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2026-01-07T14:48:43Z

Antennen

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[[Datei:Airydisks rayleigh sqrt.png|mini|200px|Überlagerung zweier nach Rayleigh gerade noch auflösbarer Beugungsbilder]]
Das '''Rayleigh-Kriterium''' ist eine [[heuristisch]]e Bedingung für den Abstand zweier [[Lichtquelle]]n, um sie als getrennt erkennen zu können. Nach [[John William Strutt, 3. Baron Rayleigh]], ist dieser Mindestabstand gleich dem Abstand des ersten Minimums vom Zentrum des [[Beugung (Physik)|Beugungs]]<nowiki/>musters. Durch diesen Bezug ist das Kriterium nur anwendbar, sofern das [[Auflösungsvermögen]] durch Beugung begrenzt ist und das Beugungsmuster überhaupt ein Minimum aufweist. Es gibt allgemeiner anwendbare Kriterien.

== Beugung am Spalt ==
Falls die beugungsbegrenzte Auflösung in nur einer Richtung interessiert, wie etwa bei optischen [[Inkrementalgeber]]n, ist die Beugung am [[Optischer Spalt|Spalt]] zu betrachten. Für den [[Spektralfarbe|einfarbig]] beleuchteten [[Einzelspalt]] etwa ergibt sich für den noch trennbaren Winkel (im [[Bogenmaß]]):

:<math>\alpha = \arcsin \left( \frac{\lambda}{d} \right) \approx \frac{\lambda}{d}</math>

mit
* der Wellenlänge <math>\lambda</math>
* der Spaltbreite <math>d.</math>

In einem Abstand <math>l</math> vom Spalt ergibt sich daraus die beobachtbare [[Halbwertsbreite]] <math>b:</math>

:<math>b = l \cdot \tan(\alpha) \approx l \cdot \frac{\lambda}{d}</math>

Beide [[Approximation|Näherungen]] für den Winkel (im Bogenmaß) gelten, falls die Wellenlänge des verwendeten Lichts viel kleiner als die Spaltbreite ist:

::<math>\lambda \ll d</math>

== Beugung an einer Blende ==
Für [[Bildgebendes Verfahren|bildgebende]] Optiken bedeutsam ist der Fall der Beugung an einer kreisförmigen [[Blende (Optik)|Blende]] mit Durchmesser ''d'', z. B. der Öffnung eines [[Teleskop]]s, siehe [[Beugungsscheibchen]]. Dann gilt für die Winkelentfernung des ersten Minimums:

:<math>\alpha = \arcsin\Bigl( 1{,}22 \cdot \frac{\lambda}{d} \Bigr) \approx 1{,}22 \cdot \frac{\lambda}{d}</math>

Dieses formale Ergebnis liegt nahe am [[empirisch]] gefundenen [[Dawes-Kriterium]] für visuelle Beobachtungen an [[Doppelstern]]en.

== Optische Mikroskopie ==
Bei einem [[Mikroskop]] spricht man von der [[Abbesche Auflösungsgrenze|Abbeschen Auflösungsgrenze]], die durch die [[numerische Apertur]] <math>\text{NA}</math> und die Wellenlänge bestimmt wird. Hier wird normalerweise die Auflösung über den kleinsten Abstand zweier (Punkt-)Objekte beschrieben (nicht wie oben über Winkel). Wie oben beschrieben sind nach Rayleigh zwei (Punkt-)Objekte mit dem Abstand <math>a</math> gerade dann noch auflösbar, wenn das Beugungsscheibchen des ersten Objekts auf das erste Minimum des Beugungsscheibchen des zweiten Objekts fällt. Mathematisch führt das zu:<ref>{{cite book|title=Optik|last=Hecht|first=Eugene|year=2009|publisher=[[R. Oldenbourg Verlag|Oldenbourg]]|isbn=978-3-486-58861-3 |language=de}}</ref>

:<math>a = \frac{1{,}22}2 \cdot \frac{\lambda}{\text{NA}} = 0{,}61 \cdot \frac{\lambda}{n \cdot \sin \theta}</math>

Hierbei ist <math>n</math> der Brechungsindex des Mediums zwischen Linse und Bild. Der Faktor 2 kommt daher, dass sich hier <math>\text{NA}</math> bzw. <math>\theta</math> auf den ''halben'' Durchmesser des [[Objektiv (Optik)|Objektivs]] beziehen, im Gegensatz zu <math>d</math> in obigen Gleichungen.

== Antennen ==
Antennen für elektromagnetische Wellen, wie sie zum Beispiel für [[Satellitenkommunikation]], [[Radar]] und [[Radioastronomie]] eingesetzt werden, zeigen ein vergleichbares Verhalten. Ihr durch das [[Antennendiagramm]] charakterisiertes Strahlungsverhalten (Variation der Intensität als Funktion des Winkels) entspricht dem Beugungsmuster, welches man von einer Lichtquelle hinter einem Spalt mit gleicher Geometrie erhält.<ref>{{cite book|title=Optik|last=Hecht|first=Eugene|year=2023|publisher=[[R. Oldenbourg Verlag|Oldenbourg]]|isbn= 9783111025254 |language=de}}</ref> Beispielsweise entspricht die Intensitätsverteilung des Antennendiagramms einer [[Parabolantenne]] mit dem Wellenlängen-zu-Durchmesser-Verhältnis <math>\frac{\lambda}{d}</math> der Intensitätsverteilung eines, von einer Lochblende begrenzten Lichtstrahls mit dem gleichen <math>\frac{\lambda}{d}</math>.

Auf vergleichbare Weise, wie bei der optischen Beugung, ergibt sich die Breite des Hauptmaximums des Antennendiagramms, gemessen zwischen den Nullstellen, d. h. die sogenannte ''Nullwertsbreite'':<ref name=":1">{{Literatur |Autor=John D. Kraus |Titel=Antennas |Verlag=McGraw-Hill Education |Datum=1989 |ISBN=978-0071004824}}</ref>
:<math>\alpha \approx 1{,}22 \cdot \frac{\lambda}{d}</math>

Die für Antennen üblicherweise angegebene ''Halbwertsbreite'' des Hauptmaximums ist:<ref name=":1" />
:<math>\alpha \approx 1{,}029 \cdot \frac{\lambda}{d}</math>

Mit Hilfe dieser Formeln kann z. B. man die Winkelauflösung der Parabolantenne eines Radioteleskops angeben.

== Seismik ==
Für die vertikale Auflösung [[Reflexionsseismik|reflexionsseismischer]] Daten gilt häufig der ''Rayleigh-Grenzwert'':<ref name=":0">{{Internetquelle |url=https://www.spektrum.de/lexikon/geowissenschaften/seismische-aufloesung/14715 |titel=seismische Auflösung |werk=Lexikon der Geowissenschaften |hrsg=Spektrum |sprache=de |abruf=2023-02-11}}</ref>

:<math>a = \frac{\lambda}{4}</math>

mit <math>\lambda</math> als die dominante Wellenlänge der [[Seismische Wellen|seismischen Welle]]. Alternativ wird auch häufiger der Widess-Grenzwert von λ/8 verwendet.<ref name=":0" />

== Siehe auch ==
* [[Dawes-Kriterium]]

== Weblinks ==
* {{TIBAV | 10798 |Linktext=Rayleigh-Kriterium: Das Auflösungsvermögen optischer Instrumente |Herausgeber=IWF |Jahr=2007 |DOI=10.3203/IWF/C-13097 }}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Optik]]
[[Kategorie:Wellenlehre]]
[[Kategorie:John Strutt, 3. Baron Rayleigh, als Namensgeber]]

[[en:Angular resolution#Explanation]]

Rayleigh-Kriterium - Versionsgeschichte

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