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2026-01-31T15:00:14Z

Mathematische Definition

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[[Datei:Mirror plane in the ice structure.png|mini|Spiegelsymmetrie in der Kristallstruktur von Eis]]

Eine '''kristallographische Raumgruppe''' oder kurz '''Raumgruppe''' beschreibt mathematisch die [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]] der Anordnung von Atomen, Ionen und Molekülen in einer [[Kristallstruktur]]. Der Begriff „Gruppe“ stammt aus der [[Gruppentheorie]].

Beispielsweise kann ein Bestandteil (etwa ein [[Sulfat]]-Ion) der Struktur durch Spiegelung oder Drehung eines anderen Bestandteils (in diesem Falle eines anderen Sulfations) erhalten werden. Zur Beschreibung der kompletten Kristallstruktur ist dann nur die Beschreibung des ersten Ions notwendig, das zweite Ion wird durch die Symmetrieoperation der Spiegelung oder Drehung erhalten. Die Abbildung zeigt das am Beispiel der Kristallstruktur von Eis. Der rechte Sechsring ist das Spiegelbild des linken Sechsrings; die Raumgruppe gibt (neben anderen) diese Symmetrieeigenschaft wieder. Die Symbole, die dafür verwendet werden, sind detailliert unter [[Hermann-Mauguin-Symbolik]] beschrieben.

Die Raumgruppe ist eine [[diskrete Untergruppe]] der
[[Bewegung (Mathematik)#Bewegungen in der euklidischen Ebene|euklidischen Bewegungsgruppe]] eines [[Euklidischer Raum|euklidischen (affinen) Raums]] mit [[beschränkt]]em [[Fundamentalbereich]]. Die Raumgruppen gehören zu den [[Symmetriegruppe]]n und werden üblicherweise mithilfe der [[Hermann-Mauguin-Symbolik]] oder manchmal auch in der [[Schoenflies-Symbolik]] beschrieben.<ref name="Kleber">{{Literatur |Autor=[[Will Kleber]], [[Hans-Joachim Bautsch]], [[Joachim Bohm (Kristallograph)|Joachim Bohm]] |Titel=Einführung in die Kristallographie |Verlag=Oldenbourg Wissenschaftsverlag |Ort=München |Datum=2010 |ISBN=978-3-486-59075-3 |Seiten=101ff |Online={{Google Buch | BuchID = UvOw8tc8LJEC | Seite = 101}}}}</ref>

Während sich die kristallographischen [[Punktgruppe]]n aus nicht-translativen Symmetrieoperationen (z. B. Rotationen oder Spiegelungen) zusammensetzen, wird bei der Bestimmung der unterschiedlichen Raumgruppen diese Forderung aufgeweicht zugunsten translativer Symmetrieoperationen (daraus ergeben sich z. B. [[Gleitspiegelebene]]n und [[Schraubenachse]]n) und den Gittertranslationen. Daraus ergibt sich eine Vielzahl neuer Symmetriegruppen, die Raumgruppen.

== Mathematische Definition ==
Die Isometriegruppe <math>\operatorname{Isom}(\mathbb R^n)</math> des <math>n</math>-dimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raumes]] <math>\mathbb R^n</math> ist die [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]]
:<math>\operatorname{Isom}(\mathbb R^n)=O(n)\ltimes \mathbb R^n</math>,
wobei <math>O(n)</math> die [[orthogonale Gruppe]], bestehend aus Spiegelungen und Drehungen um den Nullpunkt, ist und <math>\mathbb R^n</math> als Gruppe der Verschiebungen des <math>\mathbb R^n</math> aufgefasst wird.

Eine ''kristallographische Gruppe vom Rang <math>n</math>'' ist eine diskrete und kokompakte Untergruppe von <math>\operatorname{Isom}(\mathbb R^n)</math>.
(Eine Untergruppe <math>\Gamma\subset \operatorname{Isom}(\mathbb R^n)</math> heißt diskret, wenn es zu keinem <math>\gamma\in\Gamma</math> eine Folge <math>(\gamma_n)_n\subset \Gamma</math> mit <math>\gamma_n\not=\gamma</math> und <math>\lim_{n\rightarrow \infty}\gamma_n=\gamma</math> gibt. Sie heißt kokompakt (genauer: sie operiert kokompakt auf <math>\mathbb R^n</math>), wenn der [[Quotiententopologie|Quotientenraum]] <math>\Gamma\backslash\mathbb R^n</math> [[Kompakter Raum|kompakt]] ist.)

Eine ''Bieberbach-Gruppe'' ist eine torsionsfreie kristallographische Gruppe.
(Eine Gruppe <math>\Gamma</math> mit neutralem Element <math>e</math> heißt torsionsfrei, wenn aus <math>\gamma\not=e</math> und <math>n\not=0</math> stets <math>\gamma^n\not=e</math> folgt.)

== Anzahl der möglichen Raumgruppen ==
{| class="wikitable float-right"
|+ Anzahl der Raumgruppen (ohne Berücksichtigung der Raumorientierung)
|-
! colspan="6"| Dimension
|-
! 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6
|-
| 2 || 17 || 219 || 4.783 || 222.018 || 28.927.915
|}

Die Anzahl der möglichen Raumgruppen ist abhängig von der Dimension und der Orientierung des betrachteten Raums. Im [[Dreidimensionaler Raum|dreidimensionalen Raum]] beschreiben kristallographische Raumgruppen die [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrien]] eines unendlich ausgedehnten [[Kristall]]s. Symmetrieoperationen in einem Kristall sind (abgesehen von der Identitätsoperation, die jeden Punkt auf sich selbst abbildet) Punktspiegelung, Spiegelung an einer Ebene, Drehung um eine Achse, Verschiebung (die sogenannte [[Parallelverschiebung|Translation]]) sowie Kombinationen dieser Operationen. Wenn man das Hintereinanderausführen von Symmetrieoperationen als multiplikative Verknüpfung auffasst, erkennt man, dass eine Menge von Symmetrieoperationen eine (in der Regel nicht [[Abelsche Gruppe|kommutative]]) Gruppe ist.

Die Bestimmung der 230 möglichen Raumgruppen (bzw. Raumgruppen''typen'') in drei Dimensionen erfolgte 1891 unabhängig voneinander in mühsamer Sortierarbeit durch [[Arthur Schoenflies]] und [[Jewgraf Stepanowitsch Fjodorow|Jewgraf Fjodorow]]. Unabhängig gelang dies auch [[William Barlow (Geologe)|William Barlow]], der allerdings erst 1894 veröffentlichte. Die 230 Raumgruppen (und die Kristalle, die die Symmetrieelemente einer dieser Raumgruppen aufweisen) können u. a. hinsichtlich der sieben [[Kristallsystem]]e, der 14 [[Bravaisgitter]] und der 32 [[Punktgruppe|Kristallklassen]] eingeteilt werden.<ref name="Kleber" />

{| class="wikitable"
!
! Bravaisgitter – Basisobjekte<br>mit sphärischer Symmetrie
! Kristallstruktur – Basisobjekte<br>mit beliebiger Symmetrie
|-
| Anzahl der Punktgruppen
| 7 Kristallsysteme
| 32 kristallographische Punktgruppen
|-
| Anzahl der Raumgruppen
| 14 Bravaisgitter
| 230 Raumgruppen
|}

Berücksichtigt man die [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] des Raums nicht, reduziert sich die Zahl auf 219 verschiedene Raumgruppen. Daraus ergibt sich die Existenz von elf Paaren [[Chiralität (Chemie)|enantiomorpher]] Raumgruppen. In diesen Paaren unterscheiden sich jeweils die Anordnungen der Symmetrieelemente wie Bild und Spiegelbild, die nicht durch Drehungen ineinander überführt werden können.<ref name="Kleber" />

Ein algebraisches Verfahren zur Klassifikation der Raumgruppen (auch in höheren Dimensionen) stammt von [[Johann Jakob Burckhardt (Mathematiker)|Johann Jakob Burckhardt]] in den 1930er-Jahren, der sich auch mit der Geschichte des Problems befasste.

== Bezeichnung ==
Die Bezeichnung der Raumgruppen geschieht üblicherweise in der [[Hermann-Mauguin-Symbolik]], in manchen Fachbereichen wird auch heute noch die [[Schoenflies-Symbolik]] als Alternative genutzt. Das Raumgruppensymbol besteht bei der Hermann-Mauguin-Symbolik aus einem Großbuchstaben, der den [[Bravaisgitter|Bravaistyp]] angibt, sowie einer Folge von Symbolen (Zahlen und Kleinbuchstaben, die auf das Vorliegen weiterer Symmetrieelemente hinweisen), die sich eng an die Symbolik für [[Punktgruppe]]n anlehnt, zusätzlich aber berücksichtigt, dass auch kombinierte Symmetrieoperationen aus Translation und Rotation bzw. Spiegelung vorliegen können.<ref name="Kleber" />

Eine vollständige Liste der 230 dreidimensionalen Raumgruppen ist in der [[Liste der Raumgruppen]] zu finden.

== Siehe auch ==
* [[Bieberbachgruppe]]
* [[Sohncke-Raumgruppe]] (auch ''chirale Raumgruppe'' genannt)
* [[Ebene kristallographische Gruppe]]

== Literatur ==
* [[Johann Jakob Burckhardt (Mathematiker)|Johann Jakob Burckhardt]]: ''Die Bewegungsgruppen der Kristallographie.'' 2. Auflage, Springer, 1966, ISBN 978-3-0348-6931-7.
* [[John Horton Conway]], Olaf Delgado Friedrichs, Daniel Huson, [[William Thurston]]: ''On three dimensional space groups.'' In: ''Contributions to Algebra and Geometry.'' 42, 2001, S. 475–507. ([http://www.emis.de/journals/BAG/vol.42/no.2/17.html Online]).
* [[Hans Zassenhaus]]: ''Über einen Algorithmus zur Bestimmung der Raumgruppen.'' In: ''Comm. Math. Helveticae.'' 21, 1948, S. 117–141. ([http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002054906 Online]).
* Harold Brown, J. Neubüser, [[Hans Wondratschek]], R. Bülow, [[Hans Zassenhaus]]: ''Crystallographic groups of four-dimensional space.'' Wiley 1978, ISBN 978-0-471-03095-9.
* [[Joachim Neubüser]], Hans Wondratschek, Rolf Bülow: ''On crystallography in higher dimensions.'' (Teil 1–3) In: ''[[Acta Crystallographica]] A.'' Band 27, 1971, S. 517–535 (speziell 4 Dimensionen).
** {{Literatur |Autor=J. Neubüser, H. Wondratschek, R. Bülow |Titel=On crystallography in higher dimensions. I. General definitions |Sammelwerk=Acta Crystallographica Section A |Band=27 |Nummer=6 |Datum=1971-11-01 |Seiten=517–520 |DOI=10.1107/S0567739471001165}}
** {{Literatur |Autor=R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek |Titel=On crystallography in higher dimensions. II. Procedure of computation in R 4 |Sammelwerk=Acta Crystallographica Section A |Band=27 |Nummer=6 |Datum=1971-11-01 |Seiten=520–523 |DOI=10.1107/S0567739471001177}}
** {{Literatur |Autor=H. Wondratschek, R. Bülow, J. Neubüser |Titel=On crystallography in higher dimensions. III. Results in R 4 |Sammelwerk=Acta Crystallographica Section A |Band=27 |Nummer=6 |Datum=1971-11-01 |Seiten=523–535 |DOI=10.1107/S0567739471001189}}
* Harold Brown: ''An algorithm for the determination of space groups.'' In: ''Mathematics of Computation.'' Band 23, 1969, S. 499–514. ([http://www.ams.org/journals/mcom/1969-23-107/S0025-5718-1969-0246975-6/S0025-5718-1969-0246975-6.pdf PDF; 1,25 MB]).

== Weblinks ==
* Interaktive Veranschaulichung der 17 Raumgruppen der Ebene:
** [http://home.in.tum.de/~gagern/ornament/ornament.html Ornamente zeichnen], Java Applet und Application. Behält gezeichnete Linienzüge beim Wechsel der Gruppe bei.
** [http://escher.epfl.ch/escher Escher Web Sketch], Java Applet. Erlaubt neben dem Freihandzeichnen auch die Benutzung einzelner anderer Objekte.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4177070-5|LCCN=sh85125936|NDL=00565653}}

[[Kategorie:Symmetriegruppe]]
[[Kategorie:Kristallographie]]

Raumgruppe - Versionsgeschichte

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