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2025-11-30T18:21:31Z

fehlender Punkt nach Abkürzung

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Der '''Rangsatz''' (auch '''Dimensionssatz''' oder '''Kern-Bild-Satz'''<ref>{{Literatur |Autor=Gerhard Merziger, Thomas Wirth |Titel=Repetitorium höhere Mathematik |Auflage=7. |Verlag=Binomi Verlag |Ort=Barsinghausen |Datum=2015 |ISBN=978-3-923923-32-8 |Seiten=189 |Abruf=}}</ref>) ist ein [[Satz (Mathematik)|Satz]] aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]]. Er zeigt einen Zusammenhang zwischen den [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] der [[Definitionsmenge]], des [[Kern (Algebra)|Kerns]] und des [[Bild (Mathematik)|Bildes]] einer [[Lineare Abbildung|linearen Abbildung]] zwischen zwei [[Vektorraum|Vektorräumen]] auf. Damit stellt er ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung von linearen Abbildungen dar.

== Aussage ==

=== Formulierung für lineare Abbildungen ===
Ist <math>f \colon V \to W</math> eine [[lineare Abbildung]] von einem [[Vektorraum]] <math>V</math> in einen Vektorraum <math>W</math>, dann gilt für die [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] der [[Definitionsmenge]] <math>V</math>, des [[Kern (Algebra)|Kerns]] <math>\mathrm{ker}(f)</math> und des [[Bild (Mathematik)|Bildes]] <math>\mathrm{im}(f)</math> der Abbildung <math>f</math> die Gleichung

: <math>\dim V = \dim\mathrm{ker}(f) + \dim\mathrm{im}(f)</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Siegfried Bosch |Titel=Lineare Algebra |Auflage=6. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2021 |ISBN=978-3-662-62615-3 |Seiten=80 |Abruf=}}</ref>

Mit den Bezeichnungen [[Defekt (Mathematik)|Defekt]] <math>\mathrm{def}(f)</math> für die Dimension des Kerns und [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] <math>\mathrm{rk}(f)</math> (von engl. rank) für die Dimension des Bildes der Abbildung <math>f</math> liest sich der Rangsatz als

: <math>\dim V = \mathrm{def}(f) + \mathrm{rk}(f)</math>.
Der Satz gilt für Vektorräume beliebiger (auch unendlicher) Dimension.

=== Formulierung für Matrizen ===
Jede lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen lässt sich mithilfe einer Matrix darstellen (siehe [[Abbildungsmatrix]]). Umgekehrt definiert jede Matrix <math>A</math> durch die Vorschrift <math>x \mapsto Ax</math> eine lineare Abbildung. Aufgrund dieses engen Zusammenhangs zwischen linearen Abbildungen und Matrizen lässt sich der Rangsatz auch für Matrizen formulieren: Ist <math>A</math> eine Matrix mit <math>m</math> Zeilen und <math>n</math> Spalten, so gilt

:<math>n = \dim \mathrm{ker}(A) + \dim \mathrm{im}(A) </math>,
wobei <math>\mathrm{ker}(A)</math> der Kern und <math>\mathrm{im}(A)</math> das Bild der Matrix ist.<ref>{{Literatur |Autor=Steffen Goebbels, Stefan Ritter |Titel=Mathematik verstehen und anwenden: Differenzial- und Integralrechnung, Lineare Algebra |Auflage=4. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2023 |ISBN=978-3-662-68366-8 |Seiten=587 |Abruf=}}</ref> Die Dimension des Bildes einer Matrix ist ihr Rang. Bezeichnet man den Rang mit <math>r</math>, so liest sich der Rangsatz als

:<math>n = \dim \mathrm{ker}(A) + r</math>.

== Beweise ==

=== Beweis über den Homomorphiesatz ===
Der Satz folgt unmittelbar aus dem [[Homomorphiesatz]]

: <math>\mathrm{im}(f) \cong V/\mathrm{ker}(f)</math>.

Da der [[Faktorraum]] <math>V/\mathrm{ker}(f)</math> [[isomorph]] zu einem [[Komplementärraum]] <math>U</math> von <math>\mathrm{ker}(f)</math> in <math>V</math> ist, gilt

: <math>\mathrm{im}(f) \cong U</math>.

Nachdem nun

: <math>V=\mathrm{ker}(f) \oplus U</math>

ist, folgt aus der Äquivalenz von Isomorphie und Gleichheit der Dimension

: <math>\dim V = \dim\mathrm{ker}(f) + \dim U = \dim\mathrm{ker}(f) + \dim\mathrm{im}(f)</math>.

=== Beweis durch Basisergänzung ===
Ist eine Menge <math>B\subset\mathrm{ker}(f)</math> eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von <math>\mathrm{ker}(f)</math>, die durch eine Menge <math>A</math> mit <math>A \cap B = \emptyset</math> zu einer Basis <math>A\cup B</math> von <math>V</math> ergänzt wird (<math>A</math> ist dann eine Basis eines Komplementärraums von <math>\mathrm{ker}(f)</math>), dann ist

: <math>f(A)=\left\{f(a) \mid a\in A\right\}</math>

eine Basis des Bildes <math>\mathrm{im}(f)</math>. Betrachtet man nun die [[Einschränkung]] <math>f^\prime</math> von <math>f</math> auf den [[lineare Hülle|Spann]] (die lineare Hülle)

: <math>U=\mathrm{span}(A)</math>,

dann ist <math>f^\prime</math> [[Injektivität|injektiv]] und

: <math>\mathrm{im}(f^\prime)=\mathrm{im}(f)</math>.

Somit ist <math>f^\prime</math> ein Isomorphismus zwischen <math>U</math> und dem Bild von <math>f</math>. Daher gilt

: <math>\dim V = \left|A\right| + \left|B\right| = \dim U + \dim\mathrm{ker}(f) = \dim\mathrm{im}(f) + \dim\mathrm{ker}(f)</math>.

Der Homomorphiesatz folgt ebenfalls – durch Übergang vom Komplementärraum zum Faktorraum.

== Folgerungen ==
Im endlichdimensionalen Fall lässt sich mithilfe des Rangsatzes die Dimension des Bildraums aus der Dimension des Kerns als

: <math>\dim \mathrm{im}(f) = \dim V - \dim \mathrm{ker}(f)</math>

berechnen. Entsprechend gilt umgekehrt auch

: <math>\dim \mathrm{ker}(f) = \dim V - \dim \mathrm{im}(f)</math>.

Im unendlichdimensionalen Fall lässt sich mittels des Rangsatzes die Dimension des Bildraums nicht aus der Dimension des Kerns (oder umgekehrt) berechnen, wenn der Kern dieselbe Dimension wie der gesamte Raum besitzt. Andernfalls ist die Dimension des Bildraums <math>W</math> gleich der Dimension von <math>V</math>.

== Verallgemeinerung ==
Eine weitreichende Verallgemeinerung des Rangsatzes ist die Aussage, dass die alternierende Summe der Dimensionen der einzelnen Komponenten eines [[Kettenkomplex]]es gleich der alternierenden Summe der Dimensionen seiner Homologiegruppen ist. Siehe dazu die [[Kettenkomplex#Euler-Charakteristik|Euler-Charakteristik eines Kettenkomplexes]].

== Siehe auch ==
* [[Dimensionsformel]]

== Literatur ==
* [[Albrecht Beutelspacher]]: ''Lineare Algebra''. 8. Auflage. Springer Spektrum, 2014, ISBN 978-3-658-02412-3, S. 165–166.
* Tilo Arens et al.: ''Mathematik''. 5. Auflage. Springer Spektrum. 2023, ISBN 978-3-662-64388-4, S. 629–630.

* [[Gilbert Strang]]: ''Lineare Algebra''. Springer. Berlin / Heidelberg 2003, ISBN 978-3-540-43949-3, S. 181–187.
* {{Literatur |Autor=[[Hans-Joachim Kowalsky]], [[Gerhard O. Michler]] |Titel=Lineare Algebra |Auflage=12. |Verlag=De Gruyter |Datum=2003 |ISBN=3-11-017963-6 |Seiten=58 (Satz 3.2.13) |DOI=10.1515/9783110200041}}

== Weblinks ==
* {{PlanetMath|id=RankNullityTheorem|title=Rank-nullity theorem|author=Robert Milson}}
* {{MathWorld|id=Rank-NullityTheorem|title=Rank-Nullity Theorem|author=Rahmi Jackson}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]

Rangsatz - Versionsgeschichte

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