imported>Saehrimnir: /* Physikalische Interpretation */ BKL Fix

2026-01-27T18:31:19Z

Physikalische Interpretation: BKL Fix

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Die '''Raychaudhuri-Gleichung''' (oder '''Landau-Raychaudhuri-Gleichung''') ist ein grundlegendes Ergebnis der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] und beschreibt die [[Bewegung (Physik)|Bewegung]] benachbarter Teilchen.

Die Gleichung ist ein grundlegendes [[Hilfssatz|Lemma]] für das [[Singularitäten-Theorem]] und für die Analyse [[Exakte Lösungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie|exakter Lösungen der allgemeinen Relativitätstheorie]]. Sie bestätigt zudem auf einfache Weise unsere [[intuitiv]]e Vorstellung, dass die lokale Wirkung der [[Gravitation]] in der allgemeinen Relativitätstheorie dem [[Newtonsches Gravitationsgesetz|newtonschen Gravitationsgesetz]] entspricht: eine allgemeine Anziehungskraft zwischen Paaren von ‘Teilchen’ (nun als [[Äquivalenz von Masse und Energie|Masse und Energie]] verstanden).

== Mathematische Formulierung ==
Die [[Weltlinie]]n der betrachteten Teilchen werden durch ein [[zeitartig]]es und normiertes [[vierdimensional]]es [[Vektorfeld]] <math>X</math> beschreiben. Die Beschreibung durch ein Vektorfeld impliziert, dass sich die Weltlinien nicht schneiden, die Teilchen also nicht kollidieren. Die Weltlinien der Teilchen müssen nicht notwendig [[Geodäte]]n sein, so dass die Gleichung auch im Falle äußerer [[Kraftfeld]]er gültig ist.

Aus dem [[metrischer Tensor|metrischen Tensor]] <math>g_{ab}</math> und dem Vektorfeld wird der [[Tensor]]

:<math>h_{ab} = g_{ab} - X_a \, X_b</math>

konstruiert, welcher als metrischer Tensor auf den zum Vektorfeld [[orthogonal]]en [[Hyperfläche]]n aufgefasst werden kann.

Das grundsätzliche Untersuchungsobjekt der Raychaudhuri-Gleichung ist nun die [[Projektion (lineare Algebra)|Projektion]] der [[Kovariante Ableitung|kovarianten Ableitung]] des Vektorfelds auf die orthogonalen Hyperflächen:

:<math>{h^m}_a \, {h^n}_b X_{m;n}</math>

Dieser Tensor wird aufgespalten in seinen symmetrischen Anteil, den [[Expansion des Universums|Expansion]]s<nowiki/>tensor

:<math>\theta_{ab} = {h^m}_a \, {h^n}_b X_{(m;n)},</math>

und seinen [[Schiefsymmetrische Matrix|antisymmetrischen]] Anteil, den [[Vortizität]]s<nowiki/>tensor

:<math>\omega_{ab} = {h^m}_a \, {h^n}_b X_{[m;n]}</math>

Abgeleitete Größen sind
* <math>\theta = g^{ab} \theta_{ab}</math> (Expansions[[Skalar (Mathematik)|skalar]])
* <math>\sigma_{ab} = \theta_{ab} - \frac{1}{3} \, \theta \, h_{ab}</math> ([[Scherung (Geometrie)|Scherungs]]<nowiki/>tensor)
* <math>\sigma^2 = \sigma_{mn} \, \sigma^{mn}</math>
* <math>\omega^2 = \omega_{mn} \, \omega^{mn}</math>

Mittels dieser Größen lautet die Raychaudhuri-Gleichung

:<math style = "border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em">\dot{\theta} = \omega^2 - \sigma^2 - \frac{\theta^2}{3} - R_{mn} \, X^m \, X^n + {{\dot{X}^a}}_{;a}</math>

Ein Punkt über einer Größe bezeichnet dabei die Ableitung nach der [[Eigenzeit]], d. h. <math>\dot{X}</math> bezeichnet das [[Beschleunigung]]s<nowiki/>feld der Teilchen.

<math>R_{mn} \, X^m \, X^n</math> ist die [[Spur (Mathematik)|Spur]] des [[Gezeitentensor]]s („tidal tensor“), sie wird auch '''Raychaudhuri-Skalar''' genannt.

== Physikalische Interpretation ==
Die Raychaudhuri-Gleichung ist die dynamische Gleichung der Ausdehnung des Vektorfeldes. Dabei beschreibt der Expansionsskalar die [[Änderungsrate]] des Volumens eines kleinen Balls aus [[Materie]], bezüglich der Zeit eines mitbewegten Beobachters im Zentrum des Balls:
* ist die Ableitung <math>\dot{\theta}</math> des Expansionsskalars nach der Eigenzeit entlang einer Weltlinie positiv, so entspricht dies einer beschleunigten Expansion bzw. einem sich verlangsamenden [[Gravitationskollaps|Kollaps]].
* falls die Ableitung dagegen negativ ist, bedeutet das, dass eine eventuelle Expansion einer Staubwolke sich verlangsamt und gegebenenfalls in einen beschleunigten Kollaps übergeht, während der Kollaps einer bereits kollabierenden Wolke beschleunigt wird.

Der Scherungstensor beschreibt die [[Verformung|Deformation]] einer kugelförmigen Wolke hin zu einer [[ellipsoid]]en Form.

Der Vortizitätstensor beschreibt eine [[Verdrillung]] naher Weltlinien, was sich anschaulich als [[Rotation (Physik)|Rotation]] der Wolke auffassen lässt.

Anschaulich lässt sich anhand der [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] feststellen, welche Terme eine Expansion beschleunigen und welche Terme einen Kollaps bewirken:
#Expansion
#*Eine Rotation der Wolke beschleunigt die Expansion, analog zur [[Zentrifugalkraft]] der [[klassische Mechanik|klassischen Mechanik]].
#*Eine positive [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] des Beschleunigungsvektors <math>{{\dot{X}^a}}_{;a} >0</math>, die durch Krafteinwirkung, z. B. eine [[Explosion]], verursacht werden kann, beschleunigt die Expansion.
#Kollaps
#*Eine hohe Scherung, also eine elliptische Deformation, beschleunigt einen Kollaps bzw. bremst eine Expansion.
#*Eine anfängliche Expansion wird durch den Term <math>- \frac{\theta^2}{3}</math> gebremst, während ein anfänglicher Kollaps beschleunigt wird, weil <math>\theta</math> quadratisch eingeht.
#*Positivität von <math>R_{mn} \, X^m \, X^n</math>. Dieses Verhalten wird durch die [[Energiebedingung #Die starke Energiebedingung|starke Energiebedingung]] erzwungen, die für die meisten Formen klassischer Materie erfüllt ist.
#*Eine negative Divergenz des Beschleunigungsvektors <math>{{\dot{X}^a}}_{;a} >0</math>, die durch Krafteinwirkung verursacht werden kann.

In den meisten Fällen ist die Lösung der Gleichung eine ewige Expansion oder ein totaler Kollaps der Wolke. Es können jedoch auch stabile oder instabile Gleichgewichtszustände existieren:
* Ein Beispiel für ein stabiles Gleichgewicht ist eine Wolke eines [[Perfektes Fluid|perfekten Fluids]] im [[Hydrodynamisches Gleichgewicht|hydrodynamischen Gleichgewicht]]. Expansion, Scherung und Vortizität verschwinden, und eine radiale Divergenz des Beschleunigungsvektors kompensiert den Raychaudhuri-Skalar, der für ein perfektes Fluid die Form <math>R_{mn} \, X^m \, X^n = 4 \pi ( \mu + 3 p )</math> annimmt.
* Ein Beispiel für ein instabiles Gleichgewicht ist die [[Gödel-Universum|Gödel-Metrik]]. In diesem Fall verschwinden Scherung, Expansion und Beschleunigung, während eine konstante Vortizität genauso groß ist wie der konstante Raychaudhuri-Skalar, der von einer [[Kosmologische Konstante|kosmologischen Konstante]] herrührt.

== Fokussierungssatz ==
Angenommen, die starke Energiebedingung gelte in einer [[Raumzeit]]-Region und <math>X</math> sei ein zeitartiges, geodätisches (d. h. <math>\dot{X} = 0</math>) normiertes Vektorfeld mit verschwindender Vortizität (d. h. <math>\omega = 0</math>). Dies beschreibt beispielsweise die Weltlinien von [[Staub]]<nowiki/>teilchen in [[kosmologie|kosmologischen]] Modellen, in denen die Raumzeit nicht rotiert, wie dem staubgefüllten [[Friedmann-Modell|Friedmann-Universum]].

Dann lautet die Raychaudhuri-Gleichung

:<math>\dot{\theta} = - \frac{\theta^2}{3} - \sigma^2 - R_{mn} \, X^m \, X^n</math>.

Der Term <math>R_{mn} \, X^m \, X^n</math> ist aufgrund der starken Energiebedingung größer oder gleich Null, sodass die gesamte rechte Seite immer negativ oder Null ist, weshalb der Expansionsskalar mit der Zeit nicht zunehmen kann.

Da die letzten beiden Terme nichtnegativ sind, gilt:

:<math>\dot{\theta} \leq - \frac{\theta^2}{3}</math>.

Wenn man diese Ungleichung integriert, erhält man

:<math>\frac{1}{\theta} \geq \frac{1}{\theta_0} + \frac{\tau}{3}</math>.

Falls der Anfangswert <math>\theta_0</math> des Expansionsskalars negativ ist, [[Grenzwert (Funktion)|konvergieren]] die Geodäten nach einer Eigenzeit von maximal <math>-3/\theta_0</math> in einer [[Kaustik (Mathematik)|Kaustik]] (d. h. <math>\theta</math> geht gegen minus unendlich). Dies muss nicht auf eine starke [[Singularität (Astronomie)|Krümmungssingularität]] hinweisen, es bedeutet jedoch, dass das Modell zur Beschreibung der Staubwolke ungeeignet wird. In einigen Fällen wird sich die Singularität in geeigneten Koordinaten als physikalisch wenig schwerwiegend erweisen.

== Optische Gleichungen ==
Es gibt auch eine [[optisch]]e Version der Raychaudhuri-Gleichung für [[Kurvenschar|Scharen]] [[lichtartig]]er Geodäten, sogenannter [[Nullgeodäte]]n, die durch ein lichtartiges Vektorfeld <math>U</math> beschrieben werden:

:<math>\dot{\widehat{\theta}} = - \frac{1}{2}\widehat{\theta}^2 - \widehat{\sigma}^2 - T_{\mu\nu} U^\mu U^\nu</math>

Dabei ist <math>T_{\mu\nu}</math> der [[Energie-Impuls-Tensor]]. Die Hüte über den Symbolen bedeuten, dass die Größen nur in [[Transversalebene|transversaler]] Richtung betrachtet werden.

Setzt man die [[Energiebedingung #Energiebedingung für lichtartige Vektoren|Nullenergiebedingung]] <math>T_{\mu\nu} U^\mu U^\nu \geq 0</math> voraus, so bilden sich [[Kaustik (Optik)|Kaustiken]], bevor der affine Parameter der Geodäten <math>2/\widehat{\theta}_0</math> erreicht.

== Literatur ==
* {{cite book | author=Poisson, Eric | title=A Relativist's Toolkit: The Mathematics of Black Hole Mechanics | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=2004 | isbn=0-521-83091-5 |language=en}} Siehe Kapitel 2.
* {{cite book | author=Carroll, Sean M. | title=Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity | location=San Francisco | publisher=Addison-Wesley | year = 2004 | isbn=0-8053-8732-3 |language=en}} Siehe Anhang F.
* {{cite book | author=Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcom; Hoenselaers, Cornelius; Hertl, Eduard| title=Exact Solutions to Einstein's Field Equations (2nd ed.) | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=2003 | isbn=0-521-46136-7 |language=en}} Siehe Kapitel 6.
* {{cite book | author=Hawking, Stephen; and Ellis, G. F. R. | title = The Large Scale Structure of Space-Time | location= Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=1973 |isbn = 0-521-09906-4 |language=en}} Siehe Kapitel 4.1
* {{cite journal | author=Raychaudhuri, A. K. | title=Relativistic cosmology I. | journal=Phys. Rev. | year=1955 | volume=98 | pages=1123 | doi=10.1103/PhysRev.98.1123 |language=en}} Raychaudhuri's originaler Artikel.
* {{cite journal | author=Dasgupta, Anirvan; Nandan, Hemwati; and Kar, Sayan| title= Kinematics of geodesic flows in stringy black hole backgrounds. | journal=Phys. Rev. D| year=2009| volume=79 | pages=124004 | doi=10.1103/PhysRevD.79.124004 |language=en}} Siehe Kapitel IV.
* {{cite journal | author=Kar, Sayan; and SenGupta, Soumitra| title= The Raychaudhuri equations: A Brief review.| journal=Pramana| year=2007| volume=69 | pages=49 | doi=10.1007/s12043-007-0110-9 |language=en}}

== Weblinks ==
* John C. Baez, Emory F. Bunn: ''[https://math.ucr.edu/home/baez/einstein/ The Meaning of Einstein's Field Equation].'' (Die Raychaudhuri-Gleichung steht im Mittelpunkt dieser bekannten (und sehr empfehlenswerten) halbtechnischen Darstellung von dem, was die Einstein-Gleichung aussagt.)

[[Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie]]

Raychaudhuri-Gleichung - Versionsgeschichte

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