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'''Reflexivität''' ist ein Begriff aus der [[Funktionalanalysis]] und der [[Algebra]].
Ein Raum ist reflexiv, wenn die natürliche Einbettung in seinen [[Bidualraum]] ein [[Isomorphismus]] ist, wie unten erläutert wird.
Damit kann ein reflexiver Raum mit dem [[Dualraum]] seines Dualraums identifiziert werden.

== Reflexive Räume ==
In der Funktionalanalysis ist Reflexivität eine Eigenschaft von [[Normierter Raum|normierten Vektorräumen]].

=== Definition ===
Es sei <math>(X,\|\cdot\|_X)</math> ein normierter Raum (über <math>\R</math> oder <math>\Complex</math>). Man kann zeigen, dass sein [[Topologischer Dualraum|(topologischer) Dualraum]] <math>X'</math> ein [[Banachraum]] ist. Dessen Dualraum <math>\left(X'\right)'</math> wird mit <math>X''</math> bezeichnet und heißt [[Bidualraum]] von <math>X</math>.

Durch die Abbildungsvorschrift
:<math>X \to X'', x \mapsto [x' \mapsto x'(x)]</math>

wird eine [[Stetige Funktion|stetige]] [[Lineare Abbildung|lineare]] [[Isometrie]] <math>J_X \colon X \to X''</math> definiert, die kanonische [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]]. Die definierende Gleichung von <math>J_X</math> liest sich also in Bilinearformschreibweise so:
:<math> \langle J_X x, x' \rangle_{X'} = \langle x', x\rangle_X \quad \forall x' \in X'. </math>

Als Isometrie ist <math>J_X</math> [[Injektivität|injektiv]]. Falls <math>J_X</math> zusätzlich [[surjektiv]] ist, also insgesamt ein isometrischer [[Isomorphismus]] zwischen <math>X</math> und <math>X''</math>, so nennt man <math>X</math> einen reflexiven Raum.

=== Beispiele ===
* Jeder endlichdimensionale Banachraum ist reflexiv.
* Nach dem [[Darstellungssatz von Fréchet-Riesz]] ist jeder [[Hilbertraum]] reflexiv.
* [[Abgeschlossene Menge|Abgeschlossene]] [[Untervektorraum|Unterräume]] reflexiver Räume sind reflexiv.
* Für alle <math>1<p<\infty</math> und alle <math>k\in \mathbb{N}</math> sind die [[Lp-Raum|Lebesgue-Räume]] <math>L^p\left(\Omega\right) </math> sowie alle [[Sobolev-Raum|Sobolev-Räume]] <math>W^{k,p}\left(\Omega\right)</math> für alle offenen Teilmengen <math>\Omega\subset \mathbb{R}^n</math> reflexiv.
* Für alle <math>1<p<\infty</math> sind die [[Folgenraum|Folgenräume]] <math>\ell^p(\mathbb{K})</math> mit <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}</math> reflexiv.
* Die Banachräume <math>\ell^1(\mathbb{K}),\ell^\infty(\mathbb{K}), L^1(\Omega), L^\infty(\Omega), BC^k(\Omega) </math> sind nicht reflexiv.
* 1951 hat [[Robert C. James]] den nach ihm benannten [[James-Raum]] konstruiert. Dieser ist nicht reflexiv, aber isometrisch isomorph zu seinem Bidualraum, das heißt die kanonische Einbettung des Raumes in seinen Bidual ist nicht surjektiv, aber dennoch gibt es einen anderen isometrischen Isomorphismus des Raumes auf seinen Bidual.
* Alle [[UMD-Raum|UMD-Räume]] sind reflexiv.

=== Reflexivitätskriterien ===
Ein Banachraum ist genau dann reflexiv, wenn
* (Satz von Kakutani) die Einheitskugel kompakt in der schwachen Topologie ist.
* ([[Satz von Eberlein–Šmulian]]) jede beschränkte Folge eine schwach konvergente [[Teilfolge]] besitzt.
* ([[Satz von James]]) jedes stetige lineare Funktional seine [[Norm (Mathematik)|Norm]] auf der Einheitskugel annimmt.
* (Šmulian, 1939) jede absteigende Folge nicht-leerer, beschränkter, abgeschlossener und [[Konvexe Menge|konvexer Mengen]] einen nicht-leeren Durchschnitt hat.

Die letzte Charakterisierung ist bemerkenswert, da sie ausschließlich den Banachraum selbst verwendet, also insbesondere keinen Bezug auf den Bidualraum (siehe Definition) oder den Dualraum (Verwendung der schwachen Topologie oder Satz von James) nimmt.

=== Eigenschaften reflexiver Räume ===
Jeder reflexive [[Normierter Raum|normierte Raum]] ist ein Banachraum, denn er ist nach Definition isomorph zum vollständigen Bidualraum. In reflexiven Banachräumen ist die abgeschlossene Einheitskugel (allgemeiner jede beschränkte und schwach abgeschlossene [[Teilmenge]]) schwach kompakt, d. h. [[Kompakter Raum|kompakt]] bzgl. der [[Schwache Topologie|schwachen Topologie]] (dies folgt direkt aus dem [[Satz von Banach-Alaoğlu]] über die [[Schwach-*-Topologie|schwach*-Kompaktheit]] der Einheitskugel des Bidualraum eines reflexiven Banachraums).

Diese Eigenschaft charakterisiert die reflexiven Räume: Ein Banachraum ist genau dann reflexiv, wenn seine Einheitskugel schwach kompakt ist.

Insbesondere hat jedes beschränkte [[Netz (Topologie)|Netz]] in einem reflexiven Raum ein schwach konvergentes Teilnetz.
Mit dem [[Satz von Eberlein–Šmulian]] folgt, dass jede beschränkte ''Folge'' in einem reflexiven Banachraum eine schwach konvergente ''Teilfolge'' besitzt.
Weiter gelten folgende Permanenzaussagen:
* <math>X</math> ist genau dann reflexiv, wenn <math>X'</math> reflexiv und <math>X</math> vollständig ist.
* Ist <math>X</math> reflexiv und <math>Y\subset X</math> ein abgeschlossener Unterraum, so sind <math>Y</math> und <math>X/Y</math> reflexiv.

=== Anwendungen ===
Zusammen mit den [[Sobolew-Raum|sobolevschen Einbettungssätzen]] liefert die Existenz von schwach konvergenten Teilfolgen beschränkter Folgen häufig Lösungen von Variationsproblemen und damit [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]].

=== Reflexive lokalkonvexe Räume ===
Versieht man den Dualraum eines [[lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen Raums]] X mit der [[Dualraum#Starker Dualraum eines lokalkonvexen Raums|starken Topologie]], so erhält man eine injektive, stetige, lineare Abbildung <math>J_X\colon X\rightarrow X'',\,J_X(x)(x') := x'(x)</math>.
<math>X</math> heißt reflexiv, wenn <math>J_X</math> ein [[Homöomorphismus|topologischer Isomorphismus]] ist und ''halbreflexiv'', wenn <math>J_X</math> surjektiv ist.
Im Gegensatz zum Fall normierter Räume ist <math>J_X</math> im halbreflexiven Fall nicht automatisch ein topologischer Isomorphismus. Es gelten folgende Sätze:
* Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann halbreflexiv, wenn jede [[schwache Topologie|schwach]] [[abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] [[Beschränktheit#Beschränkte Mengen in topologischen Vektorräumen|beschränkte]] Menge [[schwache Topologie|schwach]] [[Kompakter Raum|kompakt]] ist.
* Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann reflexiv, wenn er halbreflexiv und [[tonnelierter Raum|quasitonneliert]] ist.

== Reflexive Moduln ==
Ist <math>M</math> ein [[Modul (Mathematik)|Modul]] über einem [[Kommutativer Ring|kommutativen Ring]] <math>A</math> mit Einselement, so wird der <math>A</math>-Modul <math>M^*=\operatorname{Hom}_A(M,A)</math> der ''duale Modul'' von <math>M</math> genannt; der Modul <math>M^{**}=\left(M^*\right)^*</math> heißt ''Bidualmodul''. Es gibt eine kanonische Abbildung
: <math>M\to M^{**},\quad m\mapsto(\lambda\mapsto\lambda(m))</math>
die im Allgemeinen weder injektiv noch surjektiv ist. Ist sie ein Isomorphismus, so heißt <math>M</math> reflexiv.

== Literatur ==
* R. Meise, D. Vogt: ''Einführung in die Funktionalanalysis'', Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8
* Robert E. Megginson: ''An Introduction to Banach Space Theory'', Springer New York (1998), ISBN 0-387-98431-3, Kapitel 1.13: ''Characterizations of Reflexivity''

[[Kategorie:Normierter Raum]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Algebra]]

Reflexiver Raum - Versionsgeschichte

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