~2025-56802-5: /* Fouriersynthese */

2025-09-10T07:53:50Z

Fouriersynthese

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Das '''Rechtecksignal''' bzw. die '''Rechteckschwingung''' bezeichnet ein periodisches Signal, das zwischen zwei Werten hin und her schaltet und in einem Diagramm über der Zeit einen rechteckigen Verlauf aufweist. Es kann unipolar oder bipolar auftreten.

Das Rechtecksignal gehört bei der [[Klangerzeugung]] in [[Synthesizer]]n zu den Grundformen und weist einen „hohlen“ Klangcharakter auf.
[[Datei:Waveforms.svg|mini|Gegenüberstellung der elementaren Schwingungsformen]]
[[Datei:Square.ogg|mini|Klangbeispiel für Rechtecksignal mit 220 Hz]]

Signale mit ideal rechteckigem Verlauf existieren nur theoretisch. In der Realität können die Flanken nicht senkrecht ansteigen und somit einen unendlich steilen Sprung ausführen; den stattdessen realen Sprung beschreiben die [[Anstiegs- und Abfallzeit]]en. Unter anderem wegen des kapazitivem und induktiven Verhaltens der Übertragungsleitungen weist ein Rechtecksignal häufig auch Unter- und [[Überschwingen]] auf.

Gemäß [[Fourieranalyse]] erweist sich eine Rechteckschwingung als [[Sinus|sinusförmige]] [[Grundschwingung]] mit [[Oberschwingung]]en, siehe [[Fourierreihe#Rechteckpuls]]. Dabei beeinflusst der [[Tastgrad]] der Rechteckschwingung den Anteil der Oberschwingungen und auch den [[Gleichwert]].

Bei Verwendung einer Rechteckschwingung als [[Taktsignal]] ist der Wert des Tastgrads unerheblich, wenn nur auf eine Flanke synchronisiert wird.

== Erzeugung ==
Ein rechteckförmiges Signal erzeugt man entweder mit einem astabilen [[Multivibrator]], allgemein mit einem [[Rechteckgenerator]], oder aus einer anderen Signalform mittels eines [[Schmitt-Trigger]]s.

Ein zusätzlich zeitlich symmetrisches Signal erhält man bei stabiler Frequenz durch [[Frequenzteiler|Frequenzhalbierung]]. Bei Übertragung als [[Wechselspannung]] (also ohne einen Gleichanteil) ist eine zeitlich symmetrische Rechteckspannung auch in der Spannungshöhe symmetrisch.

Auch [[Quarzoszillator]]en geben meistens eine Rechteckschwingung ab, die zum Beispiel als [[Taktsignal]] für einen [[Mikroprozessor]] verwendet wird. Der [[Schwingquarz]] selbst führt dabei jedoch eine Sinusschwingung aus.

Davon abweichende Formen (zum Beispiel für Messzwecke) werden heute mit [[Funktionsgenerator]]en mittels [[Direct Digital Synthesis|direkter digitaler Synthese (DDS)]] erzeugt.

== Eigenschaften ==
Rechtecksignale sind durch folgende Eigenschaften charakterisiert:
* [[Frequenz]] bzw. [[Periodendauer]]
* Tastgrad: Er beträgt bei einer symmetrischen Rechteckschwingung 50 % und kann sonst im Bereich zwischen 0 und 100 % liegen.
* Anstiegs- und Abfallzeit: Rechteckschwingungen mit hoher [[Flankensteilheit]] enthalten besonders viele Oberschwingungen (siehe unten [[#Fourieranalyse|Fourieranalyse]])
* Low- und High-Pegel (zum Beispiel unipolar mit 0 und 5 Volt bei [[Transistor-Transistor-Logik|TTL]]-Schaltungen)

Eine weitere Eigenschaft in der Digitaltechnik ist der [[Jitter]], d. h. die zwischen den Impulsen auftretenden Zeitabweichungen bzw. die Frequenzschwankungen.

== Verwendung ==
Rechtecksignale sind die Grundlage der digitalen Signalverarbeitung. Rechteckschwingungen (d. h. periodische Rechtecksignale) treten u. a. auf:
* als Taktsignal für digitale Prozessoren und Controller
* als [[Pulsdauermodulation|pulsdauermoduliertes]] Signal bei Sensoren, [[Digital-Analog-Umsetzer|Digital-Analog-]] und [[Analog-Digital-Umsetzer]]n, [[Schaltregler]]n und [[Schaltnetzteil]]en sowie Klasse-D-[[Audioverstärker]]n
* als Testsignal an [[Oszilloskop]]en zum Abgleich der Frequenzkompensation der angeschlossenen [[Messspitze]]n
* am Ausgang von Impuls- und Funktionsgeneratoren für Laborzwecke
* in Synthesizern als eine der Grundschwingungsformen, häufig mit einstellbarer Pulsweitenmodulation
* als einfaches, digital erzeugbares Tonsignal (z. B. Signaltöne bei Geräten, Kinderspielzeug)

== Spektrale Betrachtung ==
Die Rechteckschwingung mit einer einzigen Frequenz kann auch als Summe von unendlich vielen einzelnen Sinusschwingungen mit diskreten Frequenzen angesehen werden.

=== Fourieranalyse ===
Die [[Fourieranalyse]] ermöglicht durch Anwendung mathematischer Verfahren die Zerlegung eines Signals in Sinus- und Kosinusfunktionen. Unter der Voraussetzung eines idealen und symmetrischen Rechtecksignals ohne Gleichanteil ergibt sich folgende [[Fourierreihe]]:
:<math>f(t)= \frac{4h}\pi \left[\sin(\omega t) + \frac13\sin(3\omega t) + \frac15\sin(5\omega t) + \dotsb\right] = \frac{4h}\pi \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin((2k-1)\omega t)}{2k-1}</math>
mit dem [[Scheitelwert]] <math>h</math> der Rechteckschwingung, deren Grundfrequenz <math>f</math> bzw. Grund-[[Kreisfrequenz]] <math>\omega=2\pi f</math> und der Zeit <math>t</math>. Die Formel zeigt, dass das [[Frequenzspektrum]] eines symmetrischen Rechtecksignals ausschließlich aus ungeradzahligen Harmonischen besteht. Diese diskreten Frequenzen und ihre Amplituden werden dementsprechend auch an einem [[Spektrumanalysator]] angezeigt, wenn man eine Rechteckschwingung anlegt. Die Amplituden der Oberschwingungen nehmen mit steigender Frequenz ab. Je steiler und schärfer die Rechteckschwingung ist, desto höher reichen die Harmonischen auf der Frequenzskala.

=== Fouriersynthese ===
[[Datei:Gibbssches Phänomen.png|mini|Gibbssches Phänomen bei einer Rechteckschwingung]]

Wird nun der Prozess umgekehrt und eine [[Fouriersynthese]] ausgeführt, dann ist das Resultat natürlich kein ideales Rechtecksignal, denn solche lassen sich in der Praxis nicht erreichen. Wegen des Fehlens der in der Praxis nicht übertragbaren hohen Frequenzanteile würde man an den Sprungstellen eine Verrundung erwarten. Aber es entsteht kein Rechtecksignal mit abgerundeten Ecken – die Fourierreihenentwicklung führt vielmehr zu einer Signalform, bei der das Signal vor und hinter den Sprungstellen unter das untere (gedachte) Impulsdach taucht und über das obere (gedachte) Impulsdach hinausschießt und in einer gedämpften Schwingung ausklingt. Auch wenn man sehr hohe Frequenzanteile benutzt, verschwindet das Überschwingen nicht – die maximale Schwingungsamplitude des Überschwingens bleibt gleich.

Diese Erscheinung wird als [[Gibbssches Phänomen]] bezeichnet und darf nicht mit dem bereits erwähnten Unter- und Überschwingen verwechselt werden, wird aber dennoch oft ebenso bezeichnet.

Um sich bei der Synthese aus harmonischen Schwingungen an ein reales Rechtecksignal ohne Überschwingen und mit endlichen Flanken sowie abgerundeten Ecken anzunähern (also das Gibbs-Phänomen wesentlich zu reduzieren), kann in der endlichen Reihe der Fourierentwicklung statt des letzten Gliedes ein sogenannter ''[[Lanczos]]-Sigma-Faktor'' eingeführt werden.<ref>{{MathWorld|id=LanczosSigmaFactor|title=Lanczos sigma Factor}}</ref>

[[Datei:Fourier synthesis.svg|gerahmt|links|Demonstration zur Erzeugung einer Rechteckschwingung durch Überlagerung von Sinusschwingungen (Fouriersynthese)]]
<div style="clear:both;"></div>

== Siehe auch ==
* [[Kippschwingung]]
* [[Schwebung]] (beinhaltet ein Klangbeispiel zur Schwebung von Rechteckschwingungen)
* [[Schwingung]]

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Michael Dickreiter]] |Titel=Handbuch der Tonstudiotechnik |Auflage=Band 1. 6., verbesserte |Verlag=K. G. Saur |Ort=München u. a. |Datum=1997 |ISBN=3-598-11320-X}}
* {{Literatur |Hrsg=[[Curt Rint]] |Titel=Handbuch für Hochfrequenz- und Elektro-Techniker |Auflage=Band 3. 12., ergänzte und völlig neu bearbeitete |Verlag=Hüthig und Pflaum |Ort=München u. a. |Datum=1979 |ISBN=3-8101-0044-7}}
* {{Literatur |Autor=Dieter Zastrow |Titel=Elektronik. Lehr- und Arbeitsbuch. Einführung in Analogtechnik, Digitaltechnik, Leistungselektronik, speicherprogrammierbare Steuerungen |Auflage=2., durchgesehene |Verlag=Vieweg |Ort=Braunschweig u. a. |Datum=1984 |ISBN=3-528-14210-3}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Square waves|Rechteckschwingung}}
* [http://www.sengpielaudio.com/Rechner-harmonische.htm Berechnen der 15 Obertöne aus der Grundfrequenz (Harmonische)]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Elektroakustik]]
[[Kategorie:Schwingung]]
[[Kategorie:Schwingungslehre]]

Rechteckschwingung - Versionsgeschichte

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