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Der '''Rayleigh-Quotient''', auch '''Rayleigh-Koeffizient''' genannt, ist ein Objekt aus der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]], das nach dem Physiker [[John William Strutt, 3. Baron Rayleigh]] benannt ist. Der Rayleigh-Quotient wird insbesondere zur [[Numerik|numerischen]] Berechnung von [[Eigenwert]]en einer quadratischen [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A</math> verwendet.

== Definition ==
Sei <math>A \in {\mathbb K}^{n \times n}</math> eine reelle [[symmetrische Matrix|symmetrische]] oder komplexe [[hermitesche Matrix]] und <math>x \in {\mathbb K}^n</math> mit <math>x\neq 0</math> ein [[Vektor]], dann ist der Rayleigh-Quotient von <math>A</math> zum Vektor <math>x</math> definiert durch<ref>{{Literatur |Titel=Numerik-Algorithmen|Autor=Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin, Heidelberg|Auflage=10|Datum=2011|ISBN=978-3-642-13472-2|Kapitel=Abschnitt 7.4 Konvergenzverbesserung mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten im Falle hermitescher Matrizen}}</ref>
:<math>R_A(x) = \frac{x^* A x}{x^*x}\,.</math>
Hierbei bezeichnet <math>x^* = {\overline x}^T</math> den [[adjungierte Matrix|adjungierten]] Vektor von <math>x</math>. Der [[Bild (Mathematik)|Bildbereich]] des Rayleigh-Quotienten ist genau der [[Numerischer Wertebereich (Hilbertraum)|numerische Wertebereich]] von <math>A</math>.

== Eigenschaften ==

Bei einer [[Skalarmultiplikation|Multiplikation]] des Vektors <math>x</math> mit einem Skalar <math>\alpha \neq 0 </math> ändert sich der Rayleigh-Quotient nicht: <math>R_A(\alpha x) = R_A(x)</math>, er ist also eine [[homogene Funktion]] vom Grad 0.

Der Rayleigh-Quotient hat eine enge Beziehung zu den [[Eigenwert]]en von <math>A</math>. Ist <math>v</math> ein [[Eigenvektor]] der Matrix <math>A</math> und <math>\lambda</math> der zugehörige Eigenwert, dann gilt:
:<math>R_A(v) = \frac{v^* A v}{v^*v} = \frac{v^* \lambda v}{v^*v} = \lambda\,.</math>
Durch den Rayleigh-Quotienten wird also jeder Eigenvektor von <math>A</math> auf den dazugehörigen Eigenwert <math>\lambda</math> abgebildet. Diese Eigenschaft wird unter anderem in der numerischen Berechnung von Eigenwerten benutzt. Insbesondere gilt für eine [[Symmetrische Matrix|symmetrische]] oder [[Hermitesche_Matrix|hermitesche]] Matrix <math>A</math> mit dem kleinsten Eigenwert <math>\lambda_{\rm min}</math> und dem größten Eigenwert <math>\lambda_{\rm max}</math> nach dem [[Satz von Courant-Fischer]]:
:<math>\lambda_{\rm min} \leq R_A(x) \leq \lambda_{\rm max}\,.</math>

Die Berechnung des kleinsten bzw. größten Eigenwerts ist damit äquivalent zum Auffinden des Minimums bzw. Maximums des Rayleigh-Quotienten. Das lässt sich unter geeigneten Voraussetzungen auch noch auf den unendlichdimensionalen Fall verallgemeinern und ist als [[Rayleigh-Ritz-Prinzip]] bekannt.

Die Eigenvektoren hermitescher Matrizen <math>A</math> bilden die [[Stationärer Punkt|stationären Punkte]] des Rayleigh-Quotienten. Dies gilt nicht für asymmetrische Matrizen.
Deswegen führte [[Alexander Markowitsch Ostrowski|Ostrowski]] 1958/59 den sogenannten 2-seitigen Rayleigh-Quotienten
:<math>R_A(x,y) = \frac{y^* A x}{y^*x}</math>
ein, wobei <math>y^*x \neq 0</math>, der wiederum stationär an den Rechts- und [[Linkseigenvektor]]en <math>x</math> und <math>y</math> ist. Da für [[Normale Matrix|normale Matrizen]] Rechts- und Linkseigenvektoren übereinstimmen, fällt der 2-seitige mit dem (einseitigen) Rayleigh-Quotienten in diesem Fall zusammen.

== Verwendung in der Numerischen Mathematik ==
Bei numerischen Verfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen, die, wie beispielsweise die [[Vektoriteration]] oder die [[inverse Iteration]], primär Eigenvektornäherungen berechnen, lassen sich mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten zusätzlich auch Eigenwertnäherungen bestimmen. Bei der inversen Iteration wird ein Parameter <math>\theta</math>, der ''Shift'', benötigt. Wird <math>\theta</math> in jedem Iterationsschritt als Rayleigh-Quotient der aktuellen Eigenvektornäherung gewählt, ergibt dies das sogenannte [[Rayleigh-Quotienten-Verfahren]].<ref>[[Lloyd Nicholas Trefethen|Lloyd N. Trefethen]], David Bau: ''Numerical Linear Algebra.'' SIAM, 1997, ISBN 978-0-89871-361-9, S. 207–210 ({{Google Buch |BuchID=bj-Lu6zjWbEC |Seite=207}}).</ref>

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Numerische lineare Algebra]]
[[Kategorie:John Strutt, 3. Baron Rayleigh, als Namensgeber]]

Rayleigh-Quotient - Versionsgeschichte

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