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[[Datei:01 Kugelkalotte-Raumwinkel-2.svg|rahmenlos|rechts|hochkant=1|Raumwinkel <math>\mathit{\Omega}</math> in der Kugel]]
Der '''Raumwinkel''' ist das [[Dreidimensional|dreidimensionale]] Gegenstück zum [[Zweidimensional|zweidimensionalen]] für die [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] definierten [[Winkel]]. Er beschreibt den Anteil am gesamten [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] [[Raum (Mathematik)|Raum]], der z. B. im Inneren eines gegebenen [[Kegel (Geometrie)|Kegel]]- oder [[Pyramide (Geometrie)|Pyramidenmantels]] liegt.

== Definition ==
[[Datei:01 Kugelkalotte-Raumwinkel.svg|mini|hochkant=1|Beispiel:<br />Raumwinkel <math>\mathit{\Omega}</math> in Einheitskugel, <math>r\;=\; 1\;m</math> ]]
Der Raumwinkel <math>\mathit{\Omega}</math> ist definiert als der [[Flächeninhalt]] <math>A</math> einer [[Messung#Messbarkeit|messbaren]] Teilfläche <math>F</math> einer [[Kugel#Oberflächeninhalt|Kugeloberfläche]] ([[Kugelsegment|Kugelkalotte]]) dividiert durch das Quadrat des [[Radius]] <math>r</math> der [[Kugel]] (siehe Beispiel):
: <math>\mathit{\Omega} = \frac{A}{r^2}</math>.
Bei Betrachtung der [[Einheitskugel]] (<math>r = 1</math>) ist <math>A</math> also betragsgleich dem zugehörigen Raumwinkel. So ist der volle Raumwinkel gleich der Oberfläche der Einheitskugel, nämlich <math>4 \pi \approx 12{,}566</math>.

Die Teilfläche kann von beliebiger Umrissform sein. Vektoriell geschrieben als [[Flächenintegral]] ist
:<math>\mathit{\Omega} =\iint_F \frac{\hat{\vec{n}}\cdot \mathrm{d}\vec{A}}{r^2}</math>.
Dabei ist <math>\hat{\vec{n}}</math> der [[Einheitsvektor]] vom [[Koordinatenursprung]], <math>\mathrm{d}\vec{A}</math> das differentielle Flächenelement und <math>r</math> dessen [[Abstand]] vom Koordinatenursprung. Existiert dieses Integral, dann ist die Teilfläche [[Messung#Messbarkeit|messbar]], und dies ist sowohl bei [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen]] als auch [[Offene Menge|offenen]] Teilmengen der Kugeloberfläche der Fall.

Anders als das Bild vielleicht vermuten lässt, spielt die Umrissform des Flächenstücks keine Rolle. Jede Umrissform auf der [[Kugeloberfläche]] mit dem gleichen [[Flächeninhalt]] definiert einen Raumwinkel der gleichen Größe. Legt man durch jeden [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] der Umrissform einen [[Strahl (Geometrie)|Strahl]] mit dem [[Mittelpunkt]] der [[Kugel]] als Startpunkt, dann erhält man eine [[geometrische Figur]], die den Raumwinkel veranschaulicht. Dies ist vergleichbar mit der Darstellung für einen [[Winkel]] in der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]]: zwei [[Halbgerade]]n mit einem gemeinsamen Startpunkt.

== Maßeinheiten ==
Obwohl der Raumwinkel eine [[Größe der Dimension Zahl]] ist, wird er zur Verdeutlichung meist in der Einheit [[Steradiant]] (sr) angegeben; dies entspricht dem [[Bogenmaß]] mit der Einheit [[Radiant (Einheit)|Radiant]] (rad) beim ebenen Winkel. Ein Raumwinkel von 1 sr umschließt auf einer [[Kugel]] mit dem [[Radius]] 1 m eine [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] von 1 m<sup>2</sup>. Da eine ganze [[Kugeloberfläche]] den [[Flächeninhalt]] <math> 4\pi r^2</math> hat, ist der zugehörige volle Raumwinkel
:<math>\mathit{\Omega}_\mathrm{voll} = 4 \pi \ \mathrm{sr} \,\approx\, 12{,}566\,37 \ \mathrm{sr}</math>.

Gelegentlich werden Raumwinkel auch in [[Quadratgrad]], (°)² oder deg², angegeben. Die Umrechnung ist
:<math>1\;({}^\circ)^2 = \left(\tfrac{2\pi}{360}\right)^2 \approx\, 0{,}000\,304\,62 \ \mathrm{sr}</math>.

Die Verwendung einer [[Hilfsmaßeinheit]] für eine [[dimensionslose Größe]] hat, wie auf vielen Gebieten, insbesondere auch beim Raumwinkel, den Vorteil, dass schon an der verwendeten Einheit erkennbar ist, welche [[physikalische Größe]] gemeint ist. Die [[Lichtstärke (Photometrie)|Lichtstärke]] (cd = lm/sr) zeigt im Gegensatz zum [[Lichtstrom]] (lm) ihre Abhängigkeit vom Raumwinkel durch das Auftreten des Steradiant in der Einheit. Die Lichtstärke bezeichnet somit einen vom Raumwinkel abhängigen Lichtstrom.

== Darstellung mit Kugelkoordinaten ==
[[Datei:Raumwinkel und Polarkoordinaten.svg|mini|Ein Raumwinkel aus einem kartesischen Polarkoordinatenabschnitt]]
Der Raumwinkel eines [[Kugeldreieck]]s beträgt in Abhängigkeit von seinen [[Innenwinkel]]n <math>(\alpha + \beta + \gamma - \pi) </math> Steradiant (siehe [[Kugeldreieck#Eigenschaften|''Kugeldreieck - Eigenschaften'']]).

In einem [[Kugelkoordinaten]]system kann der Raumwinkel besonders übersichtlich definiert werden, da es keine radiale Variable gibt. Zwei Meridianwinkel ''<math>\varphi_1 </math>'', ''<math>\varphi_2 </math>'' und zwei Breitenwinkel ''<math>\gamma_1 </math>'', ''<math>\gamma_2 </math>'' bestimmen ein Flächenelement auf einer [[Kugeloberfläche]]. Der zugehörige Raumwinkel beträgt:
:<math>\mathit{\Omega} = \int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\int\limits_{\gamma_1}^{\gamma_2} \sin(\gamma) \ \mathrm{d}\gamma \ \mathrm{d}\varphi</math>

== Raumwinkel eines Kegels ==
[[Datei:Angle solide coordonnees.svg|mini|Kanonischer Raumwinkel]]
Wählt man als Umrissform auf der [[Kugeloberfläche]] einen [[Kreis]], so erhält man den kanonischen Raumwinkel. Der Raumwinkel bildet dann den Mantel eines [[Kegel (Geometrie)|geraden Kreiskegels]], in dessen Spitze der [[Mittelpunkt]] der [[Kugel]] liegt.

Ist <math>2\theta</math> der Öffnungswinkel in der Spitze des [[Kegel (Geometrie)|Kegels]], dann ergibt sich der Raumwinkel <math>\mathit{\Omega}</math> aus dem [[Integralrechnung#Mehrdimensionale Integration|Doppelintegral]]<ref>Oleg Mazonka: [https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1205/1205.1396.pdf Solid Angle of Conical Surfaces, Polyhedral Cones, and Intersecting Spherical Caps]</ref>

:<math>\begin{align}
\mathit{\Omega} &= \int_0^{2\pi} \!\!\! \int_0^{\theta}\! \sin\theta' \mathrm{d} \theta' \mathrm{d} \phi = \int_0^{2\pi} \!\!\! \mathrm{d} \phi \int_0^{\theta} \!\sin\theta' \mathrm{d} \theta'\\
&= 2 \cdot \pi \cdot (1 - \cos\theta) \\
&= 4 \cdot \pi \cdot \sin^2 \tfrac{\theta}{2}
\end{align} </math>

[[Datei:Cone Solid Angle.svg|400px|rechts]]
{| align="left" class="wikitable left" style="font-size:90%; border:0px; text-align:center;"
|-
! style="text-align:left;" rowspan="2" | Öffnungswinkel <math>2\theta</math> !! style="text-align:left;" | in Grad
| 0 || 1 || 2 || 5 || 10 || 15 || 30 || 45 || 57,2958
|-
! style="text-align:left;" | in Radiant
| 0,0000 || 0,0175<br />π/180 || 0,0349<br />π/90 || 0,0873 <br />π/36 || 0,1745<br />π/18 || 0,2618<br />π/12 || 0,5236<br />π/6 || 0,7854 <br />π/4 || 1,0000
|-
! style="text-align:left;" rowspan="2" | Raumwinkel <math>\mathit{\Omega}</math> !! style="text-align:left;" | in Quadratgrad
| 0,00 || 0,79 || 3,14 || 19,63 || 78,49 || 176,46 || 702,83 || 1570,10 || 2525,04
|-
! style="text-align:left;" | in Steradiant
| 0,0000 || 0,0002 || 0,0010 || 0,0060 || 0,0239 || 0,0538 || 0,2141 || 0,4783 || 0,7692
|-
| colspan="10" style="border:0px;"|
|-
! style="text-align:left;" rowspan="2" | Öffnungswinkel <math>2\theta</math> !! style="text-align:left;" | in Grad
| 60 || 65,5411 || 75 || 90 || 120 || 150 || 180 || 270 || 360
|-
! style="text-align:left;" | in Radiant
| 1,0472 <br />π/3 || 1,1439 || 1,3090 <br />5π/12|| 1,5708 <br />π/2 || 2,0944 <br />2π/3 || 2,6180 <br />5π/6 || 3,1416 <br />π || 4,7124 <br />3π/2 || 6,2832 <br />2π
|-
! style="text-align:left;" rowspan="2" | Raumwinkel <math>\mathit{\Omega}</math> !! style="text-align:left;" | in Quadratgrad
| 2763,42 || 3282,81 || 4262,39 || 6041,36 || 10313,24 || 15287,95 || 20626,48 || 35211,60 || 41252,96
|-
! style="text-align:left;" | in Steradiant
| 0,8418<br /> {{nowrap|1= π/2·(√3̅−1)²}} || 1,0000 || 1,2984 || 1,8403<br />{{nowrap|1= π·(2−√2̅)}} || 3,1416 <br />π || 4,6570 || 6,2832 <br />2π || 10,7261<br />{{nowrap|1= π·(2+√2̅)}} || 12,5664 <br />4π
|}
<div style="clear:left;">

</div>

== Raumwinkel einer rechteckigen Pyramide ==
[[Datei:SolidAngle Pyramid.png|mini|Zum Raumwinkel einer Pyramide]]
[[Datei:Raumwinkel pyramide.png|mini|Zu Beispiel 1: Die Grundfläche der Pyramide wird auf die Oberfläche der Einheitskugel projiziert. Die Fläche dort entspricht dem Raumwinkel der Pyramide und kann mithilfe von zwei [[Kugeldreieck|Kugeldreiecken]] berechnet werden. ]]
Der Spezialfall des Raumwinkels mit einem rechteckigen und ebenen Umriss entspricht der geometrischen Form einer [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]], wobei der Ursprung genau senkrecht über dem [[Mittelpunkt]] des ebenen [[Rechteck]]s stehe (siehe Abbildung). Dieser Raumwinkel tritt z. B. bei der Berechnung der [[Etendue|Étendue]] von optischen Systemen mit rechteckigen Aperturen auf.

Er lässt sich sehr leicht mit der Oosterom-Strackee-Formel berechnen. Mit den Pyramidengrundseiten <math>w_x</math> und <math>w_y</math> sowie der Höhe ''h'' ergibt sich:

:<math>\mathit{\Omega} = 4 \cdot \arctan \frac{w_x \cdot w_y}{2 \cdot h\cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + w_x^2 + w_y^2}}</math>

Verwendet man für die Berechnung die beiden Öffnungswinkel <math>2 \cdot \varphi_x </math> und <math>2 \cdot \varphi_y </math>, wobei <math>\ \tan\varphi_x = \frac{w_x}{2 \cdot h}\ </math> und <math>\ \tan\varphi_y = \frac{w_y}{2 \cdot h}\ </math> ist, so folgt nach einigen [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen]] Umformungen:

:<math>\mathit{\Omega} = 4 \cdot \arcsin \left(\sin\varphi_x \cdot \sin\varphi_y\right) </math>

'''Beispiele:'''

Eine Rechteckblende vor einer Punktlichtquelle grenze den Lichtstrahl auf die [[Winkel]] 45° (<math>\varphi_x=22{,}5^\circ</math>) und 20° (<math>\varphi_y=10^\circ</math>) ein. Der Raumwinkel beträgt 0,27 sr.

Handelt es sich um eine quadratische Blende und sind beide [[Winkel]] 20° groß, dann umfasst der Raumwinkel 0,12 sr. Der kanonische Raumwinkel einer 20°-Kreisblende liegt bei 0,10 sr.

== Raumwinkel von Polyedern ==
=== Formeln für Raumwinkel ===
Im Folgenden sind <math>P_0,P_1,P_2,P_3</math> vier Punkte, so dass die Vektoren <math>\overrightarrow{P_0P_1},\overrightarrow{P_0P_2},\overrightarrow{P_0P_3}</math> nicht in einer Ebene liegen (den Raum aufspannen), <math>k_0</math> ist die Einheitskugel um <math>P_0</math> und <math>S_1,S_2,S_3</math> die Schnittpunkte der Geraden <math>\overline{P_0P_1},\overline{P_0P_2},\overline{P_0P_3}</math> mit der Einheitskugel <math>k_0</math>. <math>P_0,P_1,P_2,P_3</math> bilden ein [[Tetraeder]].
[[Datei:Wuerfel-20-20-rw.svg|mini|hochkant=1.08|Würfel mit Einheitskugel in einer Ecke]]

==== Ebenen-Formel ====
Die Winkel <math>\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3</math> des sphärischen Dreiecks <math>S_1,S_2,S_3</math> sind die Winkel zwischen den drei ''Ebenen'', die durch die drei Punktetripel <math>(P_0,P_1,P_2)</math>, <math>(P_0,P_2,P_3)</math>, <math>(P_0,P_3,P_1)</math> aufgespannt werden.

Der Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks <math>S_1,S_2,S_3</math> ist der Raumwinkel in der Tetraederecke <math>P_0</math> (siehe oben)
:<math>\mathit{\Omega} = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 - \pi</math>

'''Beispiel:''' Für <math>P_0=(0,0,0),P_1=(2,0,0),P_2=(0,2,0),P_3=(0,0,2)</math> sind die Winkel <math>\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=90^\circ=\tfrac \pi 2</math> und der Raumwinkel im Nullpunkt gleich
:<math>\mathit{\Omega} = 3 \cdot \frac{\pi}{2} - \pi = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}5707 \ \mathrm{sr}</math>

==== Kanten-Formel ====
Der Raumwinkel in der [[Ecke]] eines [[Polyeder]]s mit drei zusammentreffenden Seitenflächen ([[Polygon]]en) kann mit dem Satz von L’Huilier berechnet werden.<ref>Wolfram MathWorld: [https://mathworld.wolfram.com/SphericalExcess.html Spherical Excess]</ref>

Für den Raumwinkel, der in der [[Ecke]] mit den zusammentreffenden [[Innenwinkel]]n <math>\theta_1,\theta_2,\theta_3</math> der drei Seitenflächen liegt, gilt
:<math>\mathit{\Omega} = 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\tfrac{\theta_1 + \theta_2 + \theta_3}{4}\right) \cdot \tan\left(\tfrac{-\theta_1 + \theta_2 + \theta_3}{4}\right) \cdot \tan\left(\tfrac{\theta_1 - \theta_2 + \theta_3}{4}\right) \cdot \tan\left(\tfrac{\theta_1 + \theta_2 - \theta_3}{4}\right)}\right)</math>

'''Beispiele:''' Für <math>P_0=(0,0,0),P_1=(2,0,0),P_2=(0,2,0),P_3=(0,0,2)</math> sind die Winkel <math>\theta_1=\theta_2=\theta_3=90^\circ</math> und
:<math>\mathit{\Omega} = 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\tfrac{270^\circ}{4}\right) \cdot \tan\left(\tfrac{90^\circ}{4}\right) \cdot \tan\left(\tfrac{90^\circ}{4}\right) \cdot \tan\left(\tfrac{90^\circ}{4}\right)}\right)</math>
Der Raumwinkel im Punkt <math>P_0</math> ist (wie schon berechnet) gleich <math>\mathit{\Omega} = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}5707 \ \mathrm{sr}</math>.

Für eine quadratische [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]] mit den Winkeln <math>\theta_1=90^\circ,\theta_2=75^\circ,\theta_3=75^\circ</math> in den Ecken der quadratischen Grundfläche gilt
:<math>\mathit{\Omega} = 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\tfrac{240^\circ}{4}\right) \cdot \tan\left(\tfrac{60^\circ}{4}\right) \cdot \tan\left(\tfrac{90^\circ}{4}\right) \cdot \tan\left(\tfrac{90^\circ}{4}\right)}\right)</math>
In diesem Fall beträgt der Raumwinkel jeweils <math>\mathit{\Omega} \approx 1{,}1001 \ \mathrm{sr}</math>.

==== Formel für platonische Körper ====
Für den Raumwinkel in den Ecken der [[Platonischer Körper|platonischen Körper]] gilt
:<math>\mathit{\Omega} = 2 \cdot \pi - 2 \cdot n \cdot \arcsin\left(\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \cdot \sqrt{\tan^2 \left(\frac{\pi}{n}\right) - \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\right)</math>

wobei <math>n</math> die Anzahl der Kanten/Flächen ist, die sich an einer Ecke treffen, und <math>\alpha</math> der anliegende [[Innenwinkel]] der [[Seitenfläche|Seitenflächen]] ist. Diese Formel kann auch für den Raumwinkel in der Spitze von [[Pyramide (Geometrie)#Formeln für gerade regelmäßige Pyramiden|geraden regelmäßigen Pyramiden]] verwendet werden. Sie wurde 2015 von H. C. Rajpoot veröffentlicht.<ref>{{Internetquelle |autor=Harish Chandra Rajpoot |url=https://de.slideshare.net/hcr1991/solid-angles-subtended-by-the-platonic-solids-regular-polyhedrons-at-their-vertices-by-hcr |titel=Solid angles subtended by the platonic solids (regular polyhedra) at their vertices |werk=SlideShare |datum=2015-03 |abruf=2020-06-16}}</ref>

'''Beispiel:''' Für das reguläre [[Dodekaeder]] ist <math>n = 3</math> und <math>\alpha = 108^\circ</math>. Daraus ergibt sich
:<math>\mathit{\Omega} = 2 \cdot \pi - 2 \cdot 3 \cdot \arcsin\left(\cos\left(\tfrac{180^\circ}{3}\right) \cdot \sqrt{\tan^2 \left(\tfrac{180^\circ}{3}\right) - \tan^2\left(\tfrac{108^\circ}{2}\right)}\right)</math>

Der Raumwinkel in jeder der 20 Ecken des regulären Dodekaeders ist <math>\mathit{\Omega} \approx 2{,}962 \ \mathrm{sr}</math>.

==== Richtungsvektoren-Formel ====
Sind die [[Vektor]]en <math>\vec r_1,\vec r_2,\vec r_3</math> Richtungsvektoren der Geraden <math>\overline{P_0P_1},\overline{P_0P_2},\overline{P_0P_3}</math>, so gilt für den Raumwinkel

:<math>\mathit{\Omega} = 2 \cdot \arctan\left(\frac{ (\vec{r}_1,\vec{r}_2,\vec{r}_3) } { |\vec{r}_1| \cdot |\vec{r}_2| \cdot |\vec{r}_3| + (\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2) \cdot |\vec{r}_3| + (\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_3) \cdot |\vec{r}_2| + (\vec{r}_2 \cdot \vec{r}_3) \cdot |\vec{r}_1|}\right)</math>

Dabei ist <math>(\vec r_1,\vec r_2,\vec r_3)</math> das [[Spatprodukt]] der [[Vektor]]en <math>\vec r_1 </math>, <math>\vec r_2</math> und <math>\vec r_3</math>, <math>(\vec r_1 \cdot \vec r_2)</math> ist das [[Skalarprodukt]] und <math>|\vec r_1|</math> ist die [[Vektor#Länge/Betrag eines Vektors|Länge]] des Vektors.

Diese Darstellung wurde im Jahr 1983 von Oosterom und Strackee<ref>{{Literatur |Autor=A. Van Oosterom, J. Strackee |Titel=The Solid Angle of a Plane Triangle |Sammelwerk=Biomedical Engineering, IEEE Transactions on |Band=BME-30 |Nummer=2 |Datum=1983 |DOI=10.1109/TBME.1983.325207 |Seiten=125–126}}</ref> angegeben und bewiesen.

'''Beispiel:''' Für <math>P_0=(0,0,0),P_1=(2,0,0),P_2=(0,2,0),P_3=(0,0,2)</math> sind <math>\;\vec r_1=\overrightarrow{P_0P_1},\;\vec r_2=\overrightarrow{P_0P_2},\;\vec r_3=\overrightarrow{P_0P_3}\;</math> Richtungsvektoren. Mit <math>\;(\vec r_1,\vec r_2,\vec r_3)=8,\; |\vec r_i|=2,\; \vec r_i\cdot\vec r_j=0\;</math> für <math>i\ne j</math> ergibt sich (wie schon berechnet)
:<math>\mathit{\Omega} = 2 \cdot \arctan\left(1\right) = \frac{\pi}{2}</math>

=== Beispiele mit 3 Kanten an einer Ecke ===
Die drei Formeln zur Bestimmung des Raumwinkels können auf alle Polyederecken mit drei Kanten (Ebenen) angewandt werden.

==== Reguläres Tetraeder ====
[[Datei:01 Tetraeder-Raumwinkel.svg|mini|hochkant=1|Tetraeder, Raumwinkel mit Einheitskugel in einer Ecke]]
Bei einem regulären Tetraeder sind die Winkel zwischen den Seitenflächen <math>\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = \arctan\left(2 \cdot \sqrt{2}\right)</math> und nach der [[Raumwinkel#Ebenen-Formel|Ebenen-Formel]] gilt
:<math>\mathit{\Omega} = 3 \cdot \arctan\left(2 \cdot \sqrt{2}\right) - \pi \,\approx\, 0{,}5513 \ \mathrm{sr}</math>
Die Kantenwinkel sind <math>\theta_1 = \theta_2 = \theta_3 = 60^\circ</math> und damit gilt nach der [[Raumwinkel#Kanten-Formel|Kanten-Formel]]
:<math>\begin{align}
\mathit{\Omega} &= 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan(45^\circ) \cdot \tan^3(15^\circ)}\right) \\
&= 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{26 - 15 \cdot \sqrt{3}}\right) = 2 \cdot \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{5}\right) = \arctan\left(\frac{10\cdot\sqrt{2}}{23}\right) = \arcsin\left(\frac{10\cdot\sqrt{2}}{27}\right) = \arccos\left(\frac{23}{27}\right) \\
& \approx 0{,}5513 \ \mathrm{sr} \\
\end{align}</math>

==== Gerades Prisma ====
Ein gerades [[Prisma (Geometrie)|Prisma]] besitzt ein [[Polygon]] als Grundfläche und zur Grundfläche senkrechte weitere Kanten (Ebenen). Ist der Winkel in einem Punkt <math>P</math> des Grundflächenpolygons <math>\alpha</math>, so folgt aus der Ebenenformel, wegen der Orthogonalität der Seitenflächen, für den Raumwinkel in <math>P</math>

:<math>\mathit{\Omega} = \alpha + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - \pi = \alpha</math>
<div style="float:left;">[[Datei:01 Prisma-Raumwinkel.svg|mini|hochkant=1.07|Gerades Prisma, Raumwinkel mit Einheitskugel in einer Ecke]]</div><div style="float:left;">[[Datei:01 Oktaederstumpf-Raumwinkel.svg|mini|hochkant=0.8|Oktaederstumpf, Raumwinkel mit Einheitskugel in einer Ecke]]</div>
{{Absatz}}

==== Oktaederstumpf ====
[[Datei:HC-A4.png|mini|hochkant=0.8|[[Raumfüllung]] mit [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] [[Oktaederstumpf|Oktaederstümpfen]]. In jeder [[Ecke]] treffen 4 Oktaederstümpfe zusammen und bilden einen vollen Raumwinkel.]]
Ein [[Oktaederstumpf]] entsteht durch Beschneidung eines regulären [[Oktaeder]]s. In einer Ecke <math>P</math> treffen sich 3 Kanten und drei Ebenen, zwei reguläre Sechsecke und ein Quadrat. Es gibt also zwei Flächenwinkel: <math>\alpha_1</math> zwischen zwei Sechsecken und <math>\alpha_2</math> zwischen einem Sechseck und einem Quadrat. Es gilt (siehe [[Oktaederstumpf#Herleitung der Formeln|Oktaederstumpf]])
:<math>\begin{align}
\alpha_1 &= 2 \cdot \arctan\left(\sqrt{2}\right) \\
\alpha_2 &= \pi - \arctan\left(\sqrt{2}\right) \\
\end{align}</math>
Damit ist nach der obigen Ebenenformel der Raumwinkel im Punkt <math>P</math>
:<math>\mathit{\Omega} = \alpha_1 + 2 \cdot \alpha_2 - \pi = \pi</math>

Die Innenwinkel, die an einer Basisecke zusammentreffen, sind <math>\theta_1=120^\circ,\theta_2=120^\circ,\theta_3=90^\circ</math>. Aus der [[Raumwinkel#Kanten-Formel|Kanten-Formel]] folgt daraus
:<math>\begin{align}
\mathit{\Omega} &= 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\tfrac{330^\circ}{4}\right) \cdot \tan\left(\tfrac{90^\circ}{4}\right) \cdot \tan\left(\tfrac{90^\circ}{4}\right) \cdot \tan\left(\tfrac{150^\circ}{4}\right)}\right) \\
&= 4 \cdot \arctan(1) = \pi \\
\end{align}</math>
Die Raumwinkel in den [[Ecke]]n des [[Oktaederstumpf]]s sind also gleich <math>\tfrac{1}{4}</math> des vollen Raumwinkels. Dieses Ergebnis wird dadurch bestätigt, dass sich der [[Dreidimensional|dreidimensionale]] [[Euklidischer Raum|euklidische Raum]] lückenlos mit [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] Oktaederstümpfen ausfüllen lässt, wobei in jeder Ecke 4 Oktaederstümpfe zusammentreffen (siehe ''[[Raumfüllung]]'').

=== Beispiele mit mehr Kanten in einer Ecke ===
Gehen durch eine Polyederecke mehr als drei Kanten, hat man ein sphärisches Polygon mit mehr als drei Ecken. In vielen Fällen lässt sich das sphärische Polygon mit Hilfe eines inneren Hilfspunktes <math>Z</math> in [[Sphärisches Dreieck|sphärische Dreiecke]] zerlegen (analog zur Triangulierung eines ebenen konvexen Polygons).

==== Gerade quadratische Pyramide ====
[[Datei:Pyramide-quad-g-4.svg|mini|hochkant=1|Gerade quadratische Pyramide: Zur Raumwinkelberechnung an der Spitze zerlegt]]
Für eine [[Pyramide (Geometrie)#Gerade quadratische Pyramide|gerade quadratische Pyramide]] mit der Quadratseitenlänge <math>a</math> und Höhe <math>h</math> ist der [[Winkel]] zwischen den Dreiecken
:<math>\beta_1 = 2 \cdot \arctan \left(\frac{1}{2 \cdot h} \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + 2 \cdot a^2}\right)</math>
Schneidet man aus der Pyramide, wie aus einem Kuchen, entlang der Pyramidenhöhe und durch jeweils zwei benachbarte Basispunkte, erhält man eine Pyramide mit [[Dreieck|dreieckiger]] [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]] und einer Pyramidenkante an der Basis. Für den Raumwinkel an der Spitze der dreieckigen Pyramide ergibt sich
:<math>\mathit{\Omega}_3 = \frac{\pi}{2} + \frac{\beta_1}{2} + \frac{\beta_1}{2} - \pi = \beta_1 - \frac{\pi}{2}</math>
:<math>\quad = 2 \cdot \arctan \left(\frac{1}{2 \cdot h} \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + 2 \cdot a^2}\right) - \frac{\pi}{2}</math>
und der Raumwinkel der Pyramide an der Spitze ist
:<math>\mathit{\Omega_S} = 4 \cdot \mathit{\Omega}_3 = 8 \cdot \arctan \left(\frac{1}{2 \cdot h} \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + 2 \cdot a^2}\right) - 2 \cdot \pi</math>

Der [[Winkel]] zwischen einem [[Dreieck]] und dem [[Quadrat]] ist
:<math>\beta_2 = \arctan \left(\frac{2 \cdot h}{a}\right)</math>
Mit der [[Raumwinkel#Ebenen-Formel|Ebenen-Formel]] ergibt sich für den Raumwinkel an einer Basisecke
:<math>\mathit{\Omega_B} = \beta_1 + \beta_2 + \beta_2 - \pi</math>
:<math>= 2 \cdot \arctan \left(\frac{1}{2 \cdot h} \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + 2 \cdot a^2}\right) + 2 \cdot \arctan \left(\frac{2 \cdot h}{a}\right) - \pi</math>

'''Bemerkungen:''' Für <math>h = \frac{a}{\sqrt{2}}</math> ist diese [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]] sozusagen ein ''halbes'' [[Oktaeder]]. In diesem Fall ist der Raumwinkel an der Spitze
:<math>\mathit{\Omega_O} = 8 \cdot \arctan \left(\sqrt{2}\right) - 2 \cdot \pi \approx 1{,}3593 \ \mathrm{sr}</math>
Der Raumwinkel an einer Basisecke, wo das [[Quadrat]] und zwei [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitige Dreiecke]] zusammentreffen, ist
:<math>\mathit{\Omega_B} = 4 \cdot \arctan \left(\sqrt{2}\right) - \pi \approx 0{,}6797 \ \mathrm{sr}</math>
Dieser Winkel ist halb so groß wie der Raumwinkel an der Spitze, also gilt <math>\mathit{\Omega_B} = \frac{\mathit{\Omega_O}}{2}</math>. Dies wird offensichtlich, wenn 2 dieser Pyramiden zu einem [[Oktaeder]] vervollständigt werden.

Die Innenwinkel, die an einer Basisecke zusammentreffen, sind <math>\theta_1=90^\circ,\theta_2=60^\circ,\theta_3=60^\circ</math>. Aus der [[Raumwinkel#Kanten-Formel|Kanten-Formel]] folgt daraus
:<math>\begin{align}
\mathit{\Omega_B} &= 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\tfrac{210^\circ}{4}\right) \cdot \tan\left(\tfrac{30^\circ}{4}\right) \cdot \tan\left(\tfrac{30^\circ}{4}\right) \cdot \tan\left(\tfrac{90^\circ}{4}\right)}\right) \\
&= 4 \cdot \arctan\left(3 - 2 \cdot \sqrt{2}\right) = 2 \cdot \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) = \arctan\left(\frac{4\cdot\sqrt{2}}{7}\right) = \arcsin\left(\frac{4 \cdot \sqrt{2}}{9}\right) = \arccos\left(\frac{7}{9}\right) \\
\end{align}</math>
mit dem gleichen Ergebnis. Die Umformungen ergeben sich mithilfe der [[Formelsammlung Trigonometrie#Halbwinkelformeln|Halbwinkelformeln]], der [[Formelsammlung Trigonometrie#Additionstheoreme|Additionstheoreme]] für den [[Tangens und Kotangens|Tangens]] und der [[Gleichung]]en <math>2 \cdot \arctan(x) = \arctan\left(\frac{2 \cdot x}{1 - x^2}\right)</math>, <math> \arctan(x) = \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right) </math> und <math> \arctan(x) = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\right) </math>.
<div style="float:left;">[[Datei:01 Pyramide-quadratisch-Raumwinkel.svg|mini|hochkant=1.1 |links|Quadratische Pyramide: halbes Oktaeder, Raumwinkel mit Einheitskugel in einer Ecke]]</div>
<div style="float:left;">[[Datei:01 Ikosaeder-Raumwinkel.svg|mini|hochkant=0.85 |links|Ikosaeder, Raumwinkel mit Einheitskugel in einer Ecke]]</div>
{{Absatz}}

==== Reguläres Ikosaeder ====
Die hier geschilderte Methode wird auch bei der Bestimmung des Raumwinkels eines [[Ikosaeder#Raumwinkel in den Ecken|regulären Ikosaeders]] angewandt. Bei einem Ikosaeder gehen durch jede Ecke 5 Kanten. Es wird der Raumwinkel einer [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]] mit einem [[Fünfeck#Regelmäßiges Fünfeck|regulären Fünfeck]] als Basis bestimmt.

Stattdessen kann auch die [[Raumwinkel#Formel für platonische Körper|Formel für platonische Körper]] verwendet werden. In diesem Fall ist <math>n = 5</math> und <math>\alpha = 60^\circ</math>. Daraus ergibt sich
:<math>\mathit{\Omega} = 2 \cdot \pi - 2 \cdot 5 \cdot \arcsin\left(\cos\left(\tfrac{180^\circ}{5}\right) \cdot \sqrt{\tan^2 \left(\tfrac{180^\circ}{5}\right) - \tan^2\left(\tfrac{60^\circ}{2}\right)}\right) \approx 2{,}6345 \ \mathrm{sr}</math>

== Siehe auch ==
* [[Würfel (Geometrie)#Raumwinkel in den Ecken|Würfel (Geometrie), Raumwinkel in den Ecken]]
* [[Diederwinkel]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Solid angle}}

== Literatur ==

* [[Leonhard Euler]]: ''De mensura angulorum solidorum.'' In: ''Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae''. Band 1778, Nr. 2, 1781, S. 31–54 ([https://download.uni-mainz.de/mathematik/Algebraische%20Geometrie/Euler-Kreis%20Mainz/E514___Deutsch.pdf Uni Mainz]).

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Raumgeometrie]]

Raumwinkel - Versionsgeschichte

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