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2026-02-13T02:55:38Z

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[[Datei:Bez-regelfl0.svg|300px|mini|Regelfläche: Definition]]
In der [[Geometrie]] heißt eine [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] '''Regelfläche''', wenn durch jeden Punkt der Fläche mindestens eine Gerade geht, die ganz in der Fläche enthalten ist.

Dies gilt etwa für [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]], [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]], [[Kegel (Geometrie)|Kegel]], [[Einschaliges Hyperboloid|einschalige Hyperboloide]] und [[Hyperbolisches Paraboloid|hyperbolische Paraboloide]]. Bei den beiden letztgenannten gehen durch jeden Punkt sogar ''zwei'' Geraden (es sind doppelt-gekrümmte Flächen). Eine Regelfläche, bei der durch jeden Punkt ''mehr als zwei'' Geraden gehen, kann nur eine Ebene sein.<ref>D. B. Fuks, Serge Tabachnikov: '' There are no non-planar triply ruled surfaces.'' In: ''Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics.'' American Mathematical Society, 2007, ISBN 978-0-8218-4316-1, S. 228.</ref>

Bei Regelflächen mit endlicher Ausdehnung (z. B. Zylindern) und ohne Selbstdurchdringungen (z. B. bei Kegeln und [[Schraubfläche#Regelschraubflächen|Regelschraubflächen]]) sind die Erzeugenden auf Strecken beschränkt.

Im Begriff Regelfläche hat ''Regel'' – wie auch in [[Kippregel]] – die ursprüngliche Bedeutung des lateinischen ''regula'' (Stab, Lineal),<ref>{{Deutsches Wörterbuch |Lemma=Regel |Wortart=f. |Band=14 |Sp=496 |lemid=R02550}}</ref> die heute noch im englischen ''rule'' oder dem französischen ''règle'' enthalten ist.

Regelflächen finden in der Architektur als leicht modellierbare Flächen Anwendung, da sie trotz Krümmung aus geraden Bauteilen zusammengesetzt oder – im Falle von [[Beton]] – mit geraden Brettern [[Schalung (Beton)|eingeschalt]] werden können. Große [[Kühlturm|Kühltürme]] etwa haben oft die Form eines einschaligen Hyperboloids. Beim Bau von [[Lüftungskanal|Lüftungskanälen]] und bei [[Klempner]]arbeiten werden [[Blechabwicklung]]en verwendet, also [[Abwickelbare Fläche|abwickelbare Regelflächen]] wie zum Beispiel Zylinder- und Kegelsegmente, da diese durch einfaches [[Biegen]] geformt werden können, ohne das Material zu dehnen oder zu stauchen (wie bei den aufwändigeren Verfahren der [[Massivumformung]]).
{{Siehe auch|Abwicklung (Darstellende Geometrie)}}

Bei der [[Geometrische Modellierung|geometrischen Modellierung]] werden Regelflächen z. B. zur Erzeugung von [[Coons-Fläche]]n verwendet.

== Definition und Parameterdarstellung ==
[[Datei:Bez-regelfl.svg|300px|mini|Regelfläche erzeugt mit zwei Bezierkurven als Leitkurven (rot, grün)]]
'''Definition'''
* Eine zweidimensionale [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]] heißt Regelfläche, wenn sie die Vereinigung einer einparametrigen [[Geradenschar]] ist. Die Geraden dieser Schar heißen ''die Erzeugenden'' der Regelfläche.

'''Parameterdarstellung'''
Eine Regelfläche lässt sich durch eine Parameterdarstellung der Form
* '''(CR)''' <math>\quad \mathbf x(u,v)= {\color{red}\mathbf c(u)} + v\;{\color{blue}\mathbf r(u)}</math>
beschreiben. Jede Flächenkurve <math>\;\mathbf x(u_0,v)\;</math> mit festem Parameter <math> u=u_0</math> ist eine Erzeugende (Gerade) und die Kurve <math>\; \mathbf c(u) \;</math> ist die ''Leitkurve''. Die Vektoren <math>\; \mathbf r(u)\; </math> beschreiben das ''Richtungsfeld'' der Erzeugenden.

Die durch die Parameterdarstellung * beschriebene Regelfläche, kann man auch mit Hilfe der Kurve <math>\; \mathbf d(u)= \mathbf c(u) + \mathbf r(u)\;</math> als zweite Leitkurve beschreiben:
* '''(CD)''' <math> \quad \mathbf x(u,v)= (1-v)\;{\color{red}\mathbf c(u)} + v\; {\color{green}\mathbf d(u)}\ .</math>
Umgekehrt kann man von zwei sich nicht schneidenden Kurven als Leitkurven ausgehen und erhält damit die Darstellung einer Regelfläche mit dem Richtungsfeld <math>\; \mathbf r(u)= \mathbf d(u) - \mathbf c(u)\ .</math>

Bei der Erzeugung einer Regelfläche mit Hilfe zweier Leitkurven (oder einer Leitkurve und eines Richtungsfeldes) ist nicht nur die geometrische Gestalt dieser Kurven von Bedeutung, sondern die konkrete Parameterdarstellung hat wesentlichen Einfluss auf die Gestalt der Regelfläche. Siehe Beispiele d)

Für theoretische Untersuchungen (s. u.) ist die Darstellung '''(CR)''' vorteilhaft, da der Parameter <math> v </math> nur in einem Term vorkommt.

== Beispiele ==
=== Senkrechter Kreiszylinder ===
[[Datei:Regelfl-zk.svg|mini|Regelflächen: Zylinder, Kegel]]
<math>\ x^2+y^2=a^2\ </math>:
: <math> \mathbf x(u,v)=(a\cos u,a\sin u,v)^T</math>
::: <math>= {\color{red}(a\cos u,a\sin u,0)^T}\; +\; v\;{\color{blue}(0,0,1)^T} </math>
::: <math>= (1-v)\;{\color{red}(a\cos u,a\sin u,0)^T}\; + \; v\;{\color{green}(a\cos u,a\sin u,1)^T} \ .</math> 
Hierbei ist <math>\quad \mathbf c(u) =(a\cos u,a\sin u,0)^T\ , \quad \mathbf r(u)=(0,0,1)^T \ , \quad \mathbf d(u)= (a\cos u,a\sin u,1)^T \ . </math>

=== Senkrechter Kreiskegel ===
<math>\ x^2+y^2=z^2\ </math>:
: <math> \mathbf x(u,v)={\color{red}(\cos u,\sin u,1)^T}\; +\; v\;{\color{blue}(\cos u,\sin u,1)^T} </math>
::: <math>= (1-v)\;{\color{red}(\cos u,\sin u,1)^T}\; + \; v\;{\color{green}(2\cos u,2\sin u,2)^T} .</math> 
Hier ist <math>\quad \mathbf c(u) =(\cos u,\sin u,1)^T\; = \; \mathbf r(u) \ , \quad \mathbf d(u)= (2\cos u,2\sin u,2)^T \ . </math> 
Man hätte auch als Leitkurve <math>\ \mathbf c(u) = (0,0,0)^T\ </math>, also die Spitze des Kegels, und als Richtungsfeld <math> \ \mathbf r(u)=(\cos u,\sin u,1)^T\ </math> wählen können. Bei allen Kegeln kann man als Leitkurve die Spitze wählen.

=== Wendelfläche ===
{{Hauptartikel|Wendelfläche}}
[[Datei:Wendelfl-regelfl.svg|mini|Wendelfläche als Regelfläche]]
: <math>\mathbf x(u,v)=\;(v\cos u,v\sin u, ku)^T\;</math>
::: <math> = \; {\color{red}(0,0,ku)^T} \; +\; v\;{\color{blue}(\cos u, \sin u,0)^T}\ </math>
::: <math> = \; (1-v)\;{\color{red}(0,0,ku)^T} \; + \; v\; {\color{green}(\cos u,\sin u, ku)^T} \ .</math>
Die Leitkurve <math>\ \mathbf c(u) =(0,0,ku)^T\;</math> ist die z-Achse, das Richtungsfeld <math> \; \mathbf r(u) =\ (\cos u, \sin u,0)^T \; </math> und die zweite Leitkurve <math> \ \mathbf d(u)=(\cos u,\sin u, ku)^T \ </math> ist eine [[Schraublinie]].

=== Zylinder, Kegel und Hyperboloide ===
[[Datei:Regelfl-phi-h.svg|mini|Regelfläche: einschaliges Hyperboloid für <math>\varphi=63^\circ</math>]]
Die Parameterdarstellung
: <math>\mathbf x(u,v)= (1-v)\;{\color{red}(\cos (u-\varphi)\;,\;\sin (u-\varphi)\;,\;-1)^T}\; + \; v\;{\color{green}(\cos (u+\varphi)\;,\;\sin(u+\varphi)\;,\;1)^T} </math> 
besitzt zwei horizontale Einheitskreise als Leitkurven. Der zusätzliche Parameter <math>\varphi</math> erlaubt es, die Parameterdarstellungen der Kreise zu variieren. Für
: <math> \varphi=0 \ </math> erhält man den Zylinder <math>x^2+y^2=1</math>, für
: <math> \varphi=\pi/2 \ </math> erhält man den Kegel <math>x^2+y^2=z^2</math> und für
: <math> 0<\varphi<\pi/2 \ </math> erhält man ein einschaliges Hyperboloid mit der Gleichung <math>\ \tfrac{x^2+y^2}{a^2}-\tfrac{z^2}{c^2}=1 \ </math> und den Halbachsen <math> \ a=\cos\varphi\;,\; c=\cot\varphi</math>.

=== Hyperbolisches Paraboloid ===
[[Datei:Hyp-paraboloid-ip.svg|mini|Hyperbolisches Paraboloid]]
Falls die Leitlinien in '''(CD)''' die Geraden
: <math> \mathbf c(u) =(1-u)\mathbf a_1 + u\mathbf a_2, \quad \mathbf d(u)=(1-u)\mathbf b_1 + u\mathbf b_2 </math>
sind, erhält man
: <math>\mathbf x(u,v)=(1-v)\big((1-u)\mathbf a_1 + u\mathbf a_2\big)\ +\ v\big((1-u)\mathbf b_1 + u\mathbf b_2\big)\ </math>.
Dies ist das [[Hyperbolisches Paraboloid|hyperbolische Paraboloid]], das die 4 Punkte <math>\ \mathbf a_1,\;\mathbf a_2,\;\mathbf b_1,\;\mathbf b_2\ </math> bilinear interpoliert.<ref>G. Farin: ''Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design.'' Academic Press, 1990, ISBN 0-12-249051-7, S. 250.</ref>
Für das Beispiel der Zeichnung ist
: <math>\ \mathbf a_1=(0,0,0)^T,\;\mathbf a_2=(1,0,0)^T,\;\mathbf b_1=(0,1,0)^T,\;\mathbf b_2=(1,1,1)^T\ </math>. 
und das hyperbolische Paraboloid hat die Gleichung <math> z=xy</math>.

=== Möbiusband ===
[[Datei:Moebius-str.svg|mini|Möbiusband]]
Die Regelfläche
: <math>\mathbf x(u,v)= \mathbf c(u) + v\;\mathbf r(u) </math>
mit
: <math>\mathbf c(u) =(\cos2u,\sin2u,0)^T\ </math> (die Leitkurve ist ein Kreis),
: <math>\mathbf r(u)=( \cos u \cos 2 u , \cos u \sin 2 u, \sin u )^T \ , \quad 0\le u< \pi\ ,</math>
enthält ein [[Möbiusband]].

Die Zeichnung zeigt das Möbiusband für <math> -0.3\le v \le 0.3 </math>.

Man rechnet leicht nach, dass <math>\det(\mathbf \dot c(0)\;,\;\mathbf \dot r(0)\;, \;\mathbf r(0)) \; \ne \; 0 \ </math> ist (s. nächsten Abschnitt). D. h. diese Realisierung eines Möbiusbandes ist ''nicht abwickelbar''. Es gibt allerdings auch abwickelbare Möbiusbänder.<ref>W. Wunderlich: ''Über ein abwickelbares Möbiusband.'' Monatshefte für Mathematik 66, 1962, S. 276–289.</ref>

=== Weitere Beispiele ===
# Die [[Einhüllende]] einer einparametrigen Ebenenschar
# [[Oloid]]
# [[Catalansche Fläche]]
# [[Konoid]]
# [[Schraubfläche|Regelschraubflächen]]

== Tangentialebenen, abwickelbare Flächen ==
Für die hier notwendigen Ableitungen wird stets vorausgesetzt, dass sie auch existieren.

Um den [[Normalenvektor]] in einem Punkt zu berechnen, benötigt man die partiellen Ableitungen der Darstellung <math>\quad \mathbf x(u,v)= \mathbf c(u) + v\;\mathbf r(u)</math>:
: <math>\mathbf x_u= \mathbf \dot c(u)+ v\;\mathbf \dot r(u)</math>, <math>\quad \mathbf x_v= \;\mathbf r(u)</math>
* <math>\mathbf n= \mathbf x_u \times \mathbf x_v = \mathbf \dot c\times \mathbf r + v( \mathbf \dot r \times \mathbf r)</math>.
Da das Skalarprodukt <math> \mathbf n \cdot \mathbf r = 0</math> ist (Ein [[Spatprodukt]] mit zwei gleichen Vektoren ist immer 0!), ist <math>\mathbf r (u_0) </math> ein Tangentenvektor in jedem Punkt <math> \mathbf x(u_0,v)</math>. Die Tangentialebenen entlang dieser Gerade sind identisch, falls <math> \mathbf \dot r \times \mathbf r </math> ein Vielfaches von <math> \mathbf \dot c\times \mathbf r </math> ist. Dies ist nur möglich, wenn die drei Vektoren <math> \mathbf \dot c\; ,\; \mathbf \dot r\;,\; \mathbf r\ </math> in einer Ebene liegen, d. h. linear abhängig sind. Die lineare Abhängigkeit dreier Vektoren kann man mit Hilfe der Determinante dieser Vektoren feststellen:

* Die Tangentialebenen entlang der Gerade <math> \mathbf x(u_0,v)= \mathbf c(u_0) + v\;\mathbf r(u_0)</math> sind gleich, falls
:: <math>\det(\mathbf \dot c(u_0)\;,\;\mathbf \dot r(u_0)\;, \;\mathbf r(u_0)) \; = \; 0</math>.
: Eine Erzeugende, für die dies gilt heißt ''torsal''.

* Eine Regelfläche <math>\quad \mathbf x(u,v)= \mathbf c(u) + v\;\mathbf r(u)</math> ist genau dann in eine Ebene [[Abwickelbare Fläche|abwickelbar]], wenn für alle Punkte die [[Gauß-Krümmung]] verschwindet. Dies ist genau dann der Fall, wenn
::: <math>\det(\mathbf \dot c\;,\;\mathbf \dot r\;, \;\mathbf r) \; = \; 0 \quad </math>
: in jedem Punkt gilt,<ref>W. Kühnel: ''Differentialgeometrie.'' S. 58–60.</ref> d. h., wenn jede Erzeugende eine Torsale ist. Eine abwickelbare Fläche heißt deswegen auch ''Torse''.

'''Eigenschaften einer abwickelbaren Fläche:'''<ref>G. Farin, S. 380.</ref>

* Die Erzeugenden stellen eine Schar von [[Asymptotenlinie]]n dar. Sie sind auch eine Schar von [[Krümmungslinie (Mathematik)|Krümmungslinien]].
* Eine abwickelbare Fläche ist entweder ein (allgemeiner) Zylinder oder ein (allgemeiner) Kegel oder eine Tangentenfläche (Fläche die aus den Tangenten einer Raumkurve besteht).

== Anwendung und Geschichte abwickelbarer Flächen ==
[[Datei:Torse-ee.svg|350px|mini|Verbindungstorse zweier Ellipsen und ihre Abwicklung]]
Die Determinantenbedingung für abwickelbare Flächen gibt einem eine Möglichkeit, eine Verbindungstorse zwischen zwei gegebenen Leitkurven numerisch zu ermitteln. Das Bild zeigt ein Beispiel einer Anwendung: Verbindungstorse zwischen zwei Ellipsen (eine horizontal, die andere vertikal) und ihre Abwicklung.<ref>[https://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdgen0104.pdf CAD-Skript.] (PDF; 2,9 MB) S. 113.</ref>

Einen Einblick in die Verwendung von abwickelbaren Flächen im [[CAD]]-Bereich findet man in ''Interactive design of developable surfaces''<ref>Tang, Bo, Wallner, Pottmann: [http://www.geometrie.tugraz.at/wallner/abw.pdf ''Interactive design of developable surfaces''] (PDF; 3,3 MB). In: ''ACM Trans. Graph.'' (MONTH 2015), [[doi:10.1145/2832906]]</ref>

Einen ''historischen'' Überblick über abwickelbare Flächen gibt ''Developable Surfaces: Their History and Application''.<ref>Snezana Lawrence: [https://www.researchgate.net/publication/257314770_Developable_Surfaces_Their_History_and_Application ''Developable Surfaces: Their History and Application''.] In: ''Nexus Network Journal.'' 13(3), Oktober 2011, [[doi:10.1007/s00004-011-0087-z]]</ref>

== Striktionslinie oder Kehllinie ==
=== Definition ===
Bei einer ''zylindrischen'' Regelfläche sind alle Erzeugenden parallel, d. h. alle Richtungsvektoren <math>\mathbf r(u)</math> sind parallel und damit
<math>\dot \mathbf r(u)= \mathbf 0\ .</math> Bei zwei parallelen Geraden haben alle Punkte der einen Gerade denselben Abstand zur anderen Gerade.

Bei einer ''nicht''zylindrischen Regelfläche sind benachbarte Erzeugenden [[windschief]] und es existiert ein Punkt auf der einen Gerade, der minimalen Abstand zu der anderen Gerade hat. In diesem Fall ist <math>\dot \mathbf r(u)\ne \mathbf 0\ .</math> Solch einen Punkt nennt man '''Zentralpunkt'''. Die Gesamtheit der Zentralpunkte bilden eine Kurve, die '''Striktionslinie''' oder '''Kehllinie''' oder auch '''Taille'''.<ref>W. Kühnel: ''Differentialgeometrie.'' Vieweg, 2003, ISBN 3-528-17289-4, S. 58.</ref> Letztere Bezeichnung beschreibt sehr anschaulich die Striktionslinie eines einschaligen Rotations-Hyperboloids (s. u.).

* In dem Zentralpunkt einer Erzeugenden nimmt der Betrag der Gausskrümmung ein Maximum an.<ref>M. P. do Carmo: ''Differentialgeometrie von Kurven und Flächen.'' Springer-Verlag, 2013, ISBN 3-322-85072-2, S. 145.</ref>

Eine zylindrische Fläche besitzt keine Zentralpunkte und damit keine Striktionslinie, oder anschaulich: keine Taille. Bei einer (allgemeinen) Kegelfläche entartet die Striktionslinie/Taille zu einem Punkt, die Kegelspitze.

=== Parameterdarstellung ===
In den folgenden Überlegungen wird vorausgesetzt, dass die Regelfläche
: <math>\mathbf x(u,v)= \mathbf c(u) + v\;\mathbf r(u) </math>
nicht zylindrisch und genügend differenzierbar ist, genauer:
:<math>\dot \mathbf r(u)\ne \mathbf 0\quad </math> und der Einfachheit halber <math>\quad |\mathbf r(u)|=1 \ </math> ist.
Die letzte Eigenschaft hat den Vorteil, dass <math>\quad \mathbf r\cdot\dot \mathbf r =0 \quad </math> ist, was Rechnungen stark vereinfacht. Bei konkreten Beispielen ist diese Eigenschaft meist zunächst nicht erfüllt. Was sich aber durch Normierung korrigieren lässt.

; Zwei benachbarte Erzeugenden
:<math>\mathbf x(v_1)= \mathbf c(u) + v_1\;\mathbf r(u) </math>
:<math>\mathbf x(v_2)= \mathbf c(u+\Delta u) + v_2\;\mathbf r(u+\Delta u) </math>
Am Ende der Überlegungen geht dann <math>\Delta u \to 0</math>. Deshalb sind die folgenden linearen Approximationen (man ersetzt die Kurve in der näheren Umgebung durch ihre Tangente) sinnvoll:
:<math> \mathbf c(u+\Delta u)\approx \mathbf c(u)+ \Delta u \;\dot \mathbf c (u)</math>
:<math> \mathbf r(u+\Delta u)\approx \mathbf r(u)+ \Delta u \;\dot \mathbf r (u)</math>.
; Abstandsquadrat
Das Quadrat des Abstandes zweier Punkte der Geraden
:<math>\mathbf l_1(v_1)=\mathbf c +v_1\;\mathbf r </math>
:<math>\mathbf l_2(v_2)=\mathbf c +\Delta u \;\dot \mathbf c +v_2\;(\mathbf r + \Delta u \;\dot \mathbf r )\quad </math> ist
:<math>D(v_1,v_2)=\Big((v_2-v_1)\;\mathbf r +\Delta u(\dot \mathbf c +v_2\;\dot \mathbf r )\Big)^2\ .</math>
; Parameter des Zentralpunktes
Der Abstand wird minimal, wenn die Funktion <math>D(v_1,v_2)</math> minimal wird. Und dies ist der Fall, wenn die 1. [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] Null sind:
:<math>D_{v_1}= -2\Big((v_2-v_1)\;\mathbf r +\Delta u(\dot \mathbf c +v_2\;\dot \mathbf r )\Big)\cdot\mathbf r </math>
::<math>\ =-2{\color{magenta}(v_2-v_1+\Delta u\; \dot \mathbf c\cdot \mathbf r)}=0 \ ,</math>
:<math>D_{v_2}= 2\Big((v_2-v_1)\;\mathbf r +\Delta u(\dot \mathbf c +v_2\;\dot \mathbf r )\Big)\cdot(\mathbf r +\Delta u\;\dot \mathbf r )</math>
::<math>\ =2\Big({\color{magenta}v_2-v_1+\Delta u\; \dot \mathbf c\cdot \mathbf r} + {\Delta u}^2(\dot \mathbf c\cdot \dot \mathbf r+v_2\dot\mathbf r^2)\Big)=0\ .</math>
Aus diesem Gleichungssystem für <math>v_1,v_2</math> folgt für <math>\Delta u \to 0\ </math>:
* <math> \quad v_1=v_2=-\frac{\dot \mathbf c\cdot \dot \mathbf r}{\dot\mathbf r^2}\ . </math>
; Parameterdarstellung
Die Parameterdarstellung der Striktionslinie ist also
*:<math>\mathbf x(u)=\mathbf c(u) -\frac{\dot \mathbf c(u)\cdot \dot \mathbf r(u)}{\dot\mathbf r^2(u)}\;\mathbf r(u) \ .</math>

; Doppelte Regelflächen
Sowohl auf dem einschaligen Hyperboloid als auch auf dem hyperbolischen Paraboloid liegen ''zwei'' Scharen von Geraden. Zu jeder Schar gehört eine Striktionslinie. Beim einschaligen Rotations-Hyperbolod fallen die zwei Striktionslinien zusammen.

=== Beispiele ===

; 1) Einschaliges Rotations-[[Hyperboloid]]
:<math> \mathbf x(u,v)=\begin{pmatrix} \cos u\\ \sin u\\ 0\end{pmatrix}
+ v\cdot \begin{pmatrix} -\sin u\\ \cos u\\ k\end{pmatrix}\ ,\ </math>
Die Zentralpunkte haben alle den Parameter <math>v=0</math>, d. h. die Striktionslinie ist der Einheitskreis in der x-y-Ebene.
[[Datei:Regelfl-striktionslinie.svg|mini|hochkant=2|Striktionslinien (rot) von einschaligem Rotations-Hyperboloid, hyperbolischem Paraboloid und Wendelfläche]]
; 2) Gerades [[Konoid]]
Bei einem geraden Konoid ist die Achse das gemeinsame Lot aller Erzeugenden.
(Es gilt allgemein: Ein Punktepaar zweier windschiefer Geraden hat den kürzesten Abstand, wenn seine Verbindung das gemeinsame Lot der Geraden ist.) Also gilt für gerade Konoide
: Die Achse eines geraden Konoids ist auch seine Striktionslinie.

Beispiele von geraden Konoiden sind das hyperbolische [[Paraboloid]] <math> z=xy</math> und die [[Wendelfläche]].
[[Datei:Schraub-torse-def.svg|mini|hochkant=1.2|Schraubtorse, lila: Leitkurve und Striktionslinie]]
; 3) Torse
Jede vom allgemeinen Zylinder und Kegel verschiedene abwickelbare Regelfläche (Torse) ist eine Tangentenfläche, d. h. die Gesamtheit der Erzeugenden der Regelfläche besteht aus der Schar der Tangenten einer vorgegebenen Kurve <math> \gamma</math>. (Im Bild ist die Kurve eine Schraublinie. Dadurch entsteht eine [[Schraubfläche#Über die Schraubtorse|Schraubtorse]].) Allgemein gilt
: Die Striktionslinie einer durch eine Kurve <math> \gamma</math> erzeugte Tangentenfläche ist die Kurve <math>\gamma</math> selbst.<ref>[[Wolfgang Haack (Mathematiker)|W. Haack]]: ''Elementare Differentialgeometrie'', Springer-Verlag, 2013, ISBN 3-0348-6950-9, S. 32.</ref>

; 4) [[Möbiusband]]
[[Datei:Moebiusb-striktionsl.svg|mini|hochkant=1.6|Striktionslinie (rot) eines Moebiusbandes]]
Für die oben angegebene Beschreibung eines Möbiusbandes ist
: <math>\mathbf c(u) =(\cos2u,\sin2u,0)^T\ </math> ,
: <math>\mathbf r(u)=( \cos u \cos 2 u , \cos u \sin 2 u, \sin u )^T \ .</math>
(Zum Bild: Damit die Striktionslinie völlig auf der dargestellten Fläche liegt, wurde das Band verbreitert.)
Der Richtungsvektor <math>\mathbf r</math> ist in diesem Fall schon ein [[Einheitsvektor]], was die Rechnung wesentlich vereinfacht.

Für den Parameter des jeweiligen Zentralpunktes ergibt sich
<math>v=\frac{4\cos u}{1+4\cos^2u} </math> und schließlich die Parameterdarstellung der Striktionslinie
: <math>\mathbf x(u)
= \frac{1}{1+4\cos^2u}\;\big(\cos (2u), \sin(2u),-2\sin(2u)\big )\ .</math>
Man erkennt leicht, dass diese Kurve in der Ebene <math>2y+z=0</math> liegt.
Um zu zeigen, dass diese ebene Kurve sogar
: eine Ellipse mit Mittelpunkt <math>(-\tfrac 2 5, 0,0) </math> und den Halbachsen <math>a=1, b=\tfrac 3 5 </math> ist,
zeigt man, dass die x- und y-Koordinaten die Gleichung <math>\ \tfrac{(x+ \tfrac 2 5 )^2}{(\tfrac 3 5)^2} +\tfrac{y^2}{\tfrac 1 5}=1\ </math> erfüllen. Also ist der Grundriss der Striktionslinie eine Ellipse und damit die Striktionslinie als Parallelprojektion auch.

Die Striktionslinie lässt sich einfacher durch die Parameterdarstellung
:<math>\mathbf x(t)=\mathbf f_0+\mathbf f_1 \cos t+ \mathbf f_2\sin t\ </math> mit
:<math>\mathbf f_0=(-\tfrac 2 5,0,0)^T, \ \mathbf f_1=(\tfrac 3 5,0,0)^T,\ \mathbf f_2=(0,-\tfrac 1 \sqrt 5,\tfrac 2 \sqrt 5)^T </math>
beschreiben (s. [[Ellipse#Ellipse als affines Bild des Einheitskreises|Ellipse]]).

== Zusammensetzung von Regelflächen ==
Man kann je zwei abwickelbare Regelflächen längs einer Geraden <math>g</math> bzw. <math>h</math> abschneiden und sie so zusammensetzen, dass aus <math>g</math> und <math>h</math> eine gemeinsame Gerade der zusammengesetzten Fläche mit einer neuen gemeinsamen Tangentialebene von dieser wird.

Bei einer nicht abwickelbaren und einer abwickelbaren Regelfläche ist die so zusammengesetzte Fläche längs der gemeinsamen Erzeugenden nicht [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]]. Die gemeinsame Erzeugende ist als Kante sichtbar, wobei die Kante an verschiedenen Punkten der Erzeugenden verschieden deutlich hervortritt. Bei zwei nicht abwickelbaren Regelflächen kann die so zusammengesetzte Fläche längs der gemeinsamen Erzeugenden differenzierbar sein, ist es im Allgemeinen aber nicht.

== Außermathematische Anwendung ==
Regelflächen können nicht nur in der Mathematik, sondern auch außerhalb davon in Konstruktionen und Ingenieursarbeit verwendet werden. Ein gutes Beispiel hierfür ist die Arbeit des Architekten/Mathematikers [[Antoni Gaudí]]. Das Gewölbe der [[Sagrada Família|La Sagrada Família]] beschreibt hierbei mehrere Hyperboloide, [[Hyperbolische Paraboloidschale|hyperbolische Paraboloide]] und [[Helikoid]]e.<ref>[http://www.sueddeutsche.de/wissen/architektur-gauds-geheimnis-1.705840-2 über ''Gaudis Geheimnis''.] Süddeutsche Zeitung</ref><ref>[http://scienceblogs.de/mathlog/2008/10/16/die-mathematik-der-heiligen-familie/ über Regelflächen in der „Sagrada Familia“.] Scienceblogs</ref>

== Literatur ==
* Manfredo P. do Carmo: ''Differentialgeometrie von Kurven und Flächen''. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-85494-0, S. 142,147.
* G. Farin: ''Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design''. Academic Press, 1990, ISBN 0-12-249051-7.
* D. Hilbert, S. Cohn-Vossen: ''Anschauliche Geometrie''. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-662-36685-1, S. 181.
* W. Kühnel: ''Differentialgeometrie''. Vieweg, 2003, ISBN 3-528-17289-4.
* H. Schmidbauer: ''Abwickelbare Flächen: Eine Konstruktionslehre für Praktiker''. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-47353-1.

== Weblinks ==
* [http://www.oemg.ac.at/Mathe-Brief/fba2014/FBA_Anna_Niggas_OEMG.pdf A. Niggas: ''Regelflächen –theoretisch, exemplarisch, visuell'']

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Regelflache}}
[[Kategorie:Elementare Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Fläche (Mathematik)]]
[[Kategorie:Algebraische Varietät]]
[[Kategorie:Untermannigfaltigkeit]]

Regelfläche - Versionsgeschichte

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