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Herleitung

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{{Redundanztext
|3=Raumladung
|4=Raumladungsgesetz
|5=Schottky-Gleichung|2=Oktober 2013|1=[[Spezial:Beiträge/141.34.3.113|141.34.3.113]] 17:42, 25. Okt. 2013 (CEST)}}
Das '''Raumladungsgesetz''' beschreibt den Zusammenhang zwischen [[Elektrische Stromstärke|elektrischer Stromstärke]] und [[Elektrische Spannung|Spannung]] einer evakuierten Zweielektrodenanordnung bei raumladungsbegrenztem Betrieb (z. B. [[Röhrendiode]] mit [[Glühkathode]]). Wegen der frühen Arbeiten von [[Clement Dexter Child]]<ref>{{Literatur |Autor=Clement Dexter Child |Titel=Discharge From Hot CaO |Sammelwerk=Physical Review (Series I) |Band=32 |Nummer=5 |Datum=1911 |Seiten=492–511 |Online=[http://hep.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/child_pr_32_492_11.pdf PDF] |Abruf=2010-02-05 |DOI=10.1103/PhysRevSeriesI.32.492 }}</ref> und [[Irving Langmuir]]<ref>{{Literatur |Autor=Irving Langmuir |Titel=The Effect of Space Charge and Residual Gases on Thermionic Currents in High Vacuum |Sammelwerk=Physical Review (Series II) |Band=2 |Nummer=6 |Datum=1913 |Seiten=450–486 |DOI=10.1103/PhysRev.2.450}}</ref> über Entladungserscheinungen wird das Raumladungsgesetz manchmal auch ''Langmuir-Child-Gesetz'' genannt. Der Zusammenhang der [[Elektrische Stromdichte|Stromdichte]] in einer evakuierten Zweielektrodenanordnung und der elektrischen Spannung wird in der [[Schottky-Gleichung]] ausgedrückt.

== Kurzbeschreibung ==
Es gilt

:<math>I=K U^{\frac {3}{2}}</math>,

wobei <math>I</math> und <math>U</math> Anodenstrom bzw. -spannung bezeichnen. Der Faktor <math>K</math>, die sogenannte Raumladungskonstante oder [[Perveanz]] der Diode, ist eine lediglich von der Gestalt der Elektrodenanordnung abhängige Größe und somit eine Röhrenkonstante.

Das Raumladungsgesetz gilt für ''U'' > 0 V. Für ''U'' < 0 V gilt das [[Anlaufstromgesetz]]. Das Raumladungsgesetz verliert seine Gültigkeit bei zu geringer Kathodenergiebigkeit oder zu hoher Anodenspannung.

== Herleitung ==
Man betrachte zwei beliebig geformte Elektroden im Vakuum, von denen die eine (geheizte, beliebig ergiebige Kathode) auf das Potential <math>\phi=0</math> (erste Randbedingung) und die andere (Anode) auf das Potential <math>\phi=U</math> (Anodenspannung, zweite Randbedingung) gelegt wurde. Das zugehörige Entladungsproblem besitzt eine eindeutig bestimmte stationäre Lösung (experimentell bestätigte Annahme). Sei <math>\phi_0(\mathbf{r})</math> die Lösung für die Anodenspannung <math>U=U_0</math>, dann gilt nach den Gesetzen der [[Magnetohydrodynamik]] bei Vernachlässigung der Austrittsgeschwindigkeit und der relativistischen Massenzunahme der Elektronen für das Geschwindigkeitsfeld <math>v_0(\mathbf{r})</math>, das Raumladungsdichtefeld <math>\rho_0(\mathbf{r})</math>, das Stromdichtefeld <math>J_0(\mathbf{r})</math> und den Anodenstrom <math>I_0</math>

:<math>
v_0=\sqrt{2\eta_0\phi_0}, \quad
\rho_0=-\varepsilon_0\Delta\phi_0, \quad
J_0=-\rho_0 v_0, \quad
I_0=\int J_0 \mathrm{d}A,
</math>

wobei über die gesamte Anodenoberfläche (Anschlussdraht ausgeschlossen) zu integrieren ist. Hierin bezeichnen <math>\eta_0=e/m_0</math> die [[spezifische Ladung]] des ruhenden Elektrons, <math>\varepsilon_0</math> die [[Permittivität]] des Vakuums und <math>\Delta</math> den [[Laplace-Operator]]. Offenbar ist nun <math>\phi=a\phi_0</math> eine Lösung für <math>U=aU_0</math> bei beliebiger Wahl der nicht negativen Zahl <math>a</math>, und für die anderen Felder gilt

:<math>
v = \sqrt{2\eta_0\phi} = \sqrt{a}v_0, \quad
\rho = -\varepsilon_0\Delta\phi = a\rho_0, \quad
J = -\rho v = a^{\frac {3}{2}}J_0, \quad
I = \int J \mathrm{d}A = a^{\frac {3}{2}}I_0 = \left(\frac{U}{U_0}\right)^{\frac {3}{2}} I_0 = \frac{I_0}{U_0^{\frac {3}{2}}} U^{\frac {3}{2}}.
</math>

Da eindeutige Lösbarkeit vorausgesetzt war, ist mit <math>\phi=a\phi_0</math> nicht nur eine, sondern ''die'' Lösung des Entladungsproblems für <math>U=aU_0</math> gegeben. Weil <math>a</math> beliebig gewählt werden kann, hat man sogar ''alle'' Lösungen des Problems vorliegen, sobald nur eine einzige bekannt ist. Nun ist <math>I_0</math> bei gegebener Spannung <math>U_0</math> sicherlich von der Gestalt der Anordnung abhängig, <math>I_0/U_0^{3/2}</math> ist also eine Konstante der Anordnung, und für den Anodenstrom gilt damit

:<math>
I = K U^{\frac {3}{2}}, \quad K = \frac{I_0}{U_0^{\frac {3}{2}}}.
</math>

Das Raumladungsgesetz impliziert offenbar eine unendlich hohe Ergiebigkeit der Kathode, denn für <math>U\to\infty</math> folgt aus ihm <math>I\to\infty</math>.

Der mathematische Zusammenhang zwischen <math>I</math> und <math>U</math> wird auch als [[neilsche Parabel]] bezeichnet.

== Die Konstante K ==
Die Konstante <math>K</math> ist abhängig von der Anodenoberfläche <math>F</math> und dem Abstand <math>r</math> zwischen Kathode und Anode und der Bauform von Kathode und Anode. Barkhausen geht von einem dünnen Kathodendraht aus, der in der Mitte eines Anodenrohres mit Länge <math>l</math> und Radius <math>r</math> steht. <math>v_1</math> ist die Geschwindigkeit des Elektrons nach dem Durchfliegen einer Spannung <math>U</math>. <math>e</math> ist die [[Elementarladung]], <math>m_\mathrm e</math> die [[Elektronenmasse]] und <math>\varepsilon_0</math> die [[Elektrische Feldkonstante]].

:<math>F = 2 \pi r l </math>

:<math>v_1 = \sqrt \frac{2e U}{m_\mathrm e} </math>

:<math>K = \frac 4 9 \varepsilon_0 \frac{v_1}{\sqrt U} \frac{F}{r^2} </math>

:<math>K = \frac 4 9 \varepsilon_0 \sqrt \frac{2e}{m_\mathrm e} \frac{F}{r^2} </math>

== Literatur ==
* H. Barkhausen: ''Lehrbuch der Elektronenröhren, 1. Band Allgemeine Grundlagen.'' 11. Auflage. S. Hirzel Verlag, Leipzig 1965, S. 46ff.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Elektrodynamik]]
[[Kategorie:Elektronenstrahltechnologie]]

Raumladungsgesetz - Versionsgeschichte

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