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2026-03-03T16:38:57Z

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{{Zeichen|ℚ}}
[[Datei:Number-systems.svg|mini|Die rationalen Zahlen (ℚ) sind Teil der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] (ℝ). Sie selber beinhalten die [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] (ℤ), zu denen wiederum die [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] (ℕ) gehören.]]
Eine '''rationale Zahl''' ist eine [[reelle Zahl]], die als Verhältnis ({{laS|ratio}}) zweier [[Ganze Zahl|ganzer Zahlen]] dargestellt werden kann. Um die [[Menge (Mathematik)|Menge]] aller rationalen Zahlen zu bezeichnen, wird das Formelzeichen <math>\mathbb Q</math> ([[Unicode]] U+211A: ℚ) verwendet (von „[[Quotient]]“, siehe [[Buchstabe mit Doppelstrich]]). Sie umfasst alle Zahlen, die sich als [[Bruchrechnung|Bruch]] darstellen lassen, der sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen enthält. Die genaue mathematische Definition beruht auf [[Äquivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] von Paaren ganzer Zahlen.

Die positiven rationalen Zahlen werden in der Schulmathematik auch '''gebrochene Zahlen oder Bruchzahlen''' genannt. Durch ihre Einführung wird die Division auch dann durchführbar, wenn bspw. der [[Dividend]] kleiner ist als der [[Divisor]]. Beispielsweise ist die Divisionsaufgabe 3 : 4 = ? innerhalb der [[Natürliche Zahl|natürlichen]] oder [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] nicht lösbar.

Der Bruch {{bruch|3|4}} beispielsweise stellt dar:
# die Division 3 : 4 (3 verteilt auf 4, 3 aufgeteilt auf 4, 3 eingeteilt in 4er, 3 geteilt in 4 (gleiche) Teile, 3 dividiert durch 4),
# das Ergebnis der Division als eigene (Bruch-)Zahl {{bruch|3|4}} (drei Viertel),
# den Auftrag: „Teile in 4 Teile, nimm 3“ (drei von vier (Teilen)).

Die Begriffe ''[[Bruchrechnung|gewöhnlicher Bruch]]'', ''[[Stammbruch]]'', ''[[Bruchrechnung|echter Bruch]]'', [[Bruchrechnung|''unechter Bruch'']], [[Bruchrechnung|''gekürzter Bruch'']], ''[[Bruchrechnung|erweiterter Bruch]]'', ''[[Dezimalbruch]]'', ''Binärbruch'' … werden dagegen für besondere Schreibweisen oder Formen von rationalen Zahlen verwendet.
Die [[Dezimalbruchentwicklung]] einer rationalen Zahl ist endlich oder unendlich periodisch.

Eine [[reelle Zahl]], die keine rationale Zahl ist, wird als [[irrationale Zahl]] bezeichnet.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Rational Number|url=https://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html|access-date=2020-08-11|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> Dazu gehören etwa [[Quadratwurzel aus 2|<math>\sqrt2</math>]], [[Kreiszahl|<math>\pi</math>]], [[Eulersche Zahl|<math>\mathrm e</math>]] und [[Goldener Schnitt|<math>\Phi</math>]].
Die Dezimalbruchentwicklung einer irrationalen Zahl ist unendlich nicht periodisch.

Da die rationalen Zahlen eine [[abzählbare Menge]] bilden, die [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] jedoch eine [[überabzählbare Menge]], sind „fast alle“ reellen Zahlen irrational.<ref name="Rosen">{{cite book |last = Rosen |first=Kenneth |year= |title=Discrete Mathematics and its Applications |edition=6 |publisher=McGraw-Hill |location=New York, NY|isbn=978-0-07-288008-3 |pages=105, 158–160 |language=en}}</ref>

== Definition ==
Die Menge der rationalen Zahlen besteht aus der Menge der negativen rationalen Zahlen, der Zahl Null und der Menge der positiven rationalen Zahlen. Die Definition der rationalen Zahlen basiert auf der Darstellung rationaler Zahlen durch [[Bruchrechnung|Brüche]], also Paare ganzer Zahlen. Sie ist so aufgebaut, dass das Rechnen mit rationalen Zahlen wie gewohnt mit Hilfe ihrer Bruchdarstellungen durchgeführt werden kann, abstrahiert aber zugleich die rationale Zahl von ihren Bruchdarstellungen. Die rationalen Zahlen werden dabei nicht als vollkommen neuartige Objekte postuliert, sondern auf die ganzen Zahlen zurückgeführt.

Die Definition beginnt mit der Menge aller [[Geordnetes Paar|geordneten Paare]] <math>(a,b)</math> ganzer Zahlen mit <math>b\not=0</math>. Wichtig: Diese Paare sind nicht die rationalen Zahlen.

Man definiert Addition und Multiplikation auf dieser Menge wie folgt:
: <math>(a, b) + (c, d) := (a \cdot d + b \cdot c,\, b \cdot d)</math>
: <math>(a, b) \cdot (c, d) := (a \cdot c,\, b \cdot d)</math>

Das sind die bekannten Rechenregeln der [[Bruchrechnung]]. Die Zahlenpaare kann man damit als Brüche auffassen.

Ein Ziel der Definition rationaler Zahlen ist, dass zum Beispiel die Brüche <math>2/3</math> und <math>4/6</math> dieselbe „Zahl“ bezeichnen. Man betrachtet also Brüche, die untereinander ''[[Gleichwertigkeit|äquivalent]]'' (von gleichem Wert) sind. Dies wird ausgedrückt durch eine [[Äquivalenzrelation]], die man wie folgt definiert:

: <math>(a, b) \sim (c, d) \;:\!\iff a \cdot d = b \cdot c\;</math>.

Wichtig ist, dass diese Relation tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist, also die Gesamtmenge in Teilmengen (hier Äquivalenzklassen genannt) untereinander äquivalenter Elemente zerlegt; dies kann man beweisen.

Für die Äquivalenzklassen definiert man wieder Rechenregeln, die auf der Bruchrechnung basieren und dafür sorgen, dass das, was man unter einer rationalen Zahl versteht, von der konkreten Bruchdarstellung abstrahiert wird. Die Addition <math>q+r=:s</math> der Äquivalenzklassen <math>q</math> und <math>r</math> wird wie folgt definiert:

Aus <math>q</math> wählt man ein beliebiges Element, also ein geordnetes Paar <math>(a,b)</math> ganzer Zahlen (man wählt also ein einziges Element von <math>q</math> und nicht etwa zwei). Ebenso wählt man aus <math>r</math> das Element <math>(c,d)</math>.

<math>(a,b)</math> und <math>(c,d)</math> addiert man nun gemäß der Bruchrechnung und erhält ein Paar <math>(e,f)</math>. Dieses ist Element einer Äquivalenzklasse <math>s</math>, welche das Ergebnis der Addition ist.

Wichtig ist, dass unabhängig von der konkreten Wahl von <math>(a,b)\in q</math> und <math>(c,d)\in r</math> stets ein Element ein und derselben Äquivalenzklasse <math>s\ni (e,f)</math>, herauskommt; diese Eigenschaft der Addition, ihre ''[[Wohldefiniertheit]]'', muss und kann bewiesen werden.

Analog wird die Multiplikation <math>q \cdot r = t</math> definiert.

Die Äquivalenzklassen <math>q,r,s,t </math> fasst man als Elemente einer neuen Menge <math>\Q</math> auf und nennt sie '''rationale Zahlen'''. Eine einzelne rationale Zahl <math>q\in\Q</math> ist also eine unendliche Menge von geordneten Paaren <math>(a,b)</math>. Diese Menge wird sehr häufig als ''Bruch'' <math>(a,b) =: \tfrac{a}{b} =: a/b</math> geschrieben, der die Äquivalenzklasse
: <math>\frac{a}{b} := \bigl\{(c,d) \; \big| \; c\in\Z \; \wedge \; d\in\Z \setminus \{0\} \; \wedge \; (c,d) \sim (a,b) \bigr\}</math>
aller zu <math>(a,b)</math> äquivalenten Paare bezeichnet. Der waagrechte oder (von rechts oben nach links unten) schräge Trennstrich zwischen den zwei ganzen Zahlen heißt ''Bruchstrich''. Die erstgenannte ganze Zahl ist der ''[[Bruchrechnung|Zähler]]'', die zweite der ''[[Nenner]]'' des Bruchs. Der Nenner ist stets von <math>0</math> verschieden und kann wegen <math>(a,b) \sim (-a,-b)</math> positiv gewählt werden. Die bevorzugte Darstellung der rationalen Zahl <math>\tfrac{a}{b}</math> ist der [[gekürzter Bruch|(maximal) gekürzte Bruch]]
: <math>\frac{c}{d} \; := \; \frac{a\div e}{b\div e}</math>
mit
: <math>e := \sgn(b) \cdot \operatorname{abs}\bigl(\operatorname{ggT}(a,b)\bigr) </math>
mit positivem Nenner, wobei <math>\operatorname{ggT}(a,b) </math> für den [[GgT|größten gemeinsamen Teiler]] von <math>a</math> und <math>b</math> steht.<ref>Die Division von Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Teiler nennt man [[Kürzen]].</ref> Damit besteht die Äquivalenzklasse <math> \tfrac{a}{b} </math> genau aus den Paaren von ganzem Zahlen
: <math>\bigl\{(c \cdot f,d \cdot f) \; \big| f \in \Z\setminus \{0\} \bigr\}</math>.<ref>Die Multiplikation von Zähler und Nenner mit derselben von 0 verschiedenen ganzen Zahl nennt man [[Erweitern]].</ref>

Identifiziert man die ganze Zahl <math>n\in\Z</math> mit der rationalen Zahl <math>\tfrac n1 \in \Q</math>, dann hat man eine [[Zahlbereichserweiterung]] der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]], die auch als Bildung des [[Quotientenkörper]]s bezeichnet wird.
Sind <math>n</math> und <math>m</math> zwei ganze Zahlen und <math>s=n+m</math>, <math>p=n\cdot m</math> deren Summe und Produkt, so sind die Rechenregeln für Brüche gerade so gestaltet, dass <math>\tfrac n1+\tfrac m1=\tfrac s1</math> und <math>\tfrac n1\cdot\tfrac m1=\tfrac p1</math> gilt. Außerdem ist vermöge dieser Identifikation ein Bruch in der Tat der Quotient von Zähler und Nenner. In diesem Sinn wird der Bruchstrich auch als ganz gewöhnliches [[Divisionszeichen]] anstelle von <math>\div</math> verwendet.

== Ordnungsrelation ==
Man definiert
: <math>\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \qquad :\Longleftrightarrow \qquad a\sgn(b)\operatorname{abs}(d) < \operatorname{abs}(b)c\sgn(d)</math>
mit den bekannten auf der [[Ganze Zahl#Anordnung|Anordnung der ganzen Zahlen]] beruhenden Vergleichszeichen <math><</math> und Funktionen <math>\sgn</math> und <math>\operatorname{abs}</math>. Diese Definition ist unabhängig von Kürzung oder Erweiterung der Brüche, da diese sich stets gleichsinnig auf beide Seiten des rechten {{nowrap|<math><</math>-Zeichens}} auswirken. Mit <math>b=\sgn(b)=\operatorname{abs}(b)=d=\sgn(d)=\operatorname{abs}(d)=1</math> ergibt sich sofort, dass <math><</math> in <math>\Z</math> mit <math><</math> in <math>\Q</math> kompatibel ist, so dass dasselbe Zeichen verwendet werden kann.

Sind zwei Paare äquivalent, dann ist weder
: <math>\frac{a}{b} < \frac{c}{d}</math>     noch     <math>\frac{c}{d} < \frac{a}{b}</math>.
Die [[Trichotomie|''Trichotomie der Ordnung'']] besagt:
: Es gilt genau eine der folgenden Beziehungen:
:* <math>\frac{a}{b} < \frac{c}{d}</math>
:* <math>\frac{a}{b} \sim \frac{c}{d}</math>
:* <math>\frac{c}{d} < \frac{a}{b}</math>.
Damit sind die rationalen Zahlen <math>(\Q,<)</math> eine [[Totalordnung|total geordnete Menge]].

→ Auf dieser Ordnungsrelation basiert die Konstruktion der reellen Zahlen mittels [[Dedekindscher Schnitt]]e.

== Eigenschaften ==
Die rationalen Zahlen enthalten die [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] <math>\Z</math> als Teilmenge, da für <math>z\in\Z</math> die Bruchdarstellung <math>\tfrac z1</math> existiert.

Der [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>\Q</math> ist der kleinste Körper, der die [[Natürliche Zahlen|natürlichen Zahlen]] <math>\N</math> enthält. <math>\Q</math> ist nämlich der [[Quotientenkörper]] des [[Ring (Algebra)|Ringes]] der [[Ganze Zahlen|ganzen Zahlen]] <math>\Z</math>, der der kleinste <math>\N</math> enthaltende Ring ist. Damit ist <math>\Q</math> der kleinste Teilkörper eines jeden [[Körpererweiterung|Oberkörpers]], so auch des Körpers <math>\R</math> der reellen Zahlen – und also dessen [[Primkörper]]. Und als Primkörper ist <math>\Q</math> [[Starrer Körper (Algebra)|''starr'']], das heißt, sein einziger [[Automorphismus]] ist der triviale (die Identität).

Eine [[reelle Zahl]] ist genau dann rational, wenn sie ''algebraisch ersten Grades'' ist. Damit sind die rationalen Zahlen selbst eine Teilmenge der [[Algebraische Zahl|algebraischen Zahlen]] <math>\mathbb A</math>.

Zwischen (im Sinne der oben definierten [[#Ordnungsrelation|Ordnungsrelation]]) zwei rationalen Zahlen <math>\tfrac{a}{b}</math> und <math>\tfrac{c}{d}</math> liegt stets eine weitere rationale Zahl, beispielsweise das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]]
: <math>\frac{ad+bc}{2bd}</math>
dieser beiden Zahlen, und somit beliebig viele.

Die rationalen Zahlen liegen [[Dichte Teilmenge|dicht]] auf der [[Zahlengerade]], das heißt: Jede reelle Zahl (anschaulich: jeder Punkt auf der Zahlengerade) kann beliebig genau durch rationale Zahlen angenähert werden.

Trotz der Dichtheit von <math>\Q</math> in <math>\R</math> kann es keine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] geben, die ''nur'' auf den rationalen Zahlen [[stetig]] (und auf allen [[Irrationale Zahlen|irrationalen Zahlen]] <math>\R \! \setminus \! \Q </math> unstetig) ist – umgekehrt geht das schon (für beide Aussagen s. den Artikel [[Thomaesche Funktion]]).

Die Menge der rationalen Zahlen ist [[Mächtigkeit (Mathematik)|gleichmächtig]] zur Menge der natürlichen Zahlen, also [[Abzählbare Menge|''abzählbar'']]. Mit anderen Worten: Es gibt eine [[bijektive Abbildung]] zwischen <math>\Q</math> und <math>\N</math>, die jeder rationalen Zahl <math>q</math> eine natürliche Zahl <math>n</math> zuweist und umgekehrt. [[Cantors erstes Diagonalargument]] und der [[Stern-Brocot-Baum]] liefern solche bijektiven Abbildungen. (Die Existenz gleichmächtiger [[Teilmenge|echter Teilmengen]] ist gleichbedeutend mit unendlicher Mächtigkeit.)

→ Als abzählbare Menge ist <math>\Q</math> eine [[Lebesgue-Maß#Nullmengen|''Lebesgue-Nullmenge'']].

== Divisionsalgorithmen ==
Eine rationale Zahl in Gestalt des [[#Definition|geordneten Paares]] Zähler/Nenner stellt eine nicht ausgeführte Division dar. Die rationale Zahl ist dadurch zwar exakt und ohne Genauigkeitsverlust beschrieben und in der reinen Mathematik ist man häufig damit zufrieden. Aber schon das Vergleichen zweier rationaler Zahlen fällt wesentlich leichter, wenn die Division zumindest teilweise als [[Division mit Rest]] ausgeführt ist, was ggf. zur [[Bruchrechnung#Gemischte Brüche|gemischten Zahl]] führt.

Als vollständig ausgeführt betrachtet wird eine Division dann, wenn die rationale Zahl in einem [[Stellenwertsystem]] zu einer bestimmten Basis entwickelt ist. Hierfür sind unterschiedlichste Algorithmen entworfen worden, die sich grob in drei Gruppen einteilen lassen:
* [[Schriftliche Division]] als Algorithmus für die manuelle Rechnung
* Algorithmen für den Einsatz in Computern
:* Algorithmen für Ganzzahlen fester (und kleiner) Länge
:* Algorithmen für Ganzzahlen beliebiger Länge
Beispiele für die letzteren sind
* die [[SRT-Division]],
* die [[Goldschmidt-Division]] und
* die [[Newton-Raphson-Division]].
Die letzteren beiden Verfahren bilden zuerst eine Art [[Kehrwert]] des Nenners, der dann mit dem Zähler multipliziert wird.
Alle Verfahren eignen sich auch für kurze Divisionen und werden dort auch eingesetzt. Die SRT-Division wurde bspw. in der Divisionseinheit des [[Pentium]]-Prozessors von [[Intel]] zunächst [[Pentium-FDIV-Bug|fehlerhaft]] implementiert.

== Dezimalbruchentwicklung ==
Jeder rationalen Zahl lässt sich eine [[Dezimalsystem#Dezimalbruchentwicklung|Dezimalbruchentwicklung]] zuordnen. Rationale Zahlen besitzen eine periodische Dezimalbruchentwicklung, irrationale dagegen eine nichtperiodische (was auch für die [[Stellenwertsystem|<math>g</math>-adischen]] Bruchentwicklungen zu anderen (von <math>10</math> verschiedenen) Zahlenbasen (Grundzahlen) <math>g\in \Z \setminus \{-1,0,1\}</math> gilt). Dabei ist eine endliche (also abbrechende) Dezimalbruchentwicklung nur ein Spezialfall der periodischen Dezimalbruchentwicklung, indem sich nach der endlichen Ziffernfolge die Dezimalziffer 0 oder <math>g-1</math> periodisch wiederholt. Die Periode (der sich wiederholende Teil) wird (in vielen Ländern, aber international nicht einheitlich) mit einem [[Überstrich]] kenntlich gemacht.

Beispiele sind:
:{|
| {{Anker|Ngleich3}}<math>\tfrac 13</math> || <math>= 0{,}\overline{3}</math> || <math>= 0{,}33333 \dotso</math> || <math>= \left[0{,}\overline{01}\right]_2</math>
|-
| <math>\tfrac 97</math> || <math>= 1{,}\overline{285714}</math> || <math>= 1{,}285714 \ 285714 \dotso</math> || <math>= \left[1{,}\overline{010}\right]_2</math>
|-
| <math>\tfrac 15</math> || <math>= 0{,}2\overline{0} = 0{,}1\overline{9}</math> || <math>= 0{,}20000 \dotso = 0{,}19999 \dotso </math> || <math>= \left[0{,}\overline{0011}\right]_2</math>
|-
| <math>\tfrac 12</math> || <math>= 0{,}5\overline{0} = 0{,}4\overline{9}</math> || <math>= 0{,}50000 \dotso = 0{,}49999 \dotso </math> || <math>= \left[0{,}1\overline{0}\right]_2 = \left[0{,}0\overline{1}\right]_2</math>
|-
| <math>1 = \tfrac 11</math> || <math>= 1{,}\overline{0} = 0{,}\overline{9}</math> || <math>= 1{,}00000 \dotso = 0{,}99999 \dotso</math> || <math>= \left[1{,}\overline{0}\right]_2 = \left[0{,}\overline{1}\right]_2</math>
|}
In den eckigen Klammern sind die entsprechenden Entwicklungen im [[Dualsystem|Binärsystem]] (Basis <math>g=2 </math>) angegeben.

Die ''endlichen'' Dezimal- resp. Binärbruchentwicklungen sind genau diejenigen, die mindestens zwei wesentlich verschiedene Entwicklungen haben (s. a. den § [[Stellenwertsystem#Darstellung rationaler Zahlen|Darstellung rationaler Zahlen]]). Sie gehören zu den Brüchen, deren gekürzter Nenner <math>d </math> in einer Potenz <math>g^r </math> der Basis aufgeht, so dass der zu <math>g </math> teilerfremde Teiler <math>n|d </math> sich zu <math>1 </math> ergibt. Zur Unterscheidung von den unten folgenden Fällen mit <math>n > 1 </math> (und nicht abbrechender Entwicklung) sei der ''Periodenlänge'' einer solchen abbrechenden Entwicklung die <math>0 </math> zugewiesen.

Nach dem [[Satz von Euler]] gilt für einen Nenner <math>n\in \N_{>1}</math> und eine zu ihm teilerfremde Basis <math>g\in \N</math>
: <math>g^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n</math>
mit der [[Eulersche Phi-Funktion|eulerschen Phi-Funktion]] <math>\varphi</math>. Die Periodenlänge von <math>1/n</math> ist die [[Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnung]] <math>l:=\operatorname{ord}_n(g)</math> der [[Restklasse]] <math>\left[g\right]</math> in der [[Prime Restklassengruppe|Einheitengruppe]] <math>(\Z/n\Z)^\times</math> des [[Restklassenring]]es <math>\Z/n\Z</math> modulo <math>n</math>.
Nach dem [[Satz von Lagrange]] ist <math>l</math> ein Teiler der [[Gruppenordnung]] <math>\varphi(n)</math> und daher nicht größer als diese.
Die [[Carmichael-Funktion]] <math>\lambda(n)</math> ist definiert als die maximale Elementordnung in <math>(\Z/n\Z)^\times</math>, ist damit ebenfalls ein Teiler von <math>\varphi(n)</math>, und es gilt für alle <math>g,n</math>
: <math>\operatorname{ord}_n(g) \; | \; \lambda(n) \; | \; \varphi(n)</math>.
Die Zahl
: <math>x := (g^l-1)/n </math>
ist ganz, positiv und <math>< g^l </math>, und ihre <math>l</math> zur [[Stellenwertsystem|Basis]] <math>g</math> entwickelten Ziffern wiederholen sich ständig in der {{nowrap|<math>g</math>-adischen}} Darstellung von <math>1/n</math>, also:
: <math>x \cdot \sum_{i=1}^{\infty} \left( g^l \right)^{-i} = \frac{x}{ g^l -1} = \frac1n</math>
Das [[#Ngleich3|obige Beispiel 1/3]] hat bei der Basis <math>g=10</math> die Periodenlänge <math>\operatorname{ord}_3(10)=1</math> und die Ziffernfolge <math>x=\overline{3}</math> sowie bei der Basis <math>g=2</math> die Periodenlänge <math>\operatorname{ord}_3(2)=2</math> und die Ziffernfolge <math>x=\overline{01}\;</math>.

Zu gegebenem Nenner <math>n>1</math> tritt die Periodenlänge <math>l:=\operatorname{ord}_n(g)=\lambda(n)=\varphi(n)</math> genau dann auf, wenn die Basis <math>g</math> eine [[Primitivwurzel]] modulo <math>n</math> ist. Primitivwurzeln gibt es nur, wenn die prime Restklassengruppe <math>(\Z/n\Z)^\times</math> zyklisch ist, also wenn
<math>n \in \{2, 4, p^r, 2p^r \; \; | \; \; 2 . Sonst ist <math>\lambda(n)</math> und die Periodenlänge <math>l </math> ein [[echter Teiler]] von <math>\varphi(n)\quad</math>.

Die untenstehende Tabelle gibt am Beispiel der Basen <math>g = 2, 3, 5</math> und <math>10</math> einen Eindruck, für welche Nenner <math>n</math> die Periodenlänge (bei passendem Zähler) maximal ist (fett gesetzt). Bspw. haben die ''Dezimal''bruchentwicklungen der Kehrwerte der Primzahlen <math>n = 7, 17, 19, 23, 29 </math> die Periodenlänge <math>\lambda(n) = \varphi(n) = n-1 = 6, 16, 18, 22, 28 </math>. Bei den zusammengesetzten Zahlen <math>n = 12, 15, 21, 33, 35</math> ist das maximale {{nowrap|<math>\operatorname{ord}_n(g)\le\varphi(n)/2 </math>;}} bei ihnen sind die Werte für <math>\varphi(n) </math> und <math>\lambda(n) </math> kursiv gesetzt. Die [[worst case]] Periodenlänge ist in [[Landau-Symbole|<math>\mathcal{O}(n)</math>]], während die (zum Vergleich ebenfalls in der Tabelle angegebene) Länge <math>\scriptstyle \operatorname{len}_g(n)</math> der Zahl <math>n</math> im {{nowrap|<math>g</math>-adischen}} Zahlsystem in <math>\mathcal{O}(\log n)</math> liegt.
Der Kehrwert 1/802787 der Primzahl 802787 benötigt im Dualsystem mindestens 802786 Bits und im Dezimalsystem mindestens 401393 Ziffern – zu viele, um sie hier anzuzeigen.

{| style="text-align:right;"
|- class="hintergrundfarbe6"
| <math>\textstyle n</math> || style="width:2em"|3||style="width:2em"|5||style="width:2em"|7||style="width:2em"|9||style="width:2em"|11||style="width:2em"|12||style="width:2em"|13||style="width:2em"|15||style="width:2em"|17||style="width:2em"|19||style="width:2em"|21||style="width:2em"|23||style="width:2em"|25||style="width:2em"|27||style="width:2em"|29||style="width:2em"|31||style="width:2em"|33||style="width:2em"|35||style="width:2em"|37||802787
|- class="hintergrundfarbe8"
|style="text-align:left"| <math>\textstyle \varphi(n)</math> || 2||4||6||6||10||''4''||12||''8''||16||18||''12''||22||20||18||28||30||''20''||''24''||36||802786
|- class="hintergrundfarbe8"
|style="text-align:left"| <math>\textstyle \lambda(n)</math> || 2||4||6||6||10||''2''||12||''4''||16||18||''6''||22||20||18||28||30||''10''||''12''||36||802786
|- class="hintergrundfarbe3"
|style="text-align:left"| <math>\textstyle \operatorname{ord}_n(2)</math> || 2||'''4'''||3||'''6'''||'''10'''||–||'''12'''||'''4'''||8||'''18'''||'''6'''||11||'''20'''||'''18'''||'''28'''||5||'''10'''||'''12'''||'''36'''||'''802786'''
|-
|style="text-align:left"| <math>\scriptstyle \operatorname{len}_2(n)</math>||2 ||3 ||3 ||4 ||4 ||– ||4 ||4 ||5 ||5 ||5 ||5 ||5 ||5 ||5 ||5 ||6 ||6 ||6 ||20
|- class="hintergrundfarbe3"
|style="text-align:left"| <math>\textstyle \operatorname{ord}_n(3)</math> || –||'''4'''||'''6'''||–||5||–||3||–||'''16'''||'''18'''||–||11||'''20'''||–||'''28'''||'''30'''||–||'''12'''||18||401393
|-
|style="text-align:left"| <math>\scriptstyle \operatorname{len}_3(n)</math>||–||2 ||2 ||–||3 ||–||3 ||–||3 ||3 ||–||3 ||3 ||–||4 ||4 ||–||4 ||4 ||13
|- class="hintergrundfarbe3"
|style="text-align:left"| <math>\textstyle \operatorname{ord}_n(5)</math> || 2||–||'''6'''||'''6'''||5||'''2'''||4||–||'''16'''||9||'''6'''||'''22'''||–||'''18'''||14||3||'''10'''||–||'''36'''||'''802786'''
|-
|style="text-align:left"| <math>\scriptstyle \operatorname{len}_5(n)</math>||1 ||–||2 ||2 ||2 ||2 ||2 ||–||2 ||2 ||2 ||2 ||–||3 ||3 ||3 ||3 ||–||3 ||9
|- class="hintergrundfarbe3"
|style="text-align:left"| <math>\textstyle \operatorname{ord}_n(10)</math> || 1||–||'''6'''||1||2||–||6||–||'''16'''||'''18'''||'''6'''||'''22'''||–||3||'''28'''||15||2||–||3||401393
|-
|style="text-align:left"| <math>\scriptstyle \operatorname{len}_{10}(n)</math>||1 ||–||1 ||1 ||2 ||– ||2 ||–||2 ||2 ||2 ||2 ||–||2 ||2 ||2 ||2 ||–||2 ||6
|}
S. a. den [[Stellenwertsystem#Algorithmus für rationale Zahlen|Algorithmus]] zur {{nowrap|<math>g</math>-adischen}} Entwicklung einer rationalen Zahl für eine beliebige Basis <math>g \in \N_{>1}\;</math>.

== Siehe auch ==
* [[Irrationale Zahl]]
* [[Rationale Funktion]]
* [[Bewertungstheorie]]: <math>p</math>-Bewertung, <math>p</math>-ganze Zahl
* [[Ordinalzahl]]en

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Zahlendarstellungen Mengentheorie und Aussagenlogik/ Zahlenmengen|<math>{\color{BlueViolet}\begin{smallmatrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{smallmatrix} }</math> Mathematik für die Schule |suffix=Zahlenmengen}}
{{Wiktionary|rationale Zahl}}
{{Commonscat|Rational numbers|Rationale Zahlen}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4048495-6}}

[[Kategorie:Zahl]]

Rationale Zahl - Versionsgeschichte

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