imported>Karl Bednarik: Schichtenfolge ABCABC

2026-01-19T05:30:56Z

Schichtenfolge ABCABC

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{{QS-Mathematik}}
Eine '''Raumfüllung''' oder '''Parkettierung des dreidimensionalen Raumes''' ist das Ausfüllen des [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] [[Euklidischer Raum|euklidischen Raumes]] mit dreidimensionalen Gebilden. [[Zweidimensional]]e Raumfüllungen nennt man ''[[Parkettierung]]''.

Raumfüllungen können vollständig sein, d. h. das [[Volumen]] wird komplett ausgefüllt, oder nur teilweise, mit Zwischenräumen, was bei Kugeln zum Problem der räumlich [[dichteste Kugelpackung|dichtesten Kugelpackung]] führt. In vielen praktischen Anwendungen ist man daran interessiert, die [[Dichte]] der Raumfüllung zu maximieren, zum Beispiel in der [[Verpackungsindustrie]]. Raumfüllungen mathematisch abstrahiert findet man u. a. bei den [[raumfüllende Kurve|raumfüllenden Kurven]], wo [[fraktal]]e Gebilde mit einer [[Fraktale Dimension|fraktalen Dimension]] kleiner der [[Raumdimension]] ''n'' und größer als ''n − 1'' zur Raumfüllung benutzt werden.

== Raumfüllungen mit Polyedern ==
[[Datei:Cubes-R1 ani.gif|mini|Animation der Raumfüllung aus [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] [[Rhombendodekaeder]]n]]
[[Datei:Cubes-A4 HC-ani.gif|mini|Animation der Raumfüllung aus [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] [[Oktaederstumpf|Oktaederstümpfen]]]]

=== Raumfüllungen mit kongruenten Polyedern ===
Eine lückenlose Raumfüllung mit [[Polyeder]]n wird auch als ''[[Parkettierung]] des [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] [[Raum (Mathematik)|Raumes]]'' bezeichnet. Es gibt genau fünf konvexe Polyeder, die nur durch [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßige Vielecke]] begrenzt sind, mit denen sich der Raum aus [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] Polyedern einer Art ausfüllen lässt:

* [[Würfel (Geometrie)|Würfel]]
* [[Dreieck|dreieckiges]] [[Prisma (Geometrie)#Reguläres Prisma|reguläres Prisma]]
* [[Sechseck|sechseckiges]] reguläres Prisma
* verdrehter Doppelkeil ([[Johnson-Körper#Modifizierte Kuppeln und Rotunden|Johnson-Körper J<sub>26</sub>]])
* [[Oktaederstumpf]]

Dabei enthalten die letzten vier [[Polyeder]] zwei Arten von [[Vieleck]]en mit unterschiedlicher Eckenzahl. Unter den sogenannten [[Catalanischer Körper|Catalanischen Körpern]] ist lediglich das [[Rhombendodekaeder]] raumfüllend.<ref>Wolfram MathWorld: [https://mathworld.wolfram.com/Space-FillingPolyhedron.html Space-Filling Polyhedron]</ref><gallery>
Datei:Hexahedron.svg|[[Würfel (Geometrie)|Würfel]]
Datei:Parallelepiped 2013-11-29.svg|[[Parallelepiped]]
Datei:Triangular prism.svg|[[Dreieck|dreieckiges]] [[Prisma (Geometrie)#Reguläres Prisma|reguläres Prisma]]
Datei:Hexagonal Prism.svg|[[Sechseck|sechseckiges]] [[Prisma (Geometrie)#Reguläres Prisma|reguläres Prisma]]
Datei:Gyrobifastigium.png|Verdrehter Doppelkeil ([[Johnson-Körper#Modifizierte Kuppeln und Rotunden|Johnson-Körper J<sub>26</sub>]])
Datei:Rhombo-hexagonal dodecahedron.png|[[Verlängertes Rhombendodekaeder]]
Datei:Rhombicdodecahedron.jpg|[[Rhombendodekaeder]]
Datei:Truncatedoctahedron.svg|[[Oktaederstumpf]]
</gallery>[[Jewgraf Stepanowitsch Fjodorow]] klassifizierte 1885 die raumfüllenden Paralleloeder, das heißt [[Polyeder]], die sich durch Translation ineinander überführen lassen (''affine Typen konvexer Paralleloeder''), und fand im [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] [[Raum (Mathematik)|Raum]] fünf:<ref>Eberhard Scholz, Symmetrie, Gruppe, Dualität, Birkhäuser 1989, S. 117</ref><gallery>
Datei:Rhombohedral prism honeycomb.png|[[Parallelepiped]]
Datei:Skew hexagonal prism honeycomb.png|Hexagonales [[Prisma (Geometrie)|Prisma]]
Datei:Rhombic dodecahedra.png|[[Rhombendodekaeder]]
Datei:Elongated rhombic dodecahedron honeycomb.png|[[Verlängertes Rhombendodekaeder]]
Datei:Truncated octahedra.png|[[Oktaederstumpf]]
</gallery>Das wurde für seine Klassifikation [[Kristallographie|kristallographischer]] [[Raumgruppe]]n wichtig.

=== Raumfüllungen mit platonischen Körpern ===
Es gibt zwei Raumfüllungen, die ausschließlich aus [[Platonischer Körper|platonischen Körpern]] bestehen, entweder aus Würfeln, oder aus Tetraedern und Oktaedern. Bei letzterer benötigt man doppelt so viele Tetraeder wie Oktaeder, und dabei laufen an allen Ecken unter den gleichen Winkeln 12 gleich lange Kanten zusammen. Diese Ecken entsprechen den Kugelmittelpunkten der [[Dichteste Kugelpackung|dichtesten Kugelpackung]] mit der Schichtenfolge ABCABC.
<gallery>
Datei:HC-P2.png|64 [[Würfel (Geometrie)|Würfel]]
Datei:HC P1-P3.svg|[[Tetraeder]] und [[Oktaeder]]
Datei:Tetraeder-Oktaeder-Aufbau.png|Tetraeder-Oktaeder-Aufbau
Datei:Tetraeder-Oktaeder-Kanten-Animation.gif|Tetraeder-Oktaeder-Kanten-Animation
Datei:Tetraeder-Oktaeder-Raumfüllung.gif|Tetraeder-Oktaeder-Stäbchen-Animation
</gallery>

=== Raumfüllungen mit verschiedenen Polyedern ===
Folgende weitere Beispiele zeigen, wie der [[Dreidimensional|dreidimensionale]] [[Raum (Mathematik)|Raum]] lückenlos mit [[Platonischer Körper|platonischen Körpern]], [[Archimedischer Körper|archimedischen Körpern]] oder [[Catalanischer Körper|catalanischen Körpern]] gleicher Kantenlänge ausgefüllt werden kann. Angegeben ist jeweils die Anzahl der [[Polyeder]], die nötig ist, um einen vollen [[Raumwinkel]] von <math> 4 \cdot \pi\ \mathrm{sr} </math> zu bilden.<gallery>
Datei:HC A1-P1.png| 6 [[Tetraederstumpf|Tetraederstümpfe]] und 2 [[Tetraeder]]
Datei:HC A3-P3.png| 4 [[Kuboktaeder]] und 2 [[Oktaeder]]
Datei:HC A2-P3.png| 4 [[Hexaederstumpf|Hexaederstümpfe]] und 1 [[Oktaeder]]
Datei:HC A5-A2-P2-Pr8.png|1 [[Hexaederstumpf]], 1 [[Rhombenkuboktaeder]], 2 [[Prisma (Geometrie)|Achteckprismen]] und 1 [[Würfel (Geometrie)|Würfel]]
Datei:HC A5-P2-P1.png| 3 [[Rhombenkuboktaeder]], 1 [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] und 1 [[Tetraeder]]
Datei:HC A5-A3-P2.png| 2 [[Rhombenkuboktaeder]], 2 [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] und 1 [[Kuboktaeder]]
Datei:HC A1-A3-A4.png| 2 [[Oktaederstumpf|Oktaederstümpfe]], 2 [[Tetraederstumpf|Tetraederstümpfe]] und 1 [[Kuboktaeder]]
Datei:HC A6-Pr8.png| 2 [[Kuboktaederstumpf|Kuboktaederstümpfe]] und 2 [[Prisma (Geometrie)|Achteckprismen]]
Datei:HC A6-A4-P2.png| 2 [[Kuboktaederstumpf|Kuboktaederstümpfe]], 1 [[Oktaederstumpf]] und 1 [[Würfel (Geometrie)|Würfel]]
Datei:HC A6-A2-A1.png| 2 [[Kuboktaederstumpf|Kuboktaederstümpfe]], 1 [[Hexaederstumpf]] und 1 [[Tetraederstumpf]]
</gallery>

== Kristallographische Restriktion ==

Bei [[Parkettierung#Periodische Parkettierungen|periodischen Parkettierungen]] tritt ein interessantes Phänomen auf: Deren [[Symmetriegruppe]]n können nur [[Drehung]]en um 360°, 180°, 120°, 90° oder 60° enthalten, also [[Element (Mathematik)|Elemente]] der [[Ordnung einer Gruppe|Ordnungen]] 1, 2, 3, 4 und 6, jedoch keine Drehungen um andere [[Winkel]], d. h. keine Elemente der Ordnungen 5, 7 oder höher. Diesen Sachverhalt, der übrigens auch für echte [[Kristall]]e gilt, bezeichnet man als ''[[Kristallographie|kristallographische]] Restriktion''. Die Ordnung 5 ist jedoch bei [[Quasikristall]]en möglich, die eine „fast“ periodische Teilung haben.

== Siehe auch ==
* [[Parkettierung]]
* [[Voronoi-Diagramm]]
* [[Kristallgitter]]

== Weblink ==
* [https://www.spektrum.de/alias/raeumliche-geometrie/ein-kloetzchenspiel-der-etwas-anderen-art/587205 Tetraeder-Oktaeder-Raumfüllung]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Raumfullung}}
[[Kategorie:Raumgeometrie]]

Raumfüllung - Versionsgeschichte

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