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2026-04-11T10:35:04Z

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Das '''Rayleigh-Ritz-Prinzip''' (auch '''Verfahren von Ritz''' oder '''Rayleigh-Ritzsches Variationsverfahren''') ist ein [[Variationsprinzip]] zur Bestimmung des kleinsten Eigenwerts eines [[Eigenwertproblem]]s. Es geht auf das Buch ''The Theory of Sound''<ref>{{Literatur |Autor=R.W.B. Stephens, Murray Campbell |Titel=Rayleigh, John William Strutt, 3rd Baron |Sammelwerk=Oxford Music Online |Verlag=Oxford University Press |Datum=2001 |DOI=10.1093/gmo/9781561592630.article.22977 |Online=http://www.oxfordmusiconline.com/grovemusic/view/10.1093/gmo/9781561592630.001.0001/omo-9781561592630-e-0000022977 |Abruf=2022-10-18}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=John William Strutt |Titel=The Theory of Sound |Auflage=1 |Verlag=Cambridge University Press |Datum=2011-06-02 |ISBN=978-1-108-03220-9 |DOI=10.1017/cbo9781139058087 |Online=https://www.cambridge.org/core/product/identifier/9781139058087/type/book |Abruf=2022-10-18}}</ref> von [[John William Strutt, 3. Baron Rayleigh]] (1877) zurück und wurde 1908 vom Mathematiker [[Walter Ritz]] als mathematisches Verfahren veröffentlicht.<ref>{{Literatur |Autor=Walter Ritz |Titel=Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik. |Sammelwerk=Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) |Band=1909 |Nummer=135 |Datum=1909-01-01 |ISSN=0075-4102 |DOI=10.1515/crll.1909.135.1 |Seiten=1–61 |Online=https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/crll.1909.135.1/html |Abruf=2022-10-18}}</ref>

Es sei <math>H</math> ein linearer, [[selbstadjungierter Operator]] auf einem [[Hilbertraum]] über <math>\mathbb{C}</math> mit Definitionsbereich <math>D(H)</math>. Dann ist das [[Infimum]] des [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrums]] <math>\sigma(H)</math> gegeben durch<ref>{{Literatur |Autor=Mathieu Lewin |Titel=Spectral Theory and Quantum Mechanics |Auflage= |Verlag=Springer International Publishing |Ort=Cham |Datum=2024 |ISBN=978-3-031-66877-7 |Seiten=64}}</ref>
:<math> \inf \sigma(H) = \inf_{\psi\in D(H)\setminus\{0\}}\frac{\langle\psi| H|\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle}</math>.

Ist <math>E_0=\inf \sigma(H)</math> ein Eigenwert, und somit insbesondere endlich, so erhält man die Ungleichung
:<math> E_0 \leq \frac{\langle\psi| H |\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle}</math>

mit Gleichheit genau dann, wenn <math>\psi</math> ein [[Eigenvektor]] zu <math>E_0</math> ist. Der Quotient auf der rechten Seite ist als [[Rayleigh-Quotient]] bekannt.

In der Praxis eignet es sich auch als Näherungsverfahren, indem man einen Ansatz für <math>|\psi\rangle</math> mit unbestimmten Parametern macht und die Parameter so optimiert, dass der Rayleigh-Quotient minimal wird. Statt über Vektoren im Definitionsbereich <math>D(H)</math> kann man auch über Vektoren im [[Spektralsatz#Spektralsatz für unbeschränkte Operatoren|quadratischen Formenbereich]] <math>Q(H)</math> optimieren, was dann einer schwachen Formulierung des Eigenwertproblems entspricht.

== Anwendungen ==
Das Prinzip kommt beispielsweise bei der Berechnung von Parametern des Schwingungsverhaltens von elastischen [[Platte (Technische Mechanik)|Platten]], aber auch anderer elastischer Körper (wie etwa [[Balken]]) zur Anwendung,<ref>{{Literatur |Autor=Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich |Titel=Der Rayleigh-Quotient und das Ritz’sche Verfahren |Sammelwerk=Strukturdynamik |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2021 |ISBN=978-3-662-61767-0 |DOI=10.1007/978-3-662-61768-7_14 |Seiten=485–497 |Online=http://link.springer.com/10.1007/978-3-662-61768-7_14 |Abruf=2022-10-18}}</ref> wenn exakte Lösungen nicht mehr mit elementaren Rechenmethoden zu erreichen sind.

Grundgedanke ist das Gleichgewicht der potenziellen Kräfte von äußeren, eingeprägten und inneren Kräften. Diese Potenziale werden durch Verformungsgrößen ausgedrückt (z. B. [[Durchbiegung]]). Die [[Spannung (Mechanik)|Spannungen]] werden dabei durch [[Dehnung]]en oder [[Scherung (Mechanik)|Scherungen]] nach dem [[Hookesches Gesetz|Hookeschen Gesetz]] ausgedrückt. Das Verfahren kann als Vorstufe der [[Finite-Elemente-Methode]] betrachtet werden.<ref>{{Literatur |Autor=Peter Steinke |Titel=Das Verfahren von Ritz |Sammelwerk=Finite-Elemente-Methode |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2004 |ISBN=978-3-540-44226-4 |DOI=10.1007/978-3-662-07240-0_4 |Seiten=59–78 |Online=http://link.springer.com/10.1007/978-3-662-07240-0_4 |Abruf=2022-10-18}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Martin J. Gander, Gerhard Wanner |Titel=From Euler, Ritz, and Galerkin to Modern Computing |Sammelwerk=SIAM Review |Band=54 |Nummer=4 |Datum=2012-01-01 |ISSN=0036-1445 |DOI=10.1137/100804036 |Seiten=627–666 |Online=https://epubs.siam.org/doi/10.1137/100804036 |Abruf=2022-10-18}}</ref>

In der [[Quantenmechanik]] besagt das Prinzip, dass für die [[Gesamtenergie]] <math>\mathcal{} E_0</math> des Systems im [[Grundzustand]] <math>|\psi_0\rangle</math> (also für den diesbezüglichen [[Erwartungswert]] des [[Hamilton-Operator]]s <math>H</math>) und für beliebige [[Wellenfunktion]]en bzw. Zustände <math>|\psi\rangle</math> der Erwartungswert <math>\langle\psi|H|\psi\rangle</math> größer oder gleich (gleich im Fall der exakten Grundzustandswellenfunktion) der Grundzustandsenergie des Systems ist:

: <math>E_0 \le \langle H\rangle[\psi]\,:= \langle\psi| H|\psi\rangle, \qquad \|\psi\|=1.</math>

In der Regel ist der Hamilton-Operator dabei [[Halbbeschränkter Operator|nach unten beschränkt]] und hat an der unteren Grenze des Spektrums einen (nicht entarteten) Eigenwert („Grundzustand“).
Die Probe-Wellenfunktion kann zwar von der exakten Grundzustandsfunktion erheblich abweichen, wird ihr aber umso ähnlicher, je näher die berechnete Gesamtenergie an der Grundzustandsenergie ist.

== Ritz-Verfahren ==
Das Ritz’sche [[Variationsrechnung|Variationsverfahren]]<ref>J.K. MacDonald, ''Successive Approximations by the Rayleigh-Ritz Variation Method'', Physical Review {{ISSN|0031-899X}}, Band 43, (1933), S. 830–833.</ref> wendet das Rayleigh-Ritz-Prinzip direkt an. Dazu wird eine [[Familie (Mathematik)|Familie]] von Testvektoren, die über einen Satz von Parametern ''β'' variiert werden, verwendet. So kann eine (nicht notwendig endliche) Menge von Vektoren <math>|\psi_n\rangle </math> gewählt werden und der Testvektor als [[Linearkombination]] dargestellt werden:
:<math>\langle \psi_{\vec\beta} \rangle =\sum_n \beta_n |\psi_n\rangle</math>
Oder man wählt eine Familie von Funktionen, die über einen Parameter variiert werden, wie etwa [[Gauß-Kurve]]n mit verschiedener Breite <math>\beta</math>:
:<math>\psi_{\beta}(x)=\frac{1}{\beta\sqrt{2\pi}}\cdot\exp\left[-\frac{x^2}{2\beta^2}\right]</math>
Nun setzt man diese Funktionen in obigen Ausdruck ein und sucht den minimalen Wert von <math>\langle H\rangle[\psi_\beta]</math>. Im einfachsten Fall kann dies durch Differentiation nach dem Parameter <math>\beta</math> geschehen:
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\beta}\langle H\rangle[\psi_\beta]=0</math>
Löst man diese Gleichung, so erhält man für <math>\beta</math> einen Wert, für den die Grundzustandsenergie minimiert wird. Mit diesem Wert hat man eine Näherungslösung, weiß aber nicht, wie gut der Ansatz wirklich ist, weshalb man von „unkontrollierten Verfahren“ spricht. Immerhin kann man den Minimalwert als „beste Annäherung“ an die tatsächliche Grundzustandsenergie benutzen.

== Zum Beweis ==
Das Prinzip ist unmittelbar einsichtig, wenn man voraussetzt, dass es eine [[Orthonormalbasis]] aus Eigenvektoren <math>|\psi_n\rangle</math> von <math>H</math> mit zugehörigen Eigenwerten <math>E_n</math> gibt. Diese Eigenwerte <math> E_0 \le E_1 \leq \cdots</math> seien geordnet, dann erhält man durch Entwicklung
:<math>|\psi \rangle= \sum_n | \psi_n\rangle \langle \psi_n| \psi\rangle </math>
eines beliebigen Vektors <math>|\psi\rangle</math> nach dieser Orthonormalbasis

:<math>
\begin{align}
\langle \psi|H|\psi \rangle &= \sum_n \langle \psi|H|\psi_n\rangle \langle \psi_n|\psi\rangle \\
&= \sum_n E_n \langle\psi| \psi_n\rangle \langle \psi_n|\psi \rangle \\
&\geq E_0\sum_n\langle \psi| \psi_n\rangle \langle \psi_n|\psi \rangle \\
&= E_0 \langle \psi|\psi \rangle \,.
\end{align}
</math>

Im allgemeinen Fall eines beliebigen Spektrums kann zum Beweis ein analoges Argument gemacht werden, indem man gemäß dem [[Spektralsatz]] die Summe durch ein Integral über die Spektralschar ersetzt.

== Erweiterungen ==
Eine Erweiterung ist der [[Satz von Courant-Fischer]],<ref>{{Literatur |Autor=Gerald Teschl |Titel=Mathematical Methods in Quantum Mechanics |TitelErg=With Applications to Schrödinger Operators |Verlag=American Mathematical Society |Datum=2009 |ISBN=978-0-8218-4660-5 |Seiten=119 |Kommentar=Theorem 4.10 |Online=[http://books.google.de/books?id=7JJc1So8_2wC&pg=PA119 online] |Abruf=2012-04-07}}</ref> der ein Variationsprinzip für alle Eigenwerte unterhalb des [[Wesentliches Spektrum|wesentlichen Spektrums]] darstellt. Eine exakte Abschätzung eines Eigenwerts nach oben und unten liefert die [[George Temple|Temple]]-Ungleichung.<ref>{{Literatur |Autor=George Temple |Titel=The theory of Rayleigh's principle as applied to continuous systems |Sammelwerk=Proc. Roy. Soc. London |Band=Ser. A 119 |Datum=1928 |Seiten=276-293}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Gerald Teschl |Titel=Mathematical Methods in Quantum Mechanics |TitelErg=With Applications to Schrödinger Operators |Verlag=American Mathematical Society |Datum=2009 |ISBN=978-0-8218-4660-5 |Seiten=120 |Kommentar=Theorem 4.13 |Online=[http://books.google.de/books?id=7JJc1So8_2wC&pg=PA120 online] |Abruf=2012-04-07}}</ref>

== Literatur ==
* Hans Cycon, Richard G. Froese, [[Werner Kirsch (Mathematiker)|Werner Kirsch]], Barry Simon: Schrödinger Operators, Springer 1987
* Michael Reed, [[Barry Simon]]: Methods of Modern Mathematical Physics, 4 Bände, Academic Press 1978, 1980
* John William Strutt, 3. Baron Rayleigh, The Theory of Sound, 1877
* W. Ritz: ''Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik.'' In: Journal für die reine und angewandte Mathematik {{ISSN|0075-4102}}, Band 135, 1908, S. 1–61.
* W. Ritz: ''Theorie der Transversalschwingungen einer quadratischen Platte mit freien Rändern.'' In: Annalen der Physik {{ISSN|0003-3804}}, (4. Folge) Band 28, 1909, S. 737–786.
*{{EoM
| Titel = Ritz method
| Autor = G.M. Vainikko
| Url = http://eom.springer.de/R/r082500.htm
}}
* [[Gerald Teschl]]: Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators, American Mathematical Society, 2009 ([http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ Freie Online-Version])
* [[Karl-Eugen Kurrer]]: ''Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht'', Ernst und Sohn, Berlin 2016, ISBN 978-3-433-03134-6, S. 519 ff.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Quantenchemie]]
[[Kategorie:John Strutt, 3. Baron Rayleigh, als Namensgeber]]

Rayleigh-Ritz-Prinzip - Versionsgeschichte

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