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2025-08-01T08:10:06Z

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Ein '''Referenzellipsoid''' ist ein [[Ellipsoid]], das als [[Bezugssystem]] zur Berechnung von [[Vermessungsnetz]]en oder der direkten Angabe geografischer Koordinaten dient. Die Rotationsachse (kleinere Achse) des Ellipsoids zeigt in Richtung der [[Erdachse]], um die [[Abplattung]] der Erde an den Polen zu modellieren. Das Ellipsoid soll als mathematische [[Erdfigur]] die Fläche konstanter Höhe (siehe [[Geoid]]) annähern, wobei die historische Entwicklung von regionaler [[Gradmessung]] zu globaler Ausgleichung des [[Erdschwerefeld|Schwerefeldes]] ging.

== Geschichte ==
Als wissenschaftlich anerkanntes [[Erdmodell]] galt bereits seit der griechischen Naturphilosophie die [[Erdfigur|Erdkugel]]. Erste Zweifel an der genauen Kugelgestalt tauchten im 17. Jahrhundert auf; um 1680 konnte [[Isaac Newton]] in einem Disput mit [[Giovanni Domenico Cassini]] und der [[Pariser Akademie]] theoretisch beweisen, dass die [[Erdrotation]] eine [[Erdabplattung|Abplattung]] an den ''Polen'' und nicht am Äquator verursachen müsse (siehe ''[[verlängertes Ellipsoid]]''). Die [[Landesvermessung]] Frankreichs durch [[Philippe de La Hire]] und [[Jacques Cassini]] (1683–1718) ließ zunächst noch das Gegenteil vermuten. Der empirische Nachweis gelang erst Mitte des 18. Jahrhunderts durch [[Pierre Bouguer]] und [[Alexis-Claude Clairaut]], als die Messungen der Expeditionen nach [[Vizekönigreich Peru|Peru]] (heutiges [[Ecuador]]) und Lappland (1735–1741) zweifelsfrei ausgewertet waren. Diese erste präzise [[Gradmessung]] führte auch zur Definition des [[Meter]]s als 10-millionster Teil des [[Erdquadrant]]en, das allerdings infolge unvermeidlicher kleiner [[Messfehler]] um 0,022 % „zu kurz“ wurde.

Im 19. Jahrhundert begannen sich zahlreiche Mathematiker und Geodäten mit der Bestimmung der Ellipsoiddimensionen zu befassen. Die ermittelten Werte des [[Erdradius|Äquatorradius]] variierten noch zwischen 6376,9 km ([[Jean-Baptiste Joseph Delambre]] 1810) und 6378,3 km ([[Clarke-Ellipsoid|Clarke 1880]]), während das weithin akzeptierte [[Bessel-Ellipsoid]] 6377,397 km ergab (der moderne [[Bezugswert]] beträgt 6378,137 km). Dass die Differenzen die damalige Messgenauigkeit um das Fünffache übertrafen, liegt an der Lage der einzelnen [[Vermessungsnetz]]e auf verschieden gekrümmten Regionen der Erdoberfläche (siehe [[Lotabweichung]]).

Die Werte der [[Erdabplattung]] variierten hingegen weniger – zwischen 1:294 und 1:308, was ±0,5 km in der Polachse bedeutet. Hier lag [[Friedrich Wilhelm Bessel|Bessels]] Wert (1:299,15) bei weitem am besten. Durch immer größere Vermessungsnetze „pendelte“ sich das Ergebnis im 20. Jahrhundert auf etwa 1:298,3 ein ([[Friedrich Robert Helmert]] 1906, [[Feodossi Krassowski]] 1940), was 21,4 km Differenz zwischen Äquator- und Polachse entspricht, während das [[Hayford-Ellipsoid]] mit 1:297,0 durch die Art der geophysikalischen Reduktion deutlich aus der Reihe fiel. Durch den großen US-Einfluss nach dem Zweiten Weltkrieg wurde es dennoch als Basis des [[Europäisches Datum 1950|ED50]]-Referenzsystems gewählt, während der „[[Ostblock]]“ die Krassowski-Werte zur Norm nahm. Letztere wurden in den 1970ern durch das Satelliten-[[Weltnetz der Satellitengeodäsie|Weltnetz]] und globale Multi[[lateration]] (Laufzeitmessungen an Signalen von [[Quasar]]en und geodätischen Satelliten) als die besseren bestätigt.

== Referenzellipsoide in der Praxis ==
Referenzellipsoide werden von [[Geodät]]en für Berechnungen auf der Erdoberfläche benutzt und sind auch für andere [[Geowissenschaften]] das häufigste [[Bezugssystem]]. Jede regionale Verwaltung und [[Landesvermessung]] eines Staates benötigt ein solches Referenzellipsoid, um
* ein staatliches Vermessungsnetz zu schaffen ([[Netzausbreitung]]),
* genaue [[Karte (Kartografie)|Karten]] herzustellen und die Staatsgrenzen eindeutig festzulegen,
* die Lage und Form aller [[Grundstück]]e und [[Gebäude]] berechnen zu können
* und mit einigen tausend sogenannter [[Festpunkt]]e des Vermessungsnetzes ([[Triangulation (Geodäsie)|Triangulation]] etc.) die [[Grenzpunkt]]e und sonstige Rechte ([[Grundbuch]] etc.) zu garantieren.
* Seit etwa 1985 wird dieses „[[Kataster]]“ auch durch digitale Informationssysteme ([[Geoinformationssystem]], [[Landinformationssystem]], [[Umweltinformationssystem]] usw.) ergänzt, die sich ebenfalls auf das Bezugsellipsoid des Landes stützen.

== Referenzellipsoide in der Theorie ==
Da die physikalische Erdfigur, das [[Geoid]], durch die Unregelmäßigkeiten von Erdoberfläche und [[Erdschwerefeld|Schwerefeld]] leichte Wellen aufweist, sind Berechnungen auf einer geometrisch definierten Erdfigur viel einfacher. Die zu vermessenden Objekte werden senkrecht auf das Ellipsoid projiziert und können dann kleinräumig sogar [[Verebnung|wie in einer Ebene]] betrachtet werden. Dafür wird z. B. ein [[Gauß-Krüger-Koordinatensystem]] verwendet.

Mit der Höhe <math>h</math> wird der Abstand zum Ellipsoiden angegeben, senkrecht zu dessen Oberfläche. Diese Senkrechte unterscheidet sich allerdings um die sog. [[Lotabweichung]] von der wirklichen Lotrichtung, wie sie ein [[Schnurlot]] darstellen würde. Bei Vermessungen, die genauer sein sollen als einige Dezimeter pro Kilometer, muss dieser Effekt berechnet und die Messungen um ihn reduziert werden. Die Lotabweichung kann in [[Mitteleuropa]] je nach Gelände und Geologie 10–50″ betragen und bewirkt einen Unterschied zwischen [[Astronomische Breite|astronomischer]] und ellipsoidischer [[Geografische Länge|Länge]] und [[Geografische Breite|Breite]] (<math>\lambda</math> bzw. <math>\varphi</math>).

''Siehe auch:'' [[Geodätische Hauptaufgabe]]

=== Umrechnung in geozentrische kartesische Koordinaten ===
{{Hauptartikel|Kartesisches Koordinatensystem}}
In einem geozentrischen rechtwinkligen Bezugssystem, dessen Ursprung im Mittelpunkt des Rotationsellipsoids liegt und in Richtung der Rotationsachse (<math>Z</math>) sowie des Nullmeridians (<math>X</math>) ausgerichtet ist, gilt dann
:<math>\begin{align}
X&=(N_\varphi+h)\cos\varphi\cdot\cos\lambda\\
Y&=(N_\varphi+h)\cos\varphi\cdot\sin\lambda\\
Z&=(N_\varphi(1-\varepsilon^2)+h)\sin\varphi
\end{align}</math>
mit
* <math>a</math> – große Halbachse (Parameter des Referenzellipsoids)
* <math>b</math> – kleine Halbachse (Parameter des Referenzellipsoids)
* <math>\varepsilon = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}</math> – [[Exzentrizität (Astronomie)|numerische Exzentrizität]]
* <math>N_\varphi=\frac{a}{\sqrt{1-\varepsilon^2 \sin^2\varphi}}\,\!</math> – Krümmungsradius des [[Erster Vertikal|Ersten Vertikals]], d. h. der Abstand des Lotfußpunktes vom Schnittpunkt des verlängerten Lots mit der Z-Achse.

=== Berechnung von ''φ'', ''λ'' und ''h'' aus kartesischen Koordinaten ===
Die [[ellipsoidische Länge]] <math>\lambda</math> kann exakt bestimmt werden als
:<math>\lambda=\arctan\left[\frac{Y}{X}\right]</math>

Bei gegebenem <math>\varphi</math> ergibt sich die Höhe <math>h</math> als
:<math>h=\frac{\sqrt{X^2+Y^2}}{\cos\varphi} - N_\varphi</math>

Obwohl diese Beziehung exakt ist, bietet sich die Formel
:<math>h\approx\sqrt{X^2+Y^2}\cdot\cos\varphi + Z \sin\varphi - a^2 / N_\varphi</math>
eher für praktische Berechnungen an, da der Fehler
:<math>\Delta h \approx \frac{1}{2} (h+\sqrt{X^2+Y^2})(\Delta\varphi)^2</math>
nur quadratisch vom Fehler in <math>\varphi</math> abhängt.<ref>Bowring: ''The accuracy of geodetic latitude and height equations.'' Survey Review, Vol. 28.</ref> Das Ergebnis ist somit um einige Größenordnungen genauer.

Für die Berechnung von <math>\varphi</math> muss auf Näherungsverfahren zurückgegriffen werden. Aufgrund der Rotationssymmetrie wird das Problem in die [[xz-Ebene|X-Z-Ebene]] verlegt (<math>\lambda=0</math>). Für den allgemeinen Fall wird dann <math>X</math> durch <math>\sqrt{X^2+Y^2}</math> ersetzt.

[[Datei:Referenzellipsoid im x-z-Schnitt mit Kruemmungskreis.svg|mini|Ellipse mit Krümmungskreis. Die Länge der grünen Strecke beträgt <math>N_\varphi</math>.]]

Das Lot des gesuchten Punktes <math>(X,Z)</math> auf die Ellipse hat den Anstieg <math>\tan\varphi</math>. Das verlängerte Lot geht durch den Mittelpunkt M des [[Krümmungskreis]]es, der die Ellipse im Lotfußpunkt berührt. Die Koordinaten des Mittelpunktes lauten
:<math>\begin{pmatrix}X_M\\ Z_M\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\varepsilon^2 a \cos^3 t\\ - {\tilde \varepsilon}^2 b \sin^3 t\end{pmatrix}</math>
mit
* <math>t</math> – [[Ellipse#Ellipsengleichung (Parameterform)|parametrische Breite]], d. h., Punkte auf der Ellipse sind durch <math>\left(\begin{smallmatrix}a\cos t\\b\sin t\end{smallmatrix}\right)</math> beschrieben
* <math>\tilde \varepsilon = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{b}</math>

Damit gilt
:<math>\tan\varphi = \frac{Z+{\tilde\varepsilon}^2 b \sin^3 t}{X - \varepsilon^2 a \cos^3 t}</math>

Dies ist eine [[Iteration]]slösung, da <math>\varphi</math> und <math>t</math> über <math>\tan \varphi = \frac{a}{b} \tan t</math> in Beziehung stehen. Ein naheliegender Anfangswert wäre
:<math>\tan t_0=\frac{a}{b} \frac{Z}{X}</math>.
Mit dieser Wahl erreicht man nach einem Iterationsschritt eine Genauigkeit von
:<math>\Delta\varphi \approx \frac{3}{2} \varepsilon^3 \frac{a h^2}{(a+h)^3} \sin^3\varphi \cos^3\varphi</math>.<ref>Bowring: ''Transformation from Spatial to Geographical coordinates.'' Survey Review, Vol. 23.</ref>
Das heißt, auf der Erdoberfläche ergibt sich für <math>\varphi</math> ein maximaler Fehler von 0,00000003″ und das globale Maximum des Fehlers (bei <math>h=2a</math>) beträgt 0,0018″.

Bei günstiger Wahl von <math>t_0</math> kann auch der maximale Fehler für Punkte im Weltraum noch weiter reduziert werden. Mit
:<math>\tan t_0=\frac{b}{a}\frac{Z}{X}\left(1 + \tilde{\varepsilon} \frac{b}{\sqrt{X^2+Z^2}}\right)</math>
ist durch einmaliges Einsetzen in die Iterationsformel der Winkel <math>\varphi</math> (für die Parameter der Erde) auf 0,0000001″ genau bestimmt (unabhängig vom Wert von <math>h</math>).

== Wichtige Referenzellipsoide ==
Die Form und Größe der in verschiedenen Regionen verwendeten Ellipsoide werden im Allgemeinen durch ihre [[große Halbachse]] <math>a</math> und die [[Abplattung]] <math>f</math> (engl. {{lang|en|''flattening''}}) festgelegt. Ferner ist noch jener zentral gelegene „[[Fundamentalpunkt]]“ zu definieren, auf dem das Referenzellipsoid das Geoid berührt und ihm damit eine unzweideutige [[Höhe]]nlage gibt. Beide Festlegungen zusammen werden „[[geodätisches Datum]]“ genannt.

Auch wenn zwei Länder dasselbe Ellipsoid verwenden (z. B. Deutschland und Österreich das [[Bessel-Ellipsoid]]), unterscheiden sie sich doch in diesem Zentralpunkt bzw. [[Fundamentalpunkt]]. Daher können sich die Koordinaten der gemeinsamen Grenzpunkte um bis zu einem Kilometer unterscheiden.

Die Achsen der Ellipsoide sind je nach der Region, aus deren Messungen sie bestimmt wurden, um bis zu 0,01 % verschieden. Die Genauigkeitssteigerung bei der Bestimmung der [[Abplattung]] <math> f=(a-b)/a </math> (Differenz der [[Ellipsoid]]-Achsen rund 21 km) hängt mit dem Start der ersten künstlichen [[Satellit (Raumfahrt)|Satelliten]] zusammen. Diese zeigten sehr deutliche [[Bahnstörung]]en bzgl. der Bahnen, die man vorausberechnet hatte. Anhand der Fehler konnte man zurückrechnen und die Abplattung genauer bestimmen.

{| class="wikitable sortable zebra"

|+ Regionale [[Ellipsoid]]e 1810–1906 und global bestimmte Erdellipsoide 1924–1984 und Entwicklung der Kenntnis vom mittleren [[Äquator]]radius und [[Erdabplattung]]
|-
! Ellipsoid
! Jahr
! Große Halbachse ''a'' [Meter]

! Kleine Halbachse ''b'' [Meter]

! [[Logarithmus#Bezeichnungen|Numerus]] = 1/[[Abplattung]] (''n'' = 1/''f'' = ''a''/(''a''−''b''))
! Anmerkungen
! [[European Petroleum Survey Group Geodesy#EPSG-Code|EPSG]]-Code
|-
| [[Jean-Baptiste Joseph Delambre|Delambre]], Frankreich
| 1810
| 6 376 985
|
| 308,6465
| Pionierarbeit
|-
| Schmidt
| 1828
| 6 376 804,37
|
| 302,02
| Pionierarbeit
|
|-
| [[George Biddell Airy|G.B. Airy]]
| 1830
| 6 377 563,4
| 6 356 256,91
| 299,3249646
|
|
|-
| Airy 1830 modifiziert
| 1830
| 6 377 340,189
| 6 356 034,447
| 299,3249514
|
| EPSG::7002
|-
| [[George Everest|Everest]] (Indien)
| 1830
| 6 377 276,345
|
| 300,8017
|
| EPSG::7015
|-
| [[Bessel-Ellipsoid|Bessel 1841]]<ref>[https://crs.bkg.bund.de/crseu/crs/descrtrans/BeTA/BETA2007.gsa crs.bkg.bund.de], {{Webarchiv |url=http://www.arsitech.com/mapping/geodetic_datum/#BESSEL%201841 |wayback=20131006065844 |text=''Constants for Reference Ellipsoids used for Datum Transformations.''}}. {{Webarchiv|url=https://gis.stackexchange.com/questions/67774/from-bessel-1841-to-wgs-1984 |wayback=20180407053505 |text=''Projecting from Bessel 1841 to WGS 1984'' |archiv-bot=2024-04-24 00:38:43 InternetArchiveBot }}und geben den auf 1 mm gerundeten Wert für ''b'' an, ausgehend von den in EPSG:7004 definierten Parametern ''a'' und ''f.''</ref>
| 1841
| 6 377 397,155
| 6 356 078,963<ref><math>b=-(\tfrac{a}{n}-a)=-(\tfrac{6\,377\,397{,}155\;\mathrm{m}}{{\color{Green}299{,}1528128}}-6\,377\,397{,}155\;\mathrm{m})=6\,356\,078{,}96282\;\mathrm{m}\simeq6\,356\,078{,}{\color{Red}963}\;\mathrm{m}</math>.</ref>
| 299,1528128<ref>Fälschlicherweise auch <math>n=\tfrac{1}{f}=\tfrac{a}{a-b}=\tfrac{6\,377\,397{,}155\;\mathrm{m}}{6\,377\,397{,}155\;\mathrm{m}-6\,356\,078{,}{\color{Red}963}\;\mathrm{m}}={\color{Green}299{,}15281}{\color{Red}53513205998}</math>.</ref>
| ideal angepasst in Eurasien; oft benutzt in [[Mitteleuropa]]
| EPSG::7004<ref>[http://georepository.com/ellipsoid_7004/Bessel-1841.html georepository.com,] [https://epsg.io/7004-ellipsoid epsg.io]. EPSG:7004 nutzt <math>n=\tfrac{1}{f}={\color{Green}299{,}1528128}</math>. Dieser Wert stammt aus dem ''US Army Map Service Technical Manual''; 1943. {{" |lang=en |Text=Remarks: Original Bessel definition is a=3272077.14 and b=3261139.33 toise. This used a weighted mean of values from several authors but did not account for differences in the length of the various toise: the „Bessel toise“ is therefore of uncertain length.}}</ref>
|-
| [[Clarke-Ellipsoid|Clarke]]
| 1866
| 6 378 206,400
|
| 294,9786982
| ideal angepasst in Asien
| EPSG::7008
|-
| [[Clarke-Ellipsoid|Clarke]] 1880 / IGN
| 1880
| 6 378 249,17
| 6 356 514,99
| 293,4663
|
| EPSG::7011
|-
| [[Friedrich Robert Helmert]]
| 1906
| 6 378 200,000
|
| 298,3
|
| EPSG::7020
|-
| Australian Nat.
|
| 6 378 160,000
|
| 298,25
|
| EPSG::7003
|-
| Modif. Fischer
| 1960
| 6 378 155,000
|
| 298,3
|
|
|-
| Internat. 1924 ''[[Hayford-Ellipsoid|Hayford]]''
| 1924
| 6 378 388,000
| 6 356 911,946
| 297,0
| ideal angepasst in Amerika bereits 1909 publiziert
| EPSG::7022
|-
| [[Krassowski-Ellipsoid|Krassowski]]
| 1940
| 6 378 245,000
| 6 356 863,019
| 298,3
|
| EPSG::7024
|-
| Internat. 1967 ''[[Luzern]]''
| 1967
| 6 378 165,000
|
| 298,25
|
|
|-
| SAD69 (South America)
| 1969
| 6 378 160,000
|
| 298,25
|
|
|-
| [[WGS72]] (World Geodetic System 1972)
| 1972
| 6 378 135,000
| ≈ 6 356 750,52
| 298,26
|
| EPSG::7043
|-
| GRS 80 ([[Geodätisches Referenzsystem 1980]])
| 1980
| 6 378 137,000
| ≈ 6 356 752,3141
| 298,257222101
|
| EPSG::7019
|-
| WGS84 ([[World Geodetic System 1984]])
| 1984
| 6 378 137,000
| ≈ 6 356 752,3142
| 298,257223563
| für [[Global Positioning System|GPS]]-[[Vermessung]]en
| EPSG::7030
|-
|}

Das [[Bessel-Ellipsoid]] ist für Eurasien ideal angepasst, sodass sein „800-m-Fehler“ für die [[Geodäsie]] Europas günstig ist – ähnlich wie die gegenteiligen 200 m des Hayford-Ellipsoids (nach [[John Fillmore Hayford]]) für Amerika.

Für viele Staaten [[Mitteleuropa]]s ist das [[Bessel-Ellipsoid]] wichtig, ferner die Ellipsoide von Hayford und [[Krassowski-Ellipsoid|Krassowski]] (Schreibweise uneinheitlich), und für [[Global Positioning System|GPS]]-[[Vermessung]]en das [[WGS84]].

Die Resultate von ''Delambre'' und von ''Schmidt'' sind Pionierarbeiten und beruhen auf nur begrenzten Messungen. Hingegen entsteht der große Unterschied zwischen ''Everest'' (Asien) und Hayford (Amerika) durch die [[Geologie|geologisch]] bedingte Geoid-Krümmung verschiedener Kontinente. Einen Teil dieses Effekts konnte Hayford durch mathematische Reduktion der [[Isostasie]] eliminieren, sodass man dessen Werte damals für besser hielt als die europäischen Vergleichswerte.

== Literatur ==
* [[Wolfgang Torge]]: ''Geodesy.'' 3. completely revised and extended edition. De Gruyter-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-11-017072-8.
* J. Ihde et al.: [https://www.crs-geo.eu/crseu/EN/References/Elemente/pub01EuropeanSpatialRefernceSystems,templateId=raw,property=publicationFile.pdf/pub01EuropeanSpatialRefernceSystems.pdf ''European Spatial Reference Systems – Frames for Geoinformation Systems''.] (PDF).

== Weblinks ==
* {{Toter Link |url=http://www.kowoma.de/gps/geo/mapdatum.htm |text=Kartenbezugssysteme, Ellipsoide, Geoide und topografische Oberflächen }}
* [http://www.mapref.org/ MapRef] – Europäische Referenzsysteme und Kartenprojektionen
* {{Toter Link |url=http://www.crs-geo.eu/nn_124228/crseu/EN/Home/homepage__node.html?__nnn=true |text=CRS-EU }} – Information and Service System for European Coordinate Reference Systems.
* {{Toter Link |url=http://www.euref-iag.net/euref_links.html |text=euref-iag.net }} – EUREF-Links zu weiteren geodätischen Informationen
* {{Toter Link |url=http://www.epsg-registry.org/ |text=epsg-registry.org }} – Datenbank zu Referenzsystemen und Koordinatentransformationsparametern

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Geodäsie]]
[[Kategorie:Geophysik]]

Referenzellipsoid - Versionsgeschichte

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