysis II.'' Birkhäuser, Basel 1999, S. 4.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]

Regelfunktion - Versionsgeschichte

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