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2025-01-02T10:59:26Z

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Der Begriff '''Reflexionsfaktor''' (auch '''Reflexionskoeffizient''') ist in der [[Physik]] das Amplitudenverhältnis zwischen [[Reflexion (Physik)|reflektierter]] und einfallender [[Welle]] beim Übergang in ein anderes Ausbreitungsmedium.

Die [[Amplitude]] bezieht sich dabei auf die skalare oder vektorielle [[Feldgröße]], beispielsweise die elektrische Spannung auf einer [[Leitungstheorie|Leitung]], den [[Druck (Physik)|Druck]] beim Schall oder die [[elektrische Feldstärke]] bei [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetischen Wellen]]. Der Reflexionsfaktor ist im Allgemeinen eine [[Komplexe Zahl|komplexe Größe]]. Sein [[Vektor#Länge/Betrag eines Vektors|Betrag]] gibt an, um welchen Anteil die reflektierte Welle schwächer ist als die einfallende und sein [[Komplexes Argument|Argument]], welche [[Phase (Schwingung)|Phase]] die reflektierte Welle bezüglich der einfallenden Welle besitzt. Der Reflexionsfaktor ist abhängig vom Einfallswinkel. Fällt eine Welle auf ein [[Brechungsindex|optisch bzw. akustisch dünneres]] Medium, so tritt für flache Einfallswinkel [[Totalreflexion]] auf und der Reflexionsfaktor ist 1. Neben der Winkelabhängigkeit hängt der Reflexionsfaktor vom Wellentyp ab: Somit ist er für [[Longitudinalwelle]]n und [[Transversalwelle]]n in der [[Akustik]] unterschiedlich und in der [[Optik]] abhängig von der [[Polarisation]] der Welle. Letzteres wird durch die [[Fresnelsche Gleichungen]] beschrieben.

Das Amplitudenverhältnis aus transmittierter und einfallender Welle heißt [[Transmissionskoeffizient|Transmissionsfaktor]]. Um die Energieübertragung der einzelnen Wellen (einfallende, reflektierte, transmittierte) zu berechnen, muss der [[Reflexionsgrad]] betrachtet werden, der sich auf die Leistung oder [[Intensität (Physik)|Intensität]] der Welle bezieht. Dieser wird oft für ein ganzes Bauteil statt für einen einzelnen Übergang angegeben und kann durch [[Interferenz (Physik)|Interferenz]] stark von der Wellenlänge abhängen.

== Reflexionsfaktor in der Leitungstheorie ==
Bei der Ausbreitung einer beliebig geformten [[Leitungstheorie|elektromagnetischen Welle entlang einer (linearen, homogenen) Leitung]] erfolgt eine Reflexion, wenn sich die [[Wellenimpedanz]] der Leitung an einer Stoßstelle ändert oder wenn eine Störstelle (z. B. ein Querwiderstand) auf der Leitung vorhanden ist. Bei linearem Verhalten der Stoß- bzw. Störstelle beschreibt ein dimensionsloser Reflexionsfaktor, wie die reflektierte Spannungs- und Stromwelle aus der ankommenden Welle erzeugt wird. Der Reflexionsfaktor wird in der Literatur oft durch die Symbole <math>\Gamma</math> oder <math>r</math> dargestellt. Dagegen beschreibt der Transmissionsfaktor (Transmissionskoeffizient, Übergangs- oder Brechungsfaktor) <math>T</math> den Anteil der transmittierten (durchgelassenen) Welle (sofern die Leitung nicht endet). Beide Faktoren sind im Allgemeinen von der Richtung abhängig, in welcher eine Stoßstelle von der Welle durchlaufen wird.

=== Reeller Reflexionsfaktor ===
Stoßen zwei Leitungen mit reellem Wellenwiderstand (d. h. [[Heaviside-Bedingung|verzerrungsfreie]] oder verlustlose Leitungen) aufeinander oder endet eine solche und ist mit einem ohmschen Widerstand abgeschlossen, dann berechnet sich der Reflexionsfaktor als Verhältnis von reflektierter Spannung <math>U_\mathrm{r}</math> zu hinlaufender Spannung <math>U_\mathrm{h}</math> nach folgender Gleichung:<ref>Klaus Ruppert: ''Interaktives Lehrbeispiel in JAVA zum Verhalten elektrischer Leitungen.'' [[Diplomica Verlag]], Hamburg 1998 (Diplomarbeit, Fachhochschule Gießen-Friedberg, 1998, {{Webarchiv |url=http://www.fh-friedberg.de/fachbereiche/e2/telekom-labor/zinke/leitung/diplom/dipl98-10.5.html |wayback=20070928003902 |text=Kapitel 10.5 Der Reflexionsfaktor}}).</ref>
: <math>\Gamma = \frac{U_\mathrm{r}}{U_\mathrm{h}} = -\frac{I_\mathrm{r}}{I_\mathrm{h}} = \frac{Z_\mathrm{w2}-Z_\mathrm{w1}}{Z_\mathrm{w2}+Z_\mathrm{w1}}, \quad |\Gamma| \le 1</math>
Dabei ist <math>Z_\mathrm{w1}</math> die Wellenimpedanz vor der Sprungstelle sowie <math>Z_\mathrm{w2}</math> die Wellenimpedanz nach der Sprungstelle oder die Größe eines ohmschen Abschlusswiderstandes an der Leitung. Es ergeben sich folgende Grenzfälle:

{| class="wikitable float-left" style="text-align:center"
|-
! <math>Z_\mathrm{w2}</math> !! Reflexions-<br>faktor <math>\Gamma</math> !! Bedeutung
|-
| 0 || −1 || align="left" | Totalreflexion mit Phaseninvertierung<br>am kurzgeschlossenen Ende einer Leitung
|- style="color:#999999; font-size:71%; line-height:120%"
| <math>\tfrac{1}{2}Z_\mathrm{w1}</math> || −1/3 || align="left" | 11 % der Energie werden reflektiert
|- style="color:#999999; font-size:71%; line-height:120%"
| <math>\tfrac{4}{5}Z_\mathrm{w1}</math> || −1/9 || align="left" | 1,2 % der Energie werden reflektiert
|-
| <math>Z_\mathrm{w1}</math> || 0 || align="left" | keine Reflexion, ideale Anpassung
|- style="color:#999999; font-size:71%; line-height:120%"
| <math>\tfrac{5}{4}Z_\mathrm{w1}</math> || +1/9 || align="left" | 1,2 % der Energie werden reflektiert
|- style="color:#999999; font-size:71%; line-height:120%"
| <math>\,2\, Z_\mathrm{w1}</math> || +1/3 || align="left" | 11 % der Energie werden reflektiert
|-
| <math>\infty</math> || +1 || align="left" | Totalreflexion ohne Phaseninvertierung<br>am offenen Ende einer Leitung
|}
{{Absatz}}

Der Transmissionsfaktor <math>T</math> kann direkt aus dem Reflexionsfaktor berechnet werden:
: <math>T=\frac{2 \cdot Z_\mathrm{w2}}{Z_\mathrm{w2}+Z_\mathrm{w1}} = 1+\Gamma </math>

=== Komplexer Reflexionsfaktor ===
Wird eine Leitung mit sinusförmiger Spannung betrieben, dann wird sie mit Hilfe der [[Komplexe Wechselstromrechnung|komplexen Wechselstromrechnung]] analysiert.<ref>{{Literatur |Autor=Heinrich Schröder |Titel=Elektrische Nachrichtentechnik, I. Band |Verlag=Verlag für Radio-Foto-Kinotechnik |Ort=Berlin-Borsigwalde |Datum=1966}}</ref> Der Reflexionsfaktor wird in diesem Fall als Verhältnis der [[Phasor|komplexen Amplituden]] von reflektierter und ankommender Spannungswelle definiert und berechnet sich aus den jetzt im Allgemeinen komplexen Wellen- oder Abschlusswiderständen nach der gleichen Formel wie der reelle Reflexionsfaktor. Allerdings ist er in diesem Fall selbst ein [[Komplexe Zahl|komplexer]] von der Frequenz abhängiger Phasor, der bei reellem Wellenwiderstand [[Komplexe Zahl#Als normierter, metrischer und topologischer Raum|betragsmäßig]] nie größer als 1 wird. Sein [[Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Argument]] bestimmt den [[Phasensprung]] der reflektierten Welle an der Stoßstelle. Falls er nicht 0 ist, entstehen durch die [[Interferenz (Physik)|Interferenz]] von hin- und rücklaufender Welle die sogenannten [[Stehende Welle|stehenden Wellen]]. Beim Abschluss einer Leitung mit einem reinen [[Blindwiderstand]] ist der Betrag des Reflexionsfaktors ebenfalls gleich 1 und es entsteht auch in diesem Fall [[Totalreflexion]]. Um seine Frequenzabhängigkeit „zu präsentieren“, kann der Reflexionsfaktor als [[Ortskurve (Systemtheorie)|Ortskurve]] dargestellt werden.

Wird beispielsweise eine Leitung mit dem reellen Wellenwiderstand <math>Z</math> mit einer Kapazität <math>C</math> abgeschlossen, dann erhält man für den Reflexionsfaktor
: <math>\underline\Gamma(j\omega)=\frac{\frac{1}{j\omega C}-Z}{\frac{1}{j\omega C}+Z}=\frac{1-j\omega C Z}{1+j\omega C Z}=e^{-2j\cdot\arctan(\omega C Z)}</math>

=== Verallgemeinerter komplexer Reflexionsfaktor ===
Während im Allgemeinen der Reflexionsfaktor nur genau an der Stoß- bzw. Störstelle definiert ist, verallgemeinert man bei sinusförmigen Wellen seine Definition auf die gesamte Leitung als Verhältnis der Phasoren von rücklaufender und hinlaufender Spannungswelle an einer beliebigen Stelle. Man spricht von einer ''Transformation des Reflexionsfaktors''. Für diesen ''verallgemeinerten Reflexionsfaktor'' gilt im Abstand <math>y</math> von der Stoßstelle
: <math>\underline{\Gamma}(y)=\underline{\Gamma}(0)\cdot e^{\pm 2y\cdot \gamma}=\underline{\Gamma}(0)\cdot e^{\pm 2y\cdot \alpha}\cdot e^{\pm 4\pi j\frac{y}{\lambda}}</math>
Dabei ist <math>\gamma=\alpha+j\beta</math> die komplexe [[Fortpflanzungskonstante]] der Leitung und nicht mit den Reflexionsfaktor <math>\Gamma</math> zu verwechseln. <math>\Gamma(0)</math> ist der Reflexionsfaktor an der Stoßstelle, der mit größer werdendem Abstand durch den Faktor <math>e^{\pm 4\pi j\frac{y}{\lambda}}</math> (<math>\lambda</math> ist die Wellenlänge) in der Phase gedreht und bei einer verlustbehafteten Leitung durch den Faktor <math>e^{\pm 2y\cdot \alpha}</math> gedämpft wird (<math>\pm</math> in Abhängigkeit von der Richtung der Welle).

=== Der Reflexionsfaktor als Operator ===
Im Allgemeinen sind die Wellenwiderstände und/oder das Element der Störstelle mit einem [[Blindwiderstand]]santeil behaftet. Dann wird eine ''nichtsinusförmige'' reflektierte Welle an der Sprung- bzw. Störstelle gegenüber der ankommenden Welle nicht nur in ihrer Größe geändert, sondern auch in ihrer Form „[[Verzerrung (Elektrotechnik)|linear verzerrt]]“. Obwohl auch in diesem Fall formal die gleichen Berechnungsformeln gelten, sind dann Reflexions- und Transmissionsfaktor komplizierte Operatoren im Sinne einer [[Operatorenrechnung]] und die Berechnungen können im Allgemeinen nur mit [[Numerische Mathematik|numerischen Methoden]] durchgeführt werden.<ref>{{Literatur |Autor=[[Peter Vielhauer]] |Titel=Theorie der Übertragung auf elektrischen Leitungen |Verlag=Verlag Technik |Ort=Berlin |Datum=1970 |DNB=458535036}}</ref>

Das oben genannte Beispiel einer Leitung mit dem reellen Wellenwiderstand <math>Z</math> und einem Abschluss mit der Kapazität <math>C</math> ergibt dann den Operator des Reflexionsfaktors mit der [[Komplexe Frequenz|komplexen Frequenz]] <math>s</math>
: <math>\underline\Gamma(s)=\frac{\frac{1}{s C}-Z}{\frac{1}{s C}+Z}=\frac{1-s C Z}{1+s C Z}</math>
Nach Multiplikation mit der Bildfunktion der ankommenden Welle erhält man die Bildfunktion der reflektierten Welle, die letztendlich in eine Zeitfunktion [[Laplace-Transformation#Laplace-Rücktransformation|zurück transformiert]] werden muss.

=== Rückflussdämpfung ===
Insbesondere bei der Beschreibung von Leitungseigenschaften wird häufig der Begriff der Rückflussdämpfung <math>R</math> verwendet. Der Rückflussdämpfungsfaktor bezeichnet das Verhältnis von gesendeter Leistung zu reflektierter Leistung. Da die Leistung proportional zum [[Betragsquadrat]] der Feldgröße wie der Spannung ist, kann der Rückflussdämpfungsfaktor durch den Reflexionsfaktor ausgedrückt werden:

: <math>R = \frac{P_\mathrm{h}}{P_\mathrm{r}} = \left|\frac{U_\mathrm{h}}{U_\mathrm{r}}\right|^2 = \frac{1}{\left|\Gamma\right|^2}</math>

Wenn man den Rückflussdämpfungsfaktor logarithmiert, erhält man das Rückflussdämpfungsmaß <math>a</math>, das üblicherweise in der [[Pseudoeinheit]] [[Dezibel]] (dB) angegeben wird:

: <math>
\begin{align}
a &= 10\,\mathrm{dB} \cdot \lg R \\
&= -20\,\mathrm{dB} \cdot \lg \left|\Gamma\right| \\
&= -20\,\mathrm{dB} \cdot \lg \left| \frac{Z_\mathrm{w2}-Z_\mathrm{w1}}{Z_\mathrm{w2}+Z_\mathrm{w1}} \right|
\end{align}
</math>

=== Stehwellenverhältnis ===
Bei sinusförmigen Wellen auf verlustlosen Leitungen ist der Zusammenhang des komplexen Reflexionsfaktors <math>\Gamma</math>, dieser ist identisch mit dem [[Streuparameter]] <math>s_{11}</math>, mit dem [[Stehwellenverhältnis]] <math>SWR</math> gegeben durch:

: <math>| \Gamma | = | s_{11} | = {SWR-1 \over SWR+1}</math>.

== Wasserwellen ==
[[Datei:Reflexionskoeffizient C(f).svg|mini|Reflexionskoeffizient ''C''(''f'')]]
[[Datei:Reflexionskoeffizient C(x).svg|mini|Reflexionskoeffizient ''C''(''x'')]]

Bei [[monochromatisch]]en Wasserwellen ist der Reflexionskoeffizient als Quotient aus der Höhe der reflektierten Welle <math>H_\mathrm{r}</math> und der Höhe der anlaufenden Welle <math>H_\mathrm{i}</math> definiert.
: <math>C_\mathrm{r} = H_\mathrm{r}/H_\mathrm{i} < 1</math>
Er kann versuchstechnisch aus den resultierenden Wasserspiegelauslenkungen der an einem Bauwerk partiell stehenden Welle ermittelt werden.

: <math>C_\mathrm{r} = \frac{H_\mathrm{r}}{H_\mathrm{i}} = \frac{H_{\max}-H_{\min}}{H_{\max}+H_{\min}}</math>

Darin bedeuten:
* <math>H_{\max} = H_\mathrm{i} + H_\mathrm{r}</math>
* <math>H_{\min} = H_\mathrm{i} - H_\mathrm{r}</math>

Für die Analyse der frequenzabhängigen [[Reflexion (Physik)|Reflexion]] von Wellenspektren seeseitig eines Bauwerkes können für definierte Frequenzbänder <math>i</math> an Stelle der überlagerten vertikalen [[Wasserspiegelauslenkung]]en auch die Extremwerte der integrierten [[Energiedichte]] <math>E_{\max, i}</math> und <math>E_{\min, i}</math> verwendet werden.

: <math>C_{\mathrm{r},i} = \frac{\sqrt{E_{\max, i}}-\sqrt{E_{\min ,i} }}{\sqrt{E_{\max ,i}} + \sqrt{E_{\min, i}}}</math>

mit
* <math>E_{\max, i}</math> = Betrag des Energiemaximums der zur Partialwelle beitragenden Frequenzkomponenten am Schwingungsbauch und
* <math>E_{\min, i}</math> = Betrag des Energieminimums der zur Partialwelle beitragenden Frequenzkomponenten am Schwingungsknoten.

Unter Berücksichtigung des bei partieller Reflexion an geneigten Wänden (Böschungen) auftretenden [[Phasensprung]]es (Phasenunterschied <math>\Delta\varphi</math> zwischen der einfallenden und der reflektierten Welle) kann ein komplexer Reflexionskoeffizient derart definiert werden, dass dieser neben dem Wellenhöhenverhältnis <math>C_\mathrm{r} = H_\mathrm{r}/H_\mathrm{i}</math> auch die Phasenverschiebung <math>\Delta\varphi</math> enthält:<ref>[[Fritz Büsching]]: ''Komplexe Reflexionskoeffizienten für Wasserwellen - Zur Klassifizierung von Brandungseffekten an Küstenschutzbauwerken''. In: ''[[Die Küste]]'', Heft 78, 2011, S. 235–258, [http://www.digibib.tu-bs.de/?docid=00047022 digibib.tu-bs.de].</ref>
: <math>\Gamma = C_\mathrm{r} \cdot e^{i\Delta\varphi}</math>

== Siehe auch ==
* Messung des Reflexionsfaktors mithilfe einer [[VSWR-Messbrücke]]

== Weblinks ==
* [http://www.dega-akustik.de/fileadmin/dega-akustik.de/publikationen/DEGA_Empfehlung_101.pdf Akustische Wellen und Felder – Abschnitt 5.1.15 – DEGA-Empfehlung 101] (PDF; 1016 kB)
* [http://www.rfcables.org/ref_coeft.html Online Rechner für den Reflexionsfaktor]
* [http://www.digibib.tu-braunschweig.de/?docid=00047022 Komplexe Reflexionskoeffizienten für Wasserwellen]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Wellenlehre]]
[[Kategorie:Fachbegriff (Hochfrequenztechnik)]]

Reflexionsfaktor - Versionsgeschichte

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