~2026-26190-00: /* Literatur */ Zwei Quellen ergänzt, in denen die Rayleigh-Verteilung beschrieben ist.

2026-04-30T14:45:28Z

Literatur: Zwei Quellen ergänzt, in denen die Rayleigh-Verteilung beschrieben ist.

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[[Datei:Rayleigh-verteilung.svg|mini|300px|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in Abhängigkeit von <math>\sigma</math>]]

In der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] und [[Statistik]] wird mit '''Rayleigh-Verteilung''' (nach [[John William Strutt, 3. Baron Rayleigh]]) oder '''Betragsverteilung 2. Art''' eine kontinuierliche [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] bezeichnet.

Wenn die Komponenten eines zweidimensionalen Zufallsvektors [[Normalverteilung|normalverteilt]] und [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|stochastisch unabhängig]] sind, dann ist der [[Vektor#Länge/Betrag eines Vektors|Betrag]] Rayleigh-verteilt. Dies tritt zum Beispiel in einem funktechnisch genutzten [[Übertragungskanal]] bei Mobilfunksystemen auf, wenn zwischen dem Sender, wie einer Basisstation, und dem Empfänger, beispielsweise einem Mobiltelefon, kein direkter Sichtkontakt besteht. Der durch die Mehrwegeausbreitung über verschiedene, zufällige Reflexion und Streuungen, beispielsweise an Gebäudewänden und anderen Hindernissen, beeinträchtigte Übertragungskanal lässt sich dann mit Hilfe der Rayleigh-Verteilung als sogenannter [[Rayleigh-Kanal]] modellieren.

Die Verteilung von 10-Minutenmittelwerten der Windgeschwindigkeit werden ebenfalls des Öfteren durch eine Rayleigh-Verteilung beschrieben, wenn nicht eine zweiparametrige [[Weibull-Verteilung]] gewählt werden soll.

== Definition ==
Eine stetige [[Zufallsvariable]] <math>X</math> heißt '''Rayleigh-verteilt''' mit Parameter <math>\sigma>0</math>, wenn sie die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]]
:<math>f(x|\sigma) = \begin{cases}\displaystyle
\frac{x}{\sigma^2} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} & x \geq 0 \\
0 & x <0
\end{cases}
</math>
besitzt. Daraus ergibt sich die [[Verteilungsfunktion]]
:<math>F(x) = \begin{cases}\displaystyle
1 - e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} & x \ge 0 \\
0 & x<0
\end{cases}
</math>

== Eigenschaften ==

=== Momente ===
Die [[Moment (Stochastik)|Momente]] beliebiger Ordnung können über folgende Formel errechnet werden:
:<math>\mu_k=\sigma^k2^{k/2}\,\Gamma(1+k/2)\,</math>,
wobei <math>\Gamma(\cdot)</math> die [[Gammafunktion]] darstellt.

=== Erwartungswert ===
Der [[Erwartungswert]] ergibt sich zu
:<math>\operatorname{E}(X)=\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}</math>.

=== Varianz ===
Die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] der Verteilung ist
:<math>\operatorname{Var}(X)=\frac{4-\pi}{2} \sigma^2</math>.
Somit ist das Verhältnis zwischen Erwartungswert und [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] bei dieser Verteilung konstant:
:<math>\frac{\operatorname{E}(X)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{2}{4-\pi}} =\sqrt{\frac{\pi}{4-\pi}}\approx 1{,}91</math>.

=== Schiefe ===
Für die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] erhält man
:<math>\operatorname{v}(X)=\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}} \approx 0{,}6311</math>.

=== Wölbung (Kurtosis)===
Die [[Wölbung (Statistik)|Wölbung]] ergibt sich zu
:<math>\beta_2(X) = - \frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2} \approx 0{,}2451</math>.

=== Charakteristische Funktion ===
Die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] ist
:<math>\varphi(t)=1-\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\operatorname{erf}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)-i\right)</math>.

wobei <math>\operatorname{erf}(\cdot)</math> die komplexe [[Fehlerfunktion]] ist.

=== Momenterzeugende Funktion ===
Die [[momenterzeugende Funktion]] ist gegeben durch
:<math>M(t)=1+\sigma te^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\left(\operatorname{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)+1\right)</math>,
wobei <math>\operatorname{erf}(\cdot)</math> wiederum die Fehlerfunktion ist.

=== Entropie ===
Die [[Entropie (Informationstheorie)|Entropie]], ausgedrückt in [[Nit (Informationseinheit)|nats]], ergibt sich zu
:<math>1+\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma}{2}</math>,
wobei <math>\gamma</math> die [[Euler-Mascheroni-Konstante]] bezeichnet.

=== Modus ===
Das Maximum erreicht die Rayleigh-Verteilung für <math>x = \sigma</math>, denn für <math>x \geq 0</math> gilt
:<math>0 = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\left(x\right) = \frac{e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}}{\sigma^2} - x^2 \frac{e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}}{\sigma^4} \quad \Longleftrightarrow \quad x = \sigma</math>.
Damit ist <math>\sigma</math> der [[Modus (Statistik)|Modus]] der Rayleigh-Verteilung.

Im Maximum hat <math>f</math> den Wert
:<math>f\left(\sigma\right) = \frac{1}{\sigma}e^{-\frac{1}{2}}</math>.

== Parameterschätzung ==

Die [[Maximum-Likelihood-Methode|Maximum-Likelihood-Schätzung]] von <math>\sigma</math> aus Messwerten <math>x_1, \ldots, x_n</math> erfolgt über:

:<math>\sigma\approx\sqrt{\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n x_i^2}</math>

== Beziehungen zu anderen Verteilungen ==
Die [[Chi-Verteilung]], [[Weibull-Verteilung]] und [[Rice-Verteilung]] sind Verallgemeinerungen der Rayleigh-Verteilung.

=== Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung ===
Wenn <math>R \sim \mathrm{Rayleigh}(1)</math>, dann ist <math>R^2</math> [[Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-verteilt]] mit zwei [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Freiheitsgraden]]: <math>R^2 \sim \chi^2_2</math>

=== Beziehung zur Weibull-Verteilung ===
<math>\mathrm{Rayleigh}(\sigma^2) = \mathrm{Wei}\left(\frac{1}{2 \sigma^2}, 2\right) </math>

=== Beziehung zur Rice-Verteilung ===
<math>\mathrm{Rayleigh}(\sigma) = \mathrm{Rice}(0,\sigma) </math>

=== Beziehung zur Exponentialverteilung ===
Wenn <math>X</math> [[Exponentialverteilung|exponentialverteilt]] mit <math>X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)</math> ist, dann ist <math>Y=\sqrt{X} \sim \mathrm{Rayleigh}\left(\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}\right)</math>.

=== Beziehung zur Gammaverteilung ===
Wenn <math>R \sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma)</math>, dann ist <math>\sum_{i=1}^N R_i^2</math> [[Gammaverteilung|gammaverteilt]] mit den Parametern <math>N</math> und <math>2\sigma^2</math>: <math>Y=\sum_{i=1}^N R_i^2 \sim \Gamma(N,2\sigma^2)</math>.

=== Beziehung zur Normalverteilung ===
<math>\sqrt{X^2 + Y^2}</math> ist Rayleigh-verteilt, wenn <math>X \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)</math> und <math>Y \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)</math> zwei [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|stochastisch unabhängige]] [[Normalverteilung|normalverteilte]] Zufallsgrößen sind.

== Literatur ==
*{{Literatur
|Autor = Edgar Dietrich, Alfred Schulze
|Titel = Statistische Verfahren zur Maschinen- und Prozessqualifikation
|Verlag = Carl Hanser Verlag | Auflage = 6. | Jahr = 2009 | ISBN = 978-3-44641525-6 }}
*Horst RINNE: Taschenbuch der Statistik. Verlag Harri Deutsch (2008), ISBN 978-38171-1827-4, Seite 297
*Catherine FORBES, Merran EVANS, Nicholas HASTINGS, Brian PEACOCK: Statistical Distributions, 4. Auflage, John Wiley & Sons (2011), ISBN 978-0-470-39063-4, Kapitel 39

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}

[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:John Strutt, 3. Baron Rayleigh, als Namensgeber]]

Rayleigh-Verteilung - Versionsgeschichte

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