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2025-01-01T20:52:25Z

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[[Bild:Rectangular function.svg|mini|Rechteckfunktion]]
Die '''Rechteckfunktion''', auch '''rect'''-Funktion, ist eine [[Unstetigkeit|unstetige]] [[mathematische Funktion]] mit folgender Definition:

:<math>\operatorname{rect}(t) = \Pi(t) = \begin{cases}
0 & \text{wenn } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt]
\frac{1}{2} & \text{wenn } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt]
1 & \text{wenn } |t| < \frac{1}{2}
\end{cases}</math>

Alternative Definitionen, die vor allem im Bereich der [[Signalverarbeitung]] üblich sind, legen die Rechteckfunktion vereinfacht fest als:<ref>{{Literatur | Autor = Hans Dieter Lüke | Titel = Signalübertragung. Grundlagen der digitalen und analogen Nachrichtenübertragungssysteme | Verlag = Springer |Ort = Berlin u. a.| Jahr = 1995 | Auflage = 6., neubearbeitete und erweiterte | Seiten = 2 | ISBN = 3-540-58753-5 }}</ref>

:<math>\operatorname{rect_d}(t) = \begin{cases}
1 & \text{wenn } |t| \le \frac{1}{2} \\[3pt]
0 & \text{wenn } |t| > \frac{1}{2}
\end{cases}</math>

== Allgemeines ==
Die Rechteckfunktion kann auch mit Hilfe der [[Heaviside-Funktion]] <math>\Theta(x)</math> ausgedrückt werden als:

:<math>\operatorname{rect}(t) = \Theta \left( t + \frac{1}{2} \right) \cdot \Theta \left( \frac{1}{2} - t \right) =
\Theta \left( t + \frac{1}{2} \right) - \Theta \left( t - \frac{1}{2} \right)</math>
Dabei ist <math>\Theta(0) = \tfrac{1}{2}</math> gesetzt.

Die [[Fourier-Transformation]] der Rechteckfunktion ergibt die [[sinc-Funktion]] <math>\operatorname{sinc}(x) = \sin(\pi x)/ (\pi x)</math>:

:<math>\mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\} = \operatorname{sinc}(f)</math>

Das gilt auch für <math>\operatorname{rect_d}(t)</math>. Umgekehrt gilt allerdings formal nicht
:<math>\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}(t)\} = \operatorname{rect}(f)</math>.
Denn es ist <math>\operatorname{sinc} \notin L^1(\R^n) </math>, und somit konvergiert das Integral der gewöhnlichen Fouriertransformation nicht. Die Gleichung gilt allerdings im Sinne der Fouriertransformation [[Temperierte Distribution|temperierter Distributionen]].

== Verschiebung und Skalierung ==
Eine Rechteckfunktion, die bei <math>t_0</math> zentriert ist und eine Dauer von <math>T</math> hat, wird ausgedrückt durch
:<math>\operatorname{rect}\left(\frac{t-t_0}{T} \right) \, .</math>

== Ableitung ==
Die Rechteckfunktion ist als unstetige Funktion weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie [[Schwache Ableitung|schwach differenzierbar]]. Allerdings ist eine [[Distribution (Mathematik)|Distributionenableitung]] durch die diracsche [[Delta-Distribution]] <math>\delta</math> möglich:

:<math>\operatorname{rect}' (t) = \delta \left(t + \frac{1}{2} \right) - \delta \left(t - \frac{1}{2} \right)</math>

== Weitere Zusammenhänge ==
Die [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] zweier gleicher Rechteckfunktionen ergibt die [[Dreiecksfunktion]], die Integration eine [[Rampenfunktion]]. Eine Form mit [[Periodische Funktion|periodischer Fortsetzung]] der Rechteckfunktion sind die [[Rademacherfunktionen]]. Eine weitere Form der periodischen Fortsetzung von <math>\operatorname{rect} </math> ergibt die konstante Funktion <math>\operatorname{1} </math>.

Die mehrfache Faltung mit <math>n \in \N</math> Faltungen

:<math>\underbrace{\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) * \dotsm}_{n \text{-mal}}</math>

ergibt für <math>n \to \infty</math> mit einer geeigneten Skalierung die [[Gaußsche Glockenkurve#Definition|Gaußsche Glockenkurve]].

== Siehe auch ==
* [[Rechteckschwingung]]: Anwendung in der Signaltheorie und Elektrotechnik

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=RectangleFunction |title=Rectangle Function}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Rechteckfunktion - Versionsgeschichte

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