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2026-03-30T23:22:41Z

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[[Bild:Reflexivität_Graph.png|thumb|Drei reflexive Relationen, als [[gerichteter Graph|gerichtete Graphen]] dargestellt]]
Die '''Reflexivität''' einer zweistelligen [[Relation (Mathematik)|Relation]] <math>R</math> auf einer [[Menge (Mathematik)|Menge]] ist gegeben, wenn <math>x R x</math> für alle Elemente <math>x</math> der Menge gilt, also jedes Element in Relation zu sich selbst steht. Man nennt <math>R</math> dann '''reflexiv'''.

Eine Relation heißt '''irreflexiv''', wenn die Beziehung <math>x R x</math> für ''kein'' Element <math>x</math> der Menge gilt, also kein Element in Relation zu sich selbst steht. Es gibt auch Relationen, die weder ''reflexiv'' noch ''irreflexiv'' sind, wenn die Beziehung <math>x R x</math> für ''einige'' Elemente <math>x</math> der Menge gilt, doch nicht für alle.

Die Reflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine [[Äquivalenzrelation]] oder eine [[Ordnungsrelation]]; die Irreflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine [[strenge Halbordnung|strikte Ordnungsrelation]].

==Formale Definition==
Ist <math>M</math> eine Menge und <math>R \subseteq M \times M</math> eine zweistellige Relation auf <math>M</math>, dann definiert man (unter Verwendung der [[Infixnotation]])<ref>{{nLab|reflexive+relation|2=reflexive relation}}</ref>:
:<math>R</math> ist ''reflexiv'' :<math>\Longleftrightarrow \forall x \in M: xRx</math>
:<math>R</math> ist ''irreflexiv'' :<math>\Longleftrightarrow \forall x \in M: \neg \ xRx</math>

== Beispiele ==
===Reflexiv===
* Die [[Vergleich (Zahlen)|Kleiner-Gleich-Relation]] <math>\le</math> auf den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] ist reflexiv, da stets <math>x \le x</math> gilt. Sie ist darüber hinaus eine [[Totalordnung]]. Gleiches gilt für die Relation <math>\ge</math>.

* Die gewöhnliche Gleichheit <math>=</math> auf den reellen Zahlen ist reflexiv, da stets <math>x=x</math> gilt. Sie ist darüber hinaus eine [[Äquivalenzrelation]].

*Die [[Teilmenge]]nbeziehung <math>\subseteq</math> zwischen [[Menge (Mathematik)|Menge]]n ist reflexiv, da stets <math>A\subseteq A</math> gilt. Sie ist darüber hinaus eine [[Halbordnung]].

===Irreflexiv===
* Die Kleiner-Relation <math><</math> auf den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] ist irreflexiv, da nie <math>x<x</math> gilt. Sie ist darüber hinaus eine [[strenge Totalordnung]]. Gleiches gilt für die Relation <math>></math>.

* Die Ungleichheit <math>\ne</math> auf den reellen Zahlen ist irreflexiv, da nie <math>x\ne x</math> gilt.

*Die [[echte Teilmenge]]nbeziehung <math>\subset</math> zwischen [[Menge (Mathematik)|Menge]]n ist irreflexiv, da nie <math>A\subset A</math> gilt. Sie ist darüber hinaus eine [[strenge Halbordnung]].

===Weder reflexiv noch irreflexiv===
Die folgende Relation auf der Menge der reellen Zahlen ist weder reflexiv noch irreflexiv:
:<math>xRy :\Longleftrightarrow y = x^2</math>
Grund: Für <math>x:=1</math> gilt <math>xRx</math>, für <math>x:=2</math> gilt <math>\neg xRx</math>.

==Darstellung als gerichteter Graph==
Jede beliebige Relation <math>R</math> auf einer Menge <math>M</math> kann als [[gerichteter Graph]] aufgefasst werden (siehe Beispiel im Bild oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von <math>M</math>. Vom Knoten <math>a</math> zum Knoten <math>b</math> wird genau dann eine [[gerichtete Kante]] (ein Pfeil <math>a \longrightarrow b</math>) gezogen, wenn <math>a R b</math> gilt.

Die Reflexivität von <math>R</math> lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Für jeden Knoten <math>a</math> gibt es eine [[Schleife (Graphentheorie)|Schleife]] <math>\stackrel{a}\circlearrowright</math>. Entsprechend ist die Irreflexivität dadurch gegeben, dass es für ''keinen'' Knoten <math>a</math> eine Schleife <math>\stackrel{a}\circlearrowright</math> gibt.

== Eigenschaften==
* Mit Hilfe der identischen Relation <math>Id_M</math> (die aus allen Paaren <math>(x, x)</math> besteht) kann man die Begriffe auch so charakterisieren:
*:<math>R</math> ist ''reflexiv'' <math>\Longleftrightarrow Id_M \subseteq R</math>
*:<math>R</math> ist ''irreflexiv'' <math>\Longleftrightarrow Id_M \cap R = \varnothing</math>

*Ist die Relation <math>R</math> reflexiv bzw. irreflexiv, dann gilt dies auch für die konverse Relation <math>R^{-1}</math>. Beispiele: die zu <math>\le</math> konverse Relation ist <math>\ge</math>, die zu <math><</math> konverse ist <math>></math>.

*Ist die Relation <math>R</math> reflexiv, dann ist die [[Komplement (Mengenlehre)|komplementäre]] Relation <math>R^{\rm c}</math> irreflexiv. Ist <math>R</math> irreflexiv, dann ist <math>R^{\rm c}</math> reflexiv. Dabei ist die komplementäre Relation definiert durch
*:<math>x R^{\rm c} y :\Longleftrightarrow \neg x R y</math>.

* Die Relation auf der [[Leere Menge|leeren Menge]] ist als einzige Relation sowohl reflexiv als auch irreflexiv.

==Siehe auch==
* [[Reflexive Hülle]]
* [[Reflexiv-transitive Hülle]]

==Einzelnachweise==
<references/>
[[Kategorie:Mengenlehre]]

Reflexive Relation - Versionsgeschichte

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