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2022-01-19T13:39:45Z

Erzeugende Funktion: TeX-Formelsatz optimiert

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[[Datei:Pronic number 12 with rectangle.svg|miniatur|150px|Zwölf Kugeln in drei Reihen und vier Spalten bilden ein Rechteck]]
Eine '''Rechteckzahl''', '''Rechteckszahl''' oder '''pronische Zahl''' ist eine Zahl, die das [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] zweier aufeinanderfolgender [[Natürliche Zahl|natürlicher Zahlen]] ist. Beispielsweise ist <math>12 = 3 \cdot 4</math> eine Rechteckzahl. Die ersten Rechteckzahlen sind
:0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, … ({{OEIS|A002378}})
Bei einigen Autoren ist die Null keine Rechteckzahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Zwei beginnt.

Der Name Rechteckzahl leitet sich aus einer geometrischen Eigenschaft ab. Legt man Steine zu einem [[Rechteck]], dessen eine Seite um 1 länger ist als die zweite, so entspricht die Anzahl der Steine einer Rechteckzahl. Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einer [[Geometrische Figur|geometrischen Figur]] zählen die Rechteckzahlen zu den [[Figurierte Zahl|figurierten Zahlen]], zu denen auch die [[Dreieckszahl]]en und [[Quadratzahl]]en gehören.

== Berechnung ==

Die <math>n</math>-te Rechteckzahl <math>P_n</math> berechnet sich nach der Formel
:<math>P_n = n \cdot (n+1) = n^2 + n</math>

Die <math>n</math>-te Rechteckzahl ist die [[Summe]] der ersten <math>n</math> [[Parität (Mathematik)|geraden]] [[natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]].
:<math>\begin{align}
&2 &= 2 &= 1 \cdot 2\\
&2 + 4 &= 6 &= 2 \cdot 3\\
&2 + 4 + 6 &= 12 &= 3 \cdot 4\\
&2 + 4 + 6 + 8 &= 20 &= 4 \cdot 5\\
& & \vdots &
\end{align}</math>

(Dieses Bildungsgesetz ähnelt dem der [[Quadratzahl]]en, die die Summen der ersten ungeraden natürlichen Zahlen sind.)

== Beziehungen zu anderen figurierten Zahlen ==

Die <math>n</math>-te Rechteckzahl ist das Doppelte der <math>n</math>-ten Dreieckszahl <math>\Delta_n</math>.
:<math>P_n = 2 \cdot \Delta_n</math>

== Eigenschaften ==

* Alle Rechteckzahlen sind [[Parität (Mathematik)|gerade Zahlen]].
* Die einzige Rechteckzahl, die eine [[Primzahl]] ist, ist die 2.
* <math> \lfloor{\sqrt{P_n}}\rfloor \cdot \lceil{\sqrt{P_n}}\rceil = P_n </math>

== Reihe der Kehrwerte ==

Die Summe der [[Kehrwert]]e aller Rechteckzahlen ist 1.
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n} = 1</math>

== Erzeugende Funktion ==

Die Funktion
:<math>\frac{2x}{(1-x)^3} = 2x + 6x^2 + 12x^3 + 20x^4 + \dotsb</math>
enthält in ihrer Reihenentwicklung (rechte Seite der Gleichung) jeweils die <math>n</math>-te Rechteckzahl als Koeffizienten von <math>x^n</math>. Sie wird deshalb [[erzeugende Funktion]] der Rechteckzahlen genannt.

== Weblinks ==

* {{MathWorld |id=PronicNumber |title=Pronic Number}}

[[Kategorie:Figurierte Zahl]]

Rechteckzahl - Versionsgeschichte

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