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2025-09-19T00:26:25Z

Parameter fix

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'''Reaktionsdiffusionsgleichungen''' (RD-Gleichungen) beschreiben Vorgänge, bei denen eine lokale Wechselwirkung und zusätzlich eine [[Diffusion]] auftritt. Ein Beispiel aus der Chemie sind etwa Modelle für die [[Belousov-Zhabotinsky-Reaktion]] (BZ-Reaktion), bei der räumliche Muster entstehen, weil eine lokal [[Oszillierende Reaktion|oszillierende chemische Reaktion]] mit einem Diffusionsvorgang gekoppelt ist. Ein Beispiel aus der Biologie sind räumliche Ausbreitungsprozesse von Tieren und Pflanzen. Hierbei hat der Interaktionsterm oft die Form einer logistischen [[Kolmogorov-Gleichung]].

Bei RD-Gleichungen handelt es sich um [[partielle Differentialgleichung]]en zweiten Grades, die der Form nach [[Geschwindigkeitsgesetz|Geschwindigkeitsgesetze]] sind (Herleitung siehe dort). Sie beschreiben also die zeitliche Änderung einer Größe X (z. B. [[Stoffmenge]], [[Abundanz (Ökologie)|Abundanz]], [[Konzentration (Chemie)|Konzentration]] o. Ä.):

:<math>\frac{\partial}{\partial t}u = f(u) + D \cdot \frac{\partial^2}{\partial x^2}u </math>.

* Die Funktionen <math>u</math> der Zeit <math>t</math> und des Ortes <math>x</math> bilden die Größen ab, deren Dynamik beschrieben wird. Dabei können mehrere Stoffe, die miteinander wechselwirken, berücksichtigt werden, indem man <math>u</math> eine Vektorform gibt und die Gleichung als Matrix-Gleichung auffasst.
* Die Funktion <math>f(u)</math> beschreibt den Reaktionsanteil. Ohne den Reaktionsanteil hätte die RD-Gleichung die Form der [[Wärmeleitungsgleichung]].
* Der Term <math>D \cdot \tfrac{\partial^2}{\partial x^2}u</math> stammt aus dem [[Diffusion#Zweites Ficksches Gesetz (Diffusionsgleichung)|2. Fickschen Gesetz]] und beschreibt die Diffusion.
** <math>D</math> ist der [[Diffusionskoeffizient]].
Liegt außerdem ein gerichteter Transportprozess vor ([[Konvektion]]), so muss die obige Reaktions-Diffusionsgleichung um einen Konvektionsterm erweitert werden, analog zur [[Konvektions-Diffusions-Gleichung]].

Reaktionsdiffusionsgleichungen finden in der [[Technische Chemie|Technischen Chemie]] und im [[Maschinenbau]] Anwendung. Dort werden verschiedene Systeme betrachtet, bei denen Reaktion, Diffusion und Konvektion zusammen auftreten ([[Makrokinetik]]). Beispiele sind die Auslegung von [[Chemischer Reaktor|chemischen Reaktoren]] oder technische [[Verbrennung (Chemie)|Verbrennung]]svorgänge.
In der [[Entwicklungsbiologie]] spielen Reaktionsdiffusionsgleichungen seit [[Alan Turing]] eine überragende Rolle bei der mathematischen Theorie der [[Morphogenese]], siehe [[Turing-Mechanismus]]. Systeme mit einer aktivierenden und zwei inhibierenden Komponenten spielen eine wichtige Rolle bei der Modellierung der [[Strukturbildung]]sprozesse [[Lokalisierung (Physik)|lokalisierter]] teilchenartiger Strukturen, sogenannter [[Dissipative Struktur|dissipativer]] [[Soliton]]en, die z. B. bei oszillierenden chemischen Reaktionen vom Typ der [[Belousov-Zhabotinsky-Reaktion]] und [[Halbleiter]]-[[Gasentladung]]ssystemen beobachtet werden. Auch [[Chemische Welle]]n und Ausbreitung von Nervenpulsen werden mit Reaktions-Diffusions-Gleichungen beschrieben.

== Spezielle Fälle ==
Je nach der Form des Reaktionsanteils werden Spezialversionen der RD-Gleichungen unterschieden:<ref> B. H. Gilding u. a. (Hrsg.), Travelling waves in nonlinear diffusion-convection equation reaction, Birkhäuser 2004, S. 2</ref>
* <math>f(u)= u \cdot (1-u)</math> die Fisher-Gleichung, sie findet Anwendung in der Populationsdynamik (ohne den Diffusionsterm wäre es die Differentialgleichung für die [[Logistische Funktion]]). Eine etwas allgemeinere Variante ist die [[KPP-Gleichung]] bei der <math>f(1)=f(0)=0</math>, <math>f(u') >0</math> und <math>\frac {df}{du} (u') < \frac {df}{du} (0)</math> für <math>0< u' <1</math>. Die Fisher-Gleichung und die Newell-Whitehead-Gleichung sind Spezialfälle der KPP-Gleichung.
* <math>f(u)= u^2 \cdot (1-u) </math>, [[Seldowitschgleichung]] (Zeldovich-Gleichung) zum Beispiel bei Verbrennungsvorgängen.
* <math>f(u)= u (1-u^2)</math> Newell-Whitehead-Gleichung oder Amplituden-Gleichung, angewandt bei der [[Rayleigh-Bénard-Konvektion]].
* <math>f(u)= u \cdot (1-u) \cdot (u-\alpha)</math> (mit einem Parameter <math>0<\alpha <1</math>) Nagumo-Gleichung für Ausbreitung von Nervenpulsen in einem Axon

Ein weiteres Beispiel ist die [[Poröse-Medien-Gleichung]] und die [[Burgersgleichung]].

== Teilchenmodelle ==
Eine detailgetreue Beschreibung von Reaktionsdiffusionssystemen kann mit [[Teilchenmodell]]en wie SRSim oder ReaDDy erfolgen.<ref>Simulation tools for particle-based reaction-diffusion dynamics in continuous space https://link.springer.com/article/10.1186/s13628-014-0011-5</ref>
Beispielsweise mit Algorithmen wie Reversible interacting-particle reaction dynamics.<ref>Fröhner, Christoph, and Frank Noé. "Reversible interacting-particle reaction dynamics." The Journal of Physical Chemistry B 122.49 (2018): 11240–11250.</ref>

== Siehe auch ==
* [[Belousov-Zhabotinsky-Reaktion]]
* [[Morphogenese]]
* [[Liesegangsche Ringe]]
* [[KPP-Gleichung]]

== Literatur ==
* Dilip Kondepudi, [[Ilya Prigogine]]: ''Modern Thermodynamics. From Heat Engines to Dissipative Structures.'' John Wiley & Sons, Chichester u. a. 1998, ISBN 0-471-97393-9.
* [[James D. Murray|J. D. Murray]]: ''Mathematical Biology.'' 2 Bände. 3. edition, corrected printing. Springer, New York NY u. a. 2008, ISBN 978-0-387-95223-9 (Bd. 1), ISBN 978-0-387-95228-4 (Bd. 2), (''Interdisciplinary applied mathematics'' 17–18).
* Andreas W. Liehr: ''Dissipative Solitons in Reaction Diffusion Systems. Mechanism, Dynamics, Interaction.'' Volume 70 of Springer Series in Synergetics, Springer, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-31250-2.
* {{cite book |last=Grzybowski |first=B. A. |url=https://www.wiley.com/en-al/Chemistry+in+Motion%3A+Reaction+Diffusion+Systems+for+Micro+and+Nanotechnology-p-9780470030431 |date=2009 |title=Chemistry in Motion: Reaction-Diffusion Systems for Micro- and Nanotechnology |language=en}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4323967-5|LCCN=sh90003490}}

[[Kategorie:Nichtgleichgewichtsthermodynamik]]
[[Kategorie:Biophysik]]
[[Kategorie:Kinetik (Chemie)]]
[[Kategorie:Partielle Differentialgleichung]]

Reaktionsdiffusionsgleichung - Versionsgeschichte

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