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2024-11-18T22:19:44Z

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Die '''reduzierte Masse''' <math>m_\mathrm{red}</math> ist eine [[fiktiv]]e Masse, die unter bestimmten Voraussetzungen die Eigenschaften zweier Einzelmassen eines Systems repräsentiert. Verallgemeinert für ein System mit <math>N</math> Einzelmassen ist sie das <math>\frac{1}{N}</math>-fache des [[Harmonisches Mittel|harmonischen Mittels]] dieser Massen.

== Astronomie, Teilchenbewegung ==
Wenn sich [[Zwei-Körper-Problem|zwei Körper]] mit Massen <math>m_1</math> und <math>m_2</math> bewegen, ohne dem Einfluss einer Gesamtkraft zu unterliegen, so lassen sich die [[Bewegungsgleichung]]en aufspalten in die freie Bewegung des [[Massenmittelpunkt|Schwerpunktes]] und das Ein-Körper-Problem der Relativbewegung. Dabei verhält sich das leichtere Teilchen im relativen Abstand zum schwereren Teilchen wie ein Teilchen, das die durch

:<math>\frac{1}{m_\mathrm{red}} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}</math>

charakterisierte reduzierte Masse<ref name="chemie" />

:<math>m_\mathrm{red}:=\frac{m_1 \, m_2}{m_1 + m_2}</math>

hat.

Je nach Masse <math>m_1</math> des schwereren Körpers (<math>m_1\ge m_2</math>) gilt für die reduzierte Masse:
:<math>\frac{m_2}2 \leq m_\mathrm{red} < m_2</math>
mit den Randwerten
* <math>m_\mathrm{red} \approx m_2/2</math> für <math>m_1 \approx m_2</math> und
* <math>m_\mathrm{red} \approx m_2</math> für <math>m_1 \gg m_2 \Leftrightarrow m_2/m_1 \ll 1</math>.
In wichtigen Fällen ([[Planetenbewegung]], Bewegung eines [[Elektron]]s im [[Elektrisches_Feld #Elektrisches_Feld_einer_Punktladung|Coulombfeld]] des [[Atomkern]]s) unterscheiden sich die Massen des schwereren und des leichteren Körpers sehr stark (<math>m_2/m_1 \ll 1</math>). Dann ist die reduzierte Masse fast die Masse des leichteren Teilchens:

:<math>m_\mathrm{red} = \frac{m_2}{1+m_2/m_1} \approx m_2 \left(1- \frac{m_2}{m_1}\right) \approx m_\mathrm 2</math>

So lässt sich zum Beispiel die Relativbewegung Mond-Erde auf ein Ein-Körper-Problem reduzieren: Der [[Mond]] bewegt sich wie ein Körper mit reduzierter Masse <math>m_\mathrm{red}</math> im [[Gravitationsfeld]] der Erde.

In vielen Lehrbüchern wird die reduzierte Masse mit dem [[Griechisches Alphabet|griechischen Buchstaben]] <math>\mu</math> abgekürzt.

=== Herleitung ===
* Bei verschwindender Gesamtkraft lauten die Bewegungsgleichungen für die Orte <math>\vec{r}_1</math> und <math>\vec{r}_2</math> der beiden Körper:

::<math>m_1 \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}_1}{\mathrm{d}t^2}=\vec{F}</math>

::<math>m_2 \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}_2}{\mathrm{d}t^2}=-\vec{F}</math>

*''Addiert'' man diese zwei Gleichungen, so erhält man für den Schwerpunkt

::<math>\vec{R}:=\frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{M}</math>

:mit der Massensumme <math>M:=m_1+m_2</math> die Bewegungsgleichung

::<math>\ddot{\vec{R}} = 0</math>

:eines freien Teilchens. Also bewegt sich der Schwerpunkt [[geradlinig gleichförmige Bewegung|geradlinig gleichförmig]]:

::<math>\vec{R}(t) = \vec{R}(0) + t \, \vec{v}(0)</math>

*''Subtrahiert'' man die durch die jeweilige Masse dividierten Bewegungsgleichungen der Teilchen, so erhält man

::<math>\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} (\vec{r}_1-\vec{r}_2) = \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\right) \vec{F} = \frac{1}{m_\mathrm{red}}\vec{F}</math>

::<math>\Leftrightarrow m_\mathrm{red}\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} = \vec{F}</math>

:als Bewegungsgleichung für den relativen [[Ortsvektor]] <math>\vec{r} := \vec{r}_1 - \vec{r}_2</math>. Dieser bewegt sich also wie ein Teilchen der reduzierten Masse <math>m_\mathrm{red}</math> unter dem Einfluss der Kraft <math>\vec{F}</math>.

=== Drehimpuls ===
Für ein System aus zwei Teilchen kann mithilfe der reduzierten Masse der [[Drehimpuls]] im [[Schwerpunktsystem]] angegeben werden als

:<math>\begin{align}\vec L_\mathrm S &= \sum_{i=1}^2 \vec L_{i \mathrm S}=(\vec r_{1 \mathrm S} \times \vec p_{1 \mathrm S})+(\vec r_{2\mathrm S} \times \vec p_{2\mathrm S})\\
&=(\vec r_{1\mathrm S}-\vec r_{2\mathrm S})\times \vec p_{1\mathrm S}=\vec r_{12} \times m_\mathrm{red}\vec v_{1\mathrm 2}
\end{align}</math>

Hier bezeichnen
* <math>\vec r_{i\mathrm S}, \vec p_{i\mathrm S}</math> jeweils den Ortsvektor bzw. den [[Impuls]] des Teilchens <math>i</math> bezogen auf den Schwerpunkt.
* <math>\vec r_{12}, \vec v_{12}</math> jeweils den relativen Abstand bzw. die relative Geschwindigkeit der beiden Teilchen.

Auf den Schwerpunkt bezogen ist der Drehimpuls eines Gesamtsystems von zwei Teilchen also genau so groß wie der Drehimpuls eines Teilchens mit dem Impuls <math>m_\mathrm{red}\vec v_{12}</math> und dem Ortsvektor <math>\vec r_{12}</math>.<ref name="Demtröder">[[Wolfgang Demtröder|W.Demtröder]]: ''Experimentalphysik 1''. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2015, ISBN 978-3-662-46415-1.</ref>

== Technische Mechanik ==
Eine Punktmasse <math>m</math>, die im Abstand <math>r_\mathrm m</math> um eine Achse rotiert, kann auf einen anderen Abstand <math>r</math> umgerechnet werden. Die reduzierte Masse im neuen Abstand <math>r</math> hat das gleiche [[Trägheitsmoment]] bezüglich der Drehachse wie die ursprüngliche Masse. Mit der Übersetzung

:<math>i = \frac{r_\mathrm m}r</math>

berechnet sich die reduzierte Masse zu:

:<math>m_\mathrm{red} = i^2 \, m</math>

Anwendung z. B. in der [[Schwingungslehre]].

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="chemie">{{Literatur| Titel=Basiswissen Physikalische Chemie| Jahr=2010| Auflage = 4. |Autor=C. Czeslik, H. Seemann, R. Winter| ISBN=978-3-8348-0937-7|Verlag= Vieweg+Teubner| Ort=Wiesbaden| Online={{Google Buch | BuchID = 3yBQoRRRw8UC | Seite = 131}} }}</ref>
</references>

[[Kategorie:Theoretische Mechanik]]

Reduzierte Masse - Versionsgeschichte

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