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[[Datei:Koordinatensysteme L+R.svg|mini|hochkant=1.5|Achsenorientierung und Drehsinn linkshändiger und rechtshändiger Koordinatensysteme]]
Als '''Rechtssystem''' bzw. '''rechtshändiges Koordinatensystem''' werden in der [[Mathematik]] und in der [[Physik]] gewisse Systeme von zwei [[Vektor]]en in der Ebene bzw. drei Vektoren im Raum (mit einer festgelegten Reihenfolge) bezeichnet.

== Rechtssystem in der Ebene ==
Ein Rechtssystem in der Ebene sind zwei Vektoren <math>\vec{x}, \vec{y}</math>, bei denen <math>\vec{y}</math> aus <math>\vec{x}</math> auf kürzestem Wege durch Drehung ''entgegen dem Uhrzeigersinn'', d. h. ''im mathematisch positiven [[Drehrichtung|Drehsinn]]'', hervorgeht.

== Rechtssystem im Raum ==
Ein Rechtssystem im dreidimensionalen Raum sind drei Vektoren <math>\vec{x}, \vec{y}</math> und <math>\vec{z}</math>, wenn vom Endpunkt des Vektors <math>\vec{z}</math> aus gesehen die Vektoren <math>\vec{x}, \vec{y}</math> ein Rechtssystem in der Ebene bilden.

== Rechtssystem im &Ropf;<sup>n</sup> ==
Ein Rechtssystem ist allgemein ein geordnetes Tupel <math>(\vec x_1, \dotsc, \vec x_n)</math> von [[Spaltenvektor]]en der Dimension <math>n</math>, sodass die [[Determinante]] der [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] mit den Spaltenvektoren <math>\vec x_1, \dotsc, \vec x_n</math> positiv ist.

Für <math>n=2</math> und <math>n=3</math> ist dies äquivalent zu obigen Definitionen.

== Linkssysteme ==
Für '''Linkssysteme''' bzw. '''linkshändige Koordinatensysteme''' gilt jeweils das Umgekehrte. In der Ebene geht der zweite Vektor <math>\vec{y}</math> durch Drehung ''im Uhrzeigersinn'', d. h. ''mathematisch negativen Drehsinn'', auf kürzestem Weg aus dem ersten Vektor <math>\vec{x}</math> hervor, so wie er selbst seinerseits auf kürzestem Weg durch Drehung ''gegen den Uhrzeigersinn'' in den ersten Vektor überführt wird.<ref>Walter Gellert, Herbert Küstner, Manfred Hellwich, [[Herbert Kästner]] (Hrsg.): ''Kleine Enzyklopädie Mathematik''; Leipzig 1970, S. 342–343.</ref>

Ein Linkssystem in einem [[Vektorraum]] ist ein geordnetes Tupel von Spaltenvektoren, bei dem die dazugehörige Matrix eine negative Determinante hat. Dementsprechend ist ein Linkssystem im dreidimensionalen Raum ein geordnetes Tripel von Vektoren, für die das obige [[Spatprodukt]] negativ ist.

== Regeln ==
Ob drei Vektoren ein Rechts- oder Linkssystem bilden, lässt sich mit Hilfe folgender Regeln bestimmen:<ref name="Analytische Geometrie mit Linearer Algebra. Leistungskurs.">August Schmid, [[Wilhelm Schweizer (Didaktiker)|Wilhelm Schweizer]] (Hrsg.): ''Analytische Geometrie mit Linearer Algebra. Leistungskurs.'' Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1997, ISBN 3-12-739170-6, S. 36–37.</ref>
* Mit der ''[[Drei-Finger-Regel|Drei-Finger-Regel der rechten Hand]]'' (auch ''Rechte-Hand-Regel''): Zeigt der abgespreizte Daumen in Richtung des ersten Vektors und der ausgestreckte Zeigefinger in Richtung des zweiten Vektors, zeigt der rechtwinklig zu Daumen ''und'' Zeigefinger abgespreizte Mittelfinger bei einem Rechtssystem in Richtung des dritten Vektors (das funktioniert auch bei [[Zyklische Permutation|zyklischer Vertauschung]] der Finger oder Vektoren: <math>x-y-z, y-z-x, z-x-y</math>).
* Mit der ''Schrauben-'' oder ''[[Korkenzieherregel]]'': Wird der erste Vektor so gedreht, dass er dabei auf kürzestem Wege in den zweiten Vektor überführt wird, bewegt sich, sofern alle drei Vektoren ein Rechtssystem bilden, eine im gleichen Sinn gedrehte Schraube ''mit [[Gewinde#Rechtsgewinde|Rechtsgewinde]]'' in Richtung des dritten Vektors.<ref>Fast alle praktisch verwendeten Schrauben besitzen Rechtsgewinde – solche mit [[Gewinde#Linksgewinde|Linksgewinde]] dagegen finden nur selten Anwendung, z. B. in [[Spannschloss|Spannschlössern]].</ref>

Für 2-dimensionale Systeme kann eine der Drei-Finger-Regel analoge Regel wie folgt formuliert werden: Zeigt der Daumen der nach oben geöffneten rechten (bzw. linken) Hand in die positive <math>x</math>-Richtung, zeigen bei einem rechtshändigen (bzw. linkshändigen) System alle übrigen Finger in die positive <math>y</math>-Richtung.

== Beispiele ==
* Die Achsen des dreidimensionalen [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystems]] bilden in seiner üblichen Achsenorientierung (z. B. <math>x</math>-Achse zum Betrachter, <math>y</math>-Achse nach rechts, <math>z</math>-Achse nach oben; ebenso <math>x</math>-Achse nach rechts, <math>y</math>-Achse in die Perspektive und <math>z</math>-Achse nach oben) ein Rechtssystem.<ref name="Analytische Geometrie mit Linearer Algebra. Leistungskurs." />
* Das [[Kartesisches Koordinatensystem (Geodäsie)|geodätische Koordinatensystem]] ist dagegen, dem Drehsinn beim [[Kompass]] folgend, ein Linkssystem.
* Ein ebenfalls weitverbreitetes Linkssystem ist das der [[Pixel]]koordinaten bei Grafikprogrammen, bei denen der Koordinatenursprung (0|0) üblicherweise in der linken oberen Bildschirmecke liegt und die <math>x</math>-Koordinaten (Grafikspalten) von dort aus nach rechts, die <math>y</math>-Koordinaten (Grafikzeilen) dagegen nach unten gezählt werden, die Koordinaten eines Bildpunkts bzgl. eines (üblichen) rechtshändigen Systems also zur Bildschirmdarstellung zunächst einmal stets einer entsprechenden [[Koordinatentransformation]] unterzogen werden müssen.
* Bei der Rotation eines Körpers bilden der Radialvektor, die Tangentialgeschwindigkeit und der [[Drehimpuls]] ein Rechtssystem.
* Bei der Auslenkung eines stromdurchflossenen Leiters in einem Magnetfeld ([[Leiterschaukel]]-Versuch) bilden die [[technische Stromrichtung]], die [[Magnetismus#Magnetfelder und Feldlinien|Magnetfeldlinien]] und die Wirkungsrichtung der [[Lorentzkraft]] ein Rechtssystem.

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Geometrie]]

Rechtssystem (Mathematik) - Versionsgeschichte

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